2024-2025学年北师大版九年级上册数学期中检测卷（四）

2024-2025学年北师大九年级上册数学期中检测卷（四） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程的一般形式是(    ) A. B. C. D. 2.若，，则的值是(    ) A. B. C. D. 3.下列各组图形中一定是相似形的是(    ) A. 两个平行四边形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个正方形 4.一个菱形的周长是，两条对角线长的比是，则这个菱形的面积是(    ) A. B. C. D. 5.如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，则五边形的周长与五边形的周长比是(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 第8题图 第7题图 第3题图 6.九章算术是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多尺，门的对角线长为丈丈尺，那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为尺，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.用如图所示的两个转盘分别进行四等分和三等分，设计一个“配紫色”的游戏，分别转动两个转盘指针指向区域分界线时，忽略不计，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率为(    ) A. B. C. D. 8.如图，正方形的边长为，在各边上顺次截取，则四边形的面积是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在▱中，是延长线上一点，分别与，交于点，则下列结论：；；；其中正确的是(    ) A. B. C. D. 第12题图 第10题图 第9题图 10.如图，在中，，，点是上的一个动点不与点，重合，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，与相交于点，连接，若，，则等于(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知，则           ． 12.如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______． 13.如图，，，，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是____________． 第14题图 第15题图 第13题图 14.如图，在正方形中，点，分别在，上，如果，，，那么正方形的边长等于          ． 15.如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 三、计算题：本大题共1小题，16分。 16.用适当的方法解下列方程： ；                                       ； ；                                       ． 四、解答题：本题共7小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． 画出绕点顺时针旋转后得到的． 以原点为位似中心，在轴上方画出将三条边放大为原来的倍后的． 18.本小题分某学校为了提高学生的能力，决定开设以下项目：文学院，小小数学家，小小外交家，未来科学家为了了解学生最喜欢哪一项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示两幅不完整的统计图，请回答下列问题： 这次被调查的学生共有          人 请你将条形统计图补充完整 在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两名同学的概率用画树状图或列表法解答． 19.本小题分如图，花丛中有一路灯杆，在灯光下，大华在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时大华的影长米如果大华的身高为米，求路灯杆的高度． 20.本小题分如图，在中，，，，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边在上，另两个顶点、分别在边、上． 求边上的高； 求正方形的边长． 21.本小题分某商城在年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个元，标价为每个元． 商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率； 市场调研表明：当每个售价元时，平均每天能够售出个，当每个售价每降元时，平均每天就能多售出个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 22.本小题分如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 当为多少时，四边形成为矩形？ 四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由并探究如何改变点的速度匀速运动，使四边形在某一时刻成为菱形，求点的速度． 23.本小题分已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点． 如图，当点在上，在上，求的值； 将正方形绕点逆时针方向旋转，如图，求的值； ，，将正方形绕点逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 6页 2024-2025 学年北师大九年级上册数学期中检测卷（四） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程 3� − 2 = �(2� − 1)的一般形式是( ) A. 2�2 − 3� − 2 = 0 B. 2�2 + 3� − 2 = 0 C. 2�2 − 4� − 2 = 0 D. 2�2 − 4� + 2 = 0 2.若�: � = 1: 3，2� = 3�，则2�+��−� 的值是( ) A. −5 B. − 103 C. 10 3 D. 5 3.下列各组图形中一定是相似形的是( ) A.两个平行四边形 B.两个菱形 C.两个矩形 D.两个正方形 4.一个菱形的周长是 20 ��，两条对角线长的比是 4︰3，则这个菱形的面积是( ) A. 12 ��2 B. 96 ��2 C. 48 ��2 D. 24 ��2 5.如图，以点�为位似中心，将五边形�����放大后得到五边形�′�′�′�′�′，已知�� = 10��， ��′ = 20��，则五边形�����的周长与五边形�′�′�′�′�′的周长比是( ) A. 1：2 B. 2：1 C. 1：3 D. 3：1 6.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股” 章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已 知有一扇矩形门的高比宽多 6 尺，门的对角线长为 1 丈(1 丈= 10 尺)，那么门的高和宽各是多少？”如果 设门的宽为�尺，则可列方程为( ) A. �2 + � + 6 2 = 12 B. �2 + � + 6 2 = 102 C. �2 + � − 6 2 = 102 D. �2 + � − 6 2 = 12 7.用如图所示的两个转盘(分别进行四等分和三等分)，设计一个“配紫色”的游戏，分别转动两个转盘(指 针指向区域分界线时，忽略不计)，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色 的概率为( ) 第 3 题图 第 7 题图 第 8 题图 第 2页，共 6页 A. 712 B. 1 2 C. 5 12 D. 1 3 8.如图，正方形����的边长为 8，在各边上顺次截取�� = �� = �� = �� = 6，则四边形����的面积是( ) A. 34 B. 36 C. 40 D. 100 9.如图，在▱����中，�是��延长线上一点，��分别与��，��交于点�，�.则下列结论：① ���� = �� ��；② �� �� = �� ��；③ �� �� = �� ��；④�� 2 = �� ⋅ ��.其中正确的是( ) A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①② 10.如图，在�� △ ���中，∠��� = 90°，�� = ��，点�是��上的一个动点(不与点�，�重合)，连接��， 将��绕点�顺时针旋转 90°得到��，连接��，��与��相交于点�，连接��，若�� = 3 2，�� = 2��，则 ��等于( ) A. 43 B. 5 3 C. 2 2 3 D. 3 2 4 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 11.已知�� = � � = 2 3 (� + � ≠ 0)，则 �+� �+� = ． 12.如图，小明在�时测得某树的影长为 2�，�时又测得该树的影长为 8�，若两次日照的光线互相垂直， 则树的高度为______�． 13.如图，�，�，�，�分别是四边形����四条边的中点，要使四边形����为矩形，四边形����应具备的 条件是____________． 第 9 题图 第 10 题图 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 第 3页，共 6页 14.如图，在正方形����中，点�，�分别在��，��上，如果�� = 3，�� = 2，�� = 13，那么正方形���� 的边长等于 ． 15.如图，矩形����中，�� = 12，�� = 8，�是��上一点，且�� = 3，�是��上一动点，若将△ ���沿�� 对折后，点�落在点�处，则点�到点�的最短距离为______． 三、计算题：本大题共 1 小题，16 分。 16.用适当的方法解下列方程： (1) � + 6 2 = 51； (2)�2 − 2� = 2� − 1； (3)�2 − 2� = 2； (4)� � − 7 = 8 7 − � ． 四、解答题：本题共 7 小题，共 59 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 8 分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ ���三个顶点的坐标分别为�( − 1,2)，�( − 3,4)，�( − 2,6)． (1)画出△ ���绕点�顺时针旋转90∘后得到的△ �1�1�1． (2)以原点�为位似中心，在�轴上方画出将△ �1�1�1三条边放大为原来的 2 倍后的△ �2�2�2． 第 4页，共 6页 18.(本小题 8 分)某学校为了提高学生的能力，决定开设以下项目：�.文学院，�.小小数学家，�.小小外交 家，�.未来科学家.为了了解学生最喜欢哪一项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了 如图所示两幅不完整的统计图，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有 人; (2)请你将条形统计图补充完整; (3)在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参 加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两名同学的概率(用画树状图或列表法解答)． 19.(本小题 8 分)如图，花丛中有一路灯杆��，在灯光下，大华在�点处的影长�� = 3 米，沿��方向行走 到达�点，�� = 5 米，这时大华的影长�� = 5 米.如果大华的身高为 2 米，求路灯杆��的高度． 第 5页，共 6页 20.(本小题 8 分)如图，在�� △ ���中，∠� = 90°，�� = 20��，�� = 15��，在这个直角三角形内有一个 内接正方形，正方形的一边��在��上，另两个顶点�、�分别在边��、��上． (1)求��边上的高； (2)求正方形����的边长． 21.(本小题 8 分)某商城在 2024 年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个 14 元，标价为每 个 20 元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每 个 16.2 元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价 20 元时，平均每天能够售出 40 个，当每个售价每降 1 元时，平均每天就能 多售出 10 个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为 多少元？最大利润是多少？ 第 6页，共 6页 22.(本小题 9 分)如图，在四边形����中，��//��，∠� = 90∘，�� = 8��，�� = 16��，�� = 22��， 点�从点�出发，以 1��/�的速度向点�运动，点�从点�同时出发，以 3��/�的速度向点�运动，其中一个 动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为��. (1)当�为多少时，四边形����成为矩形？ (2)四边形����是否能成为菱形？若能，求出�的值；若不能，请说明理由.并探究如何改变点�的速度(匀速 运动)，使四边形����在某一时刻成为菱形，求点�的速度． 23.(本小题 10 分)已知点�在正方形����的对角线��上，正方形����与正方形����有公共点�． (1)如图①，当点�在��上，�在��上，求 2��2��的值； (2)将正方形����绕点�逆时针方向旋转�(0° < � < 90°)，如图②，求����的值； (3)�� = 8 2，�� = 22 ��，将正方形����绕点�逆时针方向旋转�(0° < � < 360°)，当�，�，�三点共线 时，请直接写出��的长度． 参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】对角线互相垂直  14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】解：， ， ； ， ， ， ， ； 原方程化为， ，，， ， ； ， ， ， 或；  17.【答案】解：如图，即为所求 如图，即为所求．   18.【答案】解： 项目对应的人数有人． 补充条形统计图如图所示． 画树状图如图所示： 由树状图可知，共有种等可能的情况，恰好同时选中甲、乙两名同学的情况有种， 所以恰好同时选中甲、乙两名同学．  19.【答案】解：， ∽， ，即， ， ∽， ，即， 由得， 解得， ，解得：． 答：路灯杆的高度为．  20.【答案】解：作于，交于，如图所示： 在中，，，， ， ， ； 即边上的高为； 设正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ，， ∽． ，即， 解得：， 即正方形的边长为．  21.【答案】设商城每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得舍去， 答：商城每次降价的百分率为为． 设降价元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为元， 根据题意，得 ， 当时，利润最大，元， 答：定价为元，最大利润为元．   22.【答案】解：，， 时，四边形成为矩形， 此时当有， 解得， 当时，四边形成为矩形； 四边形不能成为菱形．理由如下： ， 当时，四边形能成为菱形． 由，得， 解得， 当时，，，， 四边形不能成为菱形； 如果点的速度改变为时，能够使四边形在时刻为菱形， 由题意，得 解得 故点的速度为时，能够使四边形在某一时刻为菱形．  23.【答案】【小题】 正方形与正方形有公共点，点在上，点在上，，，四边形是正方形，，． 【小题】 连接正方形绕点逆时针方向旋转，，∽，． 【小题】 当，，三点共线时，的长度为或．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$