（决胜中考）圆小专题训练-2025年九年级中考数学一轮复习

（决胜中考）圆小专题训练-2025年中考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•宁河区期末）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 2．（2024秋•滨海县校级月考）如图，⊙O的半径为3，圆心O到AB的距离为2，则弦AB的长为（　　） A．2 B． C． D． 3．（2024秋•天宁区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．弦是直径 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 D．半圆是圆中最长的弧 4．（2024秋•江北区校级月考）如图，BC与⊙O相切于点B，CO的延长线交⊙O于点A，连接AB，若∠ABC＝125°，则∠C的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 5．（2024秋•渝中区校级月考）如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为⊙O切线，C为切点，DE为⊙O直径，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（　　） A．1：3 B．1：2 C． D． 6．（2024秋•江都区月考）如图，弦AE∥直径CD，连接AO，∠AOC＝40°，则所对的圆心角的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．30° 7．（2024秋•盐都区月考）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（　　） A．100° B．120° C．130° D．150° 8．（2024秋•兴化市校级月考）如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，若的度数为112°，则∠DAE的度数是（　　） A．68° B．66° C．56° D．112° 二．填空题（共8小题） 9．（2024•海陵区一模）用半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是 　 　． 10．（2024•东莞市校级二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为 　 　． 11．（2023秋•秦淮区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE＝　 　°． 12．（2023秋•宣化区期末）如图，⊙O的半径为6，直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边与圆交于点B、C，则弦BC的长为 　 　． 13．（2024秋•渝中区校级月考）以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，弦DE⊥AB于点H连接CD并延长交AB于点F、交⊙O于点G，连接OD．若∠DOH＝2∠C，OD＝3，AH＝1．则DE＝ 　 　，CG＝ 　 　． 14．（2024秋•建邺区校级月考）如图，BD是▱ABCD的对角线，∠ABD＝60°，∠ADB＝15°，⊙O与射线BA、BD相切，CE与⊙O相切于点E．若AD＝6，则CE的最小值为　 　． 15．（2024秋•鄞州区校级月考）如果一个扇形的圆心角为30°，面积是，那么这个扇形的弧长是 　 　． 16．（2024春•沛县校级期末）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，当n＝2024时，则图中阴影部分的面积之和为 　 　cm2．（注：结果用含π的式子表示） 三．解答题（共7小题） 17．（2024秋•滨海新区校级月考）如图，AB是⊙O的弦，OC垂直于弦AB于点D． （1）若AB＝8cm，OD＝3cm，求⊙O的半径． （2）若AB＝10cm，CD＝1cm，求⊙O的半径． 18．（2024秋•蓬江区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F． （1）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径； （2）求证：CF＝BF． 19．（2024秋•仪征市校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，对角线DB平分∠ADC． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若AD＝2，DC＝3，求△ABC的周长． 20．（2024秋•鼓楼区校级月考）如图，已知⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD． （1）若BC＝6，OA＝5，求AC的长； （2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线． 21．（2024秋•海淀区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AD，连接BD，CD，求∠BDC． 下面给出了解决这个问题的方法，请补全证明过程． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵AC绕点A逆时针旋转角α后得到AD， ∴AD＝AC， ∴AB＝AD＝AC． ∴A，C，D三个点在以点 　 　为圆心，以 　 　为半径的圆上（在图中画出圆）， ∵∠BAC所对的弧为BC，∠BDC所对的弧为， ∴∠BDC＝ 　 　．（依据是：　 　） ∴∠BDC＝ 　 　． 22．（2024•黄石港区一模）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积． 23．（2024•邢台模拟）石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． （1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 　 　m； （2）在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P，Q两点）． ①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）； ②求此时两人所在座舱距离地面的高度差． （决胜中考）圆小专题训练-2025年中考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•宁河区期末）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6， ∴点P到圆心O的距离大于圆的半径， ∴点P在⊙O外． 故选：C． 2．（2024秋•滨海县校级月考）如图，⊙O的半径为3，圆心O到AB的距离为2，则弦AB的长为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：连接OA，过O点作OC⊥AB于C，如图所示： 依题意得：OC＝2，OA＝3， ∵点O是圆心，OC⊥AB， ∴AB＝2AC， ∴在Rt△OAC中，OC＝2，OA＝3， ∴， ∴． 故选：B． 3．（2024秋•天宁区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．弦是直径 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 D．半圆是圆中最长的弧 【解答】解：A、不经过圆心的弦不是直径，故错误； B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； C、平分弧的半径垂直于弧所对的弦，故正确； D、半圆不是圆中最长的弧，故错误； 故选：C． 4．（2024秋•江北区校级月考）如图，BC与⊙O相切于点B，CO的延长线交⊙O于点A，连接AB，若∠ABC＝125°，则∠C的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 【解答】解：如图所示，连接OB， ∵BC与⊙O相切于点B， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°， ∵∠ABC＝125°， ∴∠ABO＝125°﹣90°＝35°， ∵OA＝OB， ∴∠BAC＝∠ABO＝35°， ∴∠C＝180°﹣125°﹣35°＝20°， 故选：D． 5．（2024秋•渝中区校级月考）如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为⊙O切线，C为切点，DE为⊙O直径，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（　　） A．1：3 B．1：2 C． D． 【解答】解：连接OC，如图， ∵DE是圆O的直径， ∴∠DCE＝∠DCA＝90°， ∵BC为⊙O切线，C为切点， ∴OC⊥BC， ∴∠BCO＝90°， ∵∠DCA＝∠BCO＝90°． ∴∠ACB＝∠DCO， ∵∠ABD+∠ACD＝180°． ∴∠A+∠BDC＝180°． 又∵∠BDC+∠CDO＝180°． ∴∠A＝∠CDO． 在△ABC和△DOC中， ， ∴△ABC≌△DOC（ASA）． ∴S△ABC＝S△DOC． ∵点O是DE的中点． ∴S△DOC＝S△CDE， ∴S△ABC＝S△CDE． ∴S△ABC：S△CDE＝1：2． 故选：B． 6．（2024秋•江都区月考）如图，弦AE∥直径CD，连接AO，∠AOC＝40°，则所对的圆心角的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．30° 【解答】解：连接EO， ∵弦AE平行于直径CD， ∴∠AEO＝∠EOD，∠EAO＝∠AOC， 又∵OA＝OE，则∠AEO＝∠EAO， ∴∠A O C＝∠E O D， ∵∠AOC＝40° ∴∠AOC＝∠EOD＝40°． 故选：A． 7．（2024秋•盐都区月考）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（　　） A．100° B．120° C．130° D．150° 【解答】解：∵∠BOD＝100°， ∴， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠A＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°， 故选：C． 8．（2024秋•兴化市校级月考）如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，若的度数为112°，则∠DAE的度数是（　　） A．68° B．66° C．56° D．112° 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠DAE＝∠C， ∵的度数为112°， ∴∠BOD＝112°， ∵∠BOD＝2∠C， ∴， 故选：C． 二．填空题（共8小题） 9．（2024•海陵区一模）用半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是 　10　． 【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r， 则2πr＝， 解得：r＝10， 故圆锥的底面半径为10． 故答案为：10． 10．（2024•东莞市校级二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为 　3　． 【解答】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA， ∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短， ∴当OM于OM′重合时OM最短， ∵AB＝8，OA＝5， ∴AM′＝×8＝4， 在Rt△OAM′中，OM′＝＝＝3， ∴线段OM长的最小值为3． 故答案为：3． 11．（2023秋•秦淮区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE＝　80　°． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠DCB＝180°， 又∵∠DCE+∠DCB＝180° ∴∠DCE＝∠A＝80° 故答案为：80． 12．（2023秋•宣化区期末）如图，⊙O的半径为6，直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边与圆交于点B、C，则弦BC的长为 　6　． 【解答】解：如图所示，连接OC，OB， ∵弧BC＝弧BC，∠BAC＝30°， ∴∠COB＝2∠BAC＝60°， 又∵OC＝OB＝6， ∴△OCB是等边三角形， ∴BC＝6， 故答案为：6． 13．（2024秋•渝中区校级月考）以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，弦DE⊥AB于点H连接CD并延长交AB于点F、交⊙O于点G，连接OD．若∠DOH＝2∠C，OD＝3，AH＝1．则DE＝ 　　，CG＝ 　　． 【解答】解：∵AB为直径，DE⊥AB， ∴， 由题意知，OA＝OD＝3， ∴OH＝OA﹣AH＝2， 由勾股定理得，， ∴； ∵⊙O与AC相切于点A， ∴BA⊥CA， ∴DE∥CA， ∴∠GDE＝∠C， 如图，连接AE，AG， ∵， ∴， ∴AC＝AG，AE∥CG， 又∵DE∥CA， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∴，AE＝CD， ∴， 在△AHE和△FHD中， ， ∴△AHE≌△FHD（ASA）， ∴AE＝DF，AH＝FH＝1， ∴AF＝2， 如图，过G作GM⊥CA的延长线于M， 设GM＝a，AM＝b，则， ∵∠GCM＝∠FCA，∠GMC＝90°＝∠FAC， ∴△GCM∽△FCA， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，AG2＝AM2+GM2，即， 解得，或a＝0（舍去）， ∴， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：，． 14．（2024秋•建邺区校级月考）如图，BD是▱ABCD的对角线，∠ABD＝60°，∠ADB＝15°，⊙O与射线BA、BD相切，CE与⊙O相切于点E．若AD＝6，则CE的最小值为　2　． 【解答】解：过O作OF⊥BC于点F，设AB、BD上的切点为G和H，连接OG、OH、OB、OC、OE，设⊙O半径为r， ∵AB、BD、CE与⊙O相切， ∴OG⊥AB，OH⊥BD， ∵OG＝OH， ∴OB平分∠ABD， ∵∠OBD＝60°， ∴∠OBH＝∠OBA＝30°， ∴OB＝2OH＝2r， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠CBD＝∠ADB＝15°， ∴∠OBF＝45°， 在Rt△OBF中，OF＝BF＝OB＝r， ∵AD＝6， ∴BC＝6， ∴CF＝6﹣， 在Rt△OFC中，OC2＝OF2+CF2 ＝（r）2+（6﹣）2 ＝4r2﹣12r+36， 在Rt△OEC中，CE2＝OC2﹣OE2 ＝4r2﹣12r+36﹣r2 ＝3r2﹣12r+36 ＝3（r﹣2）2+12， ∵3＞0， ∴当r＝2时，CE2＝12，此时有最小值，即CE＝2， ∴CE的最小值为2， 故答案为：2． 15．（2024秋•鄞州区校级月考）如果一个扇形的圆心角为30°，面积是，那么这个扇形的弧长是 　　． 【解答】解：设扇形所在圆的半径为R， ∵扇形的圆心角为30°，面积是m2， ∴， ∴R＝2（负值已舍去）， ∴这个扇形的弧长． 故答案为：． 16．（2024春•沛县校级期末）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，当n＝2024时，则图中阴影部分的面积之和为 　4π　cm2．（注：结果用含π的式子表示） 【解答】解：∵n边形的外角和为360°，半径为2cm， ∴S阴影＝＝4πcm2， 故答案为：4π． 三．解答题（共7小题） 17．（2024秋•滨海新区校级月考）如图，AB是⊙O的弦，OC垂直于弦AB于点D． （1）若AB＝8cm，OD＝3cm，求⊙O的半径． （2）若AB＝10cm，CD＝1cm，求⊙O的半径． 【解答】（1）解：连接OA， ∵AB＝8cm，OC⊥AB， ∴， ∵OD＝3cm， ∴， 即⊙O的半径为5cm； （2）解：连接OA， ∵AB＝10cm，OC⊥AB， ∴， 设OC＝OA＝r， ∵CD＝1cm， ∴OD＝OC﹣CD＝r﹣1， 根据勾股定理可得：OD2+AD2＝OA2， 即（r﹣1）2+52＝r2， 解得：r＝13， 即⊙O的半径为13cm． 18．（2024秋•蓬江区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F． （1）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径； （2）求证：CF＝BF． 【解答】解：（1）∵C是的中点，CD＝6， ∴BC＝CD＝6， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AB＝＝＝10， ∴⊙O的半径为5； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝90°， 又∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝90°， ∴∠A+∠ACE＝90°， ∴∠BCE＝∠A， ∵C是的中点， ∴＝， ∴∠CBD＝∠A， ∴∠CBD＝∠BCE， ∴CF＝BF． 19．（2024秋•仪征市校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，对角线DB平分∠ADC． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若AD＝2，DC＝3，求△ABC的周长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O． ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝120°， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB＝60°， ∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°， ∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：过点A作AE⊥CD于点E， ∴∠AED＝90°， ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠ADE＝60°， ∴∠DAE＝30°， ∴DE＝AD＝1， ∴AE＝＝， ∵CD＝3， ∴CE＝CD+DE＝3+1＝4， 在Rt△AEC中，∠AED＝90°， ∴AC＝＝， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝， ∴△ABC的周长为3． 20．（2024秋•鼓楼区校级月考）如图，已知⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD． （1）若BC＝6，OA＝5，求AC的长； （2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线． 【解答】（1）解：∵OA＝5， ∴AB＝10． ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵BC＝6，AB＝10， ∴根据勾股定理可得：AC＝＝＝8， ∴AC的长为8； （2）证明：连结OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠OCA ∵AC是∠DAB的角平分线， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴OC∥AD， ∴∠D+∠DCO＝180°， ∵AD⊥CD， ∴∠D＝90°， ∴∠DCO＝90°， ∴OC⊥CD， ∴直线CD是⊙O的切线． 21．（2024秋•海淀区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AD，连接BD，CD，求∠BDC． 下面给出了解决这个问题的方法，请补全证明过程． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵AC绕点A逆时针旋转角α后得到AD， ∴AD＝AC， ∴AB＝AD＝AC． ∴A，C，D三个点在以点 　A　为圆心，以 　AB　为半径的圆上（在图中画出圆）， ∵∠BAC所对的弧为BC，∠BDC所对的弧为， ∴∠BDC＝ 　∠BAC　．（依据是：　一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半　） ∴∠BDC＝ 　30°　． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵AC绕点A逆时针旋转角α后得到AD， ∴AD＝AC， ∴AB＝AD＝AC． ∴A，C，D三个点在以点A为圆心，以AB为半径的圆上， ∵∠BAC所对的弧为，∠BDC所对的弧为， ∴∠BDC＝∠BAC（依据是：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）， ∴∠BDC＝30°； 故答案为：A；AB；∠BAC；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；30°． 22．（2024•黄石港区一模）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即∠ODA+∠ODB＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∵∠B＝∠CDA， ∴∠ODB＝∠CDA， ∴∠ODA+∠CDA＝90°， 即∠ODC＝90°， ∴OD⊥CD， ∵OD为⊙O的半径， ∴CD为⊙O的切线； （2）解：连接OE，如图， ∵E为的中点， ∴∠BOE＝∠DOE， ∵∠BOE＝2∠BDE＝60°， ∴∠DOE＝60°， ∵OD＝OE， ∴△ODE为等边三角形， ∴OD＝DE＝2， ∵∠COD＝180°﹣∠BOE﹣∠DOE＝60°， ∴CD＝OD＝2， ∴图中阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形AOD＝×2×2﹣＝2﹣π． 23．（2024•邢台模拟）石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． （1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 　101　m； （2）在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P，Q两点）． ①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）； ②求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 【解答】解：（1）如图， ， 由题意得：QM＝1m，AQ＝100m， 当座椅转到点A时，距离地面最高，此时AM＝AQ+QM＝100+1＝101（m）， ∴小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为101m； 故答案为：101． （2）①∵摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱， ∴每相邻两个座椅之间所对的圆心角为360°÷24＝15°， ∴∠POQ＝4×15°＝60°， ∴的长为：， ∴两人所在座舱在摩天轮上的距离为； ②作PN⊥OM于N， ， 由题意得：两人所在座舱距离地面的高度差为NQ的长， 在Rt△OPN中，OP＝50m，∠PON＝60°， ∴， ∴NQ＝OQ﹣ON＝25m， ∴两人所在座舱距离地面的高度差为25m． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$