精品解析：甘肃省白银市2024-2025学年上学期期中九年级数学试题

2024～2025学年度第一学期期中试卷 九年级数学 一、细心选一选：（每题3分，共30分） 1. 下列各式是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 任意两个菱形 B. 任意两个等边三角形 C. 任意两个等腰三角形 D. 任意两个矩形 4. 根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 3.24 3.25 3.26 0.01 0.03 A. B. C. D. 5. 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 6 6. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝2, DE＝2,则四边形 OCED 的面积为（　　） A. 2 B. 4 C. 4 D. 8 7. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（    ） A. 32个 B. 36个 C. 40个 D. 42个 8. 电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4 10. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的结论为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 二、仔细填一填：（每题4分，共32分） 11. 已知：，则_____． 12. 线段,点是线段的黄金分割点,且＞,则_______．（结果保留根号） 13. 已知是方程的两个实根，代数式的值为_______． 14. 一个菱形的周长是，一条对角线的长是，则它的面积是_________． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则k的值是______． 16. 如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加________条件，才能保证四边形是矩形． 17. 如图，在中，，是的平分线，E是的中点．若，则的长为_________． 18. 如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，E是BC边的中点， 点P在对角线AC上，连接BP，EP则△BPE周长最小值为__________ 三．解答题一：（共88分） 19. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 20. 已知菱形的两边，的长为关于的方程的两个实数根． （1）求的值； （2）求菱形的周长． 21. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F． (1)求证：△ACD∽△BFD； (2)若∠ABD=45°，AC=3时，求BF的长． 22. 用配方法求证：代数式的值恒为正数． 23. 有专家指出：人为型空气污染（如汽车尾气排放等）是雾霾天气的重要成因．某校为倡议“每人少开一天车，共建绿色家园”，想了解学生上学的交通方式．九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷．对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的总人数是　 　人，扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数是　 　度，请补全条形统计图； （2）已知这5名学生中有2名女同学，要从这5名学生中任选两名同学汇报调查结果．请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率． 24. 如图，已知三角形中，平分． （1）你能判断四边形是菱形吗？请说明理由． （2）三角形满足什么条件时，四边形是正方形． 25. 阅读材料，回答问题． 材料：为解方程x4－x2－6＝0，可将方程变形为(x2)2－x2－6＝0，然后设x2＝y，则(x2)2＝y2，原方程化为y2－y－6＝0①， 解得y1＝－2，y2＝3. 当y1＝－2时，x2＝－2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝3，解得x＝±. 所以，原方程的解为x1＝，x2＝－. 问题： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想； (2)利用本题的解题方法，解方程(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0. 26. 某商店经销的一种进价为每件元的运动休闲杉热销．据市场调查分析，若每件按元销售出件；销售单价每涨价元，月销售量就减少件．针对这种运动休闲杉的销售情况，请解答以下问题： 设销售单价为每件元，月销售利润为元，求与之间的函数关系式（不必写出的取值范围）； 商店想使月销售利润达到元，并使销售量尽量大，请问该休闲衫的销售单价应定为多少元？ 27. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF=45°， 过点A作∠GAB=∠FAD,且点G为边CB延长线上一点.①△GAB≌△FAD吗？说明理由．②若线段DF=4， BE=8，求线段EF的长度．③若DF=4,CF=8.求线段EF的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期中试卷 九年级数学 一、细心选一选：（每题3分，共30分） 1. 下列各式是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】A是一元二次方程； B是分式方程； C如果a≠0，则是一元二次方程，如果a=0，则不是一元二次方程； D是一元一次方程； 故选A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 2. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，根据如果四条线段满足，则四条线段称为比例线段．（有先后顺序，不可颠倒），由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握成比例线段的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，则不是成比例线段，故不符合题意； B、，则不是成比例线段，故不符合题意； C、，则不是成比例线段，故不符合题意； D、，则是成比例线段，故符合题意； 故选：D． 3. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 任意两个菱形 B. 任意两个等边三角形 C. 任意两个等腰三角形 D. 任意两个矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了相似多边形的判定．根据相似多边形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、任意两个菱形的内角不一定相等，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； B、任意两个等边三角形一定是相似图形，故本选项符合题意； C、任意两个等腰三角形的内角不一定相等，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； D、任意两个矩形的长与宽不一定成比例，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； 故选：B 4. 根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 3.24 3.25 3.26 0.01 0.03 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据表中数据得到时，；时，，于是可判断在和之间取某一值时，，由此得到方程的一个解的范围． 【详解】解：时，； 时，， ∴当时，的值可以等于0， ∴方程的一个解的范围是． 故选：B． 5. 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设BC=x，AF可用含x的式子表示，CF可以根据勾股定理求出，然后用x表示出BF，在Rt△ABF中，利用勾股定理，可建立关于x的方程，即可得出BF的长． 【详解】解：由折叠的性质知：AD=AF，DE=EF=8-3=5； 在Rt△CEF中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：CF=4， 若设AD=AF=x，则BC=x，BF=x-4； 在Rt△ABF中，由勾股定理可得： 82+(x-4)2=x2，解得x=10， 故BF=x-4=6． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 6. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝2, DE＝2,则四边形 OCED 的面积为（　　） A. 2 B. 4 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】解：连接OE，与DC交于点F， ∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD， ∵OD∥CE，OC∥DE， ∴四边形ODEC为平行四边形， ∵OD=OC， ∴四边形ODEC为菱形， ∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE， ∵DE∥OA，且DE=OA， ∴四边形ADEO为平行四边形， ∵AD=，DE=2， ∴OE=，即OF=EF=， 在Rt△DEF中， 根据勾股定理得：DF==1， 即DC=2， 则S菱形ODEC=OE•DC=××2=． 故选A． 7. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（    ） A. 32个 B. 36个 C. 40个 D. 42个 【答案】A 【解析】 【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数” 【详解】设盒子里有白球x个， 根据 得： 解得：x=32． 经检验得x=32是方程的解． 答：盒中大约有白球32个． 故选；A． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根． 8. 电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记为，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元． 前三天的累计票房为： 故选：D． 9. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 10. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的结论为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求； ②根据正方形的性质可求，再根据线段的和差关系可求的长； ③首先证明，可得，之后证明即可； ④根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：①，， ，故①正确； ②， ， ， ，故②错误； ③四边形与四边形均为正方形， ，， ， ， ， ， 连接 交 于,过作交于， 四边形为矩形， ，， ，, ， ， ，， ， ， 在 与中， ，， ， ，故③错误； ④的面积，故④正确； 其中正确的结论为①④． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 二、仔细填一填：（每题4分，共32分） 11. 已知：，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值；根据已知设,代入所给代数式即可求解． 【详解】解：∵， ∴设, ∴， 故答案为：． 12. 线段,点是线段的黄金分割点,且＞,则_______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割，设BC为x，AC=10-x，列出比例式即可 【详解】解：设BC为x，则AC=10-x ∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC， ∴（10-x）2=10x 解得，x1=，x2=（舍去） 故答案为： 【点睛】本题考查了黄金分割，根据黄金分割设出未知数，列出比例式是解题关键 13. 已知是方程的两个实根，代数式的值为_______． 【答案】19 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个实根， ∴， ∴ ， 故答案为：19． 14. 一个菱形的周长是，一条对角线的长是，则它的面积是_________． 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键．根据菱形四条边都相等求出边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理列式求出另一对角线的一半，从而得到另一对角线的长度，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵菱形的周长是， ∴，，，， ∵一条对角线的长是，设， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 故答案为：． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则k的值是______． 【答案】-2 【解析】 【分析】知道方程的一根，把x=2代入方程中，即可求出未知量k． 【详解】解：将x=2代入一元二次方程x2-x+k=0， 可得：4-2+k=0， 解得k=-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用． 16. 如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加________条件，才能保证四边形是矩形． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边可得，，，，进而可证四边形是平行四边形，然后由矩形的四个角都是直角可知，结合平行线的性质求出，可知此时． 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是矩形， 则有， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键． 17. 如图，在中，，是的平分线，E是的中点．若，则的长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三线合一定理，由三线合一定理得到D是的中点，则是的中位线，据此可得． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴D是的中点， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 18. 如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，E是BC边的中点， 点P在对角线AC上，连接BP，EP则△BPE周长最小值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】连接BD，DE，则DE的长即为PE+PB的最小值，再根据菱形ABCD中，∠ABC=120°得出∠BCD的度数，进而判断出△BCD是等边三角形，故△CDE是直角三角形，根据勾股定理即可得出DE的长，进而求得△BPE周长最小值． 【详解】连接BD，DE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴B、D关于直线AC对称， ∴DE的长即为PE+PB的最小值， ∵ABC=120°， ∴∠BCD=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∵E是BC的中点， ∴DE⊥BC，BE=CE=BC=×4=2， ∴DE=， ∴△BPE周长最小值=PE+BP+BE=DE+BE=． 故答案为∶ 三．解答题一：（共88分） 19. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用公式法解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （3）先移项，再利用平方差公式分解因式，进而解方程即可； （4）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴． 20. 已知菱形的两边，的长为关于的方程的两个实数根． （1）求的值； （2）求菱形的周长． 【答案】（1）的值为； （2）菱形的周长为． 【解析】 【分析】（）根据菱形的邻边相等可知方程有两个相等的实数根，利用根的判别式列出关于的方程，然后解方程即可； （）再代入方程，求出方程的解即可得出菱形的周长； 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，菱形的性质，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 ∵四边形是菱形， ∴， ∵两边，的长为关于的方程的两个实数根， ∴， 解得：， ∴的值为； 【小问2详解】 由（）得：， ∴方程为，解得：， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为． 21. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F． (1)求证：△ACD∽△BFD； (2)若∠ABD=45°，AC=3时，求BF的长． 【答案】 (1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，  ∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，  ∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°， ∴∠DBF=∠DAC，  ∴△ACD∽△BFD． （2）3 【解析】 【分析】(1)根据双垂直得出∠DBF=∠DAC，然后根据直角得出三角形相似；(2)根据tan∠ABD=1，∠ADB=90°得出AD=BD，然后根据△ACD和△BFD相似得出BF=AC=3. 【详解】（1）略 (2)∵∠ABD=45°，∠ADB=90°  ∴AD=BD，  ∵△ACD∽△BFD，  ∴，  ∴BF=AC=3. 【点睛】本题考查三角形相似的性质，解题时需注意，当相似三角形的对应边之比为1时，这两个三角形的对应边相等. 22. 用配方法求证：代数式的值恒为正数． 【答案】 证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再根据偶次方的非负性得到，据此可证明结论． 【详解】略 23. 有专家指出：人为型空气污染（如汽车尾气排放等）是雾霾天气的重要成因．某校为倡议“每人少开一天车，共建绿色家园”，想了解学生上学的交通方式．九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷．对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的总人数是　 　人，扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数是　 　度，请补全条形统计图； （2）已知这5名学生中有2名女同学，要从这5名学生中任选两名同学汇报调查结果．请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）400，54°，补全条形统计图为： （2）恰好选出1名男生和1名女生的概率=． 【解析】 【分析】（1）用乘公交车的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，再用“骑自行车”所占的百分比乘以360°得到“骑自行车”所在扇形的圆心角度数，然后计算出乘私家车的人数后补全条形统计图； （2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）本次接受调查的总人数为160÷40%=400（人）， 扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数为×360°=54°， 乘私家车的人数=400﹣60﹣160﹣80=100（人）． （2）画树状图为： 共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种， 所以恰好选出1名男生和1名女生的概率=． 24. 如图，已知三角形中，平分． （1）你能判断四边形是菱形吗？请说明理由． （2）三角形满足什么条件时，四边形是正方形． 【答案】（1） 四边形是菱形，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）当时，四边形是正方形 【解析】 【分析】本题主要考查菱形和正方形的判定．熟练掌握菱形和正方形的判定是解题的关键． （1）由已知易得四边形是平行四边形，由角平分线和平行线的定义证明，即可得四边形是菱形； （2）由（1）可知四边形是菱形，又有一角为直角的菱形是正方形，所以当是直角三角形时，四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵由（1）知四边形是菱形， 所以，当时，四边形是正方形． 25. 阅读材料，回答问题． 材料：为解方程x4－x2－6＝0，可将方程变形为(x2)2－x2－6＝0，然后设x2＝y，则(x2)2＝y2，原方程化为y2－y－6＝0①， 解得y1＝－2，y2＝3. 当y1＝－2时，x2＝－2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝3，解得x＝±. 所以，原方程的解为x1＝，x2＝－. 问题： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想； (2)利用本题的解题方法，解方程(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0. 【答案】（1）换元，转化；（2）原方程的解为x1＝－2，x2＝3. 【解析】 【分析】（1）通过阅读材料就可以得出材料中的解法是采用的换元降次的方法从而可以得出结论； （2）设x2-x=y，将原方程变形为y2-4y-12=0，求出y的值，就可以求出x的值． 【详解】（1）由题意得：换元，转化， 故答案为换元，转化； （2）令x2－x＝y，则原方程可化为y2－4y－12＝0，即(y＋2)(y－6)＝0， 所以y＋2＝0或y－6＝0，解得y1＝－2，y2＝6， 当y1＝－2时，x2－x＝－2，即x2－x＋2＝0，此方程无实数根； 当y2＝6时，x2－x＝6，(x＋2)(x－3)＝0，解得x1＝－2，x2＝3， 所以，原方程的解为x1＝－2，x2＝3. 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程的运用，根的判别式的运用，读懂材料中的解法，在解答时运用换元的方法降次是解答一元高次方程常用的方法． 26. 某商店经销的一种进价为每件元的运动休闲杉热销．据市场调查分析，若每件按元销售出件；销售单价每涨价元，月销售量就减少件．针对这种运动休闲杉的销售情况，请解答以下问题： 设销售单价为每件元，月销售利润为元，求与之间的函数关系式（不必写出的取值范围）； 商店想使月销售利润达到元，并使销售量尽量大，请问该休闲衫的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）y=-10x2+1400x-40000；（2）销售单价应定为元． 【解析】 【分析】（1）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10件”，可知：月销售量=500-（销售单价-50）×10，然后根据月销售利润=每件的利润×销售的数量即可求出y与x之间的函数关系式； （2）将y=8000代入（1）中所求的函数关系式，得到关于x的方程，解方程即可. 【详解】解：（1）当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500-（x-50）×10]件． 每件的销售利润是：（x-40）元， 所以月销售利润为：y=（x-40）[500-（x-50）×10]=（x-40）（1000-10x）=-10x2+1400x-40000， ∴y与x的函数解析式为：y=-10x2+1400x-40000； （2）由题意得-10x2+1400x-40000=8000， 解得x1=60，x2=80． 因为要使使销售量尽量大，所以只能取x=60， 答：销售单价应定为60元. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列二次函数关系式，解题关键是能正确表示出月销售量. 27. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF=45°， 过点A作∠GAB=∠FAD,且点G为边CB延长线上一点.①△GAB≌△FAD吗？说明理由．②若线段DF=4， BE=8，求线段EF的长度．③若DF=4,CF=8.求线段EF的长度． 【答案】（1）全等 (2)7 (3)EF=10 【解析】 【详解】分析：(1)、根据正方形的性质得出AB=AD,∠ABG=∠D，结合∠GAB=∠FAD得出三角形全等；(2)、根据三角形全等得出BG=DF=4，AG=AF，根据∠EAF=45°以及三角形全等、正方形的性质得出∠GAE=∠EAF，从而得出△GAE和△FAE全等，从而得出答案；(3)、根据第二题的结论得出答案． 详解：（1）全等 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD,∠ABG=∠D， 在△ABG和△ADF中 ∵∠GAB=∠FAD，AB=AD,∠ABG=∠D， ∴△GAB≌△FAD. （2）解：∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°， ∵△GAB≌△FAD， ∴∠GAB=∠FAD，AG=AF， ∴∠GAB+∠BAE=45°，∴∠GAE =45°， ∴∠GAE=∠EAF， 在△GAE和△FAE中，∵AG=AF, ∠GAE=∠EAF,AE=AE， ∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴EF=GE， ∵△GAB≌△FAD，∴GB=DF， ∴EF=GE=GB+BE=FD+BE=3+4=7； (3)设BE=x ∵DF=4，CF=8，四边形ABCD是正方形 ∴AD=AB=BC=12 ∴EC=12-x,EG=4+x， ∵∠ECD= ∴ ∵△GAE≌△FAE ∴EG=EF ∴ ∴x=6 ∴EG=4+6=10 ∴EF=10 故答案EF=10 点睛：本题主要考查的是三角形全等的判定与性质，属于中等难度的题型．根据正方形的性质得出△GAE和△FAE全等是解决这个问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $