（决胜中考）图形旋转问题小专题训练-2025年中考数学一轮复习

（决胜中考）图形旋转问题小专题训练-2025年中考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024•灯塔市校级模拟）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•黄山期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（　　） A．45° B．55° C．60° D．100° 3．（2024秋•吴中区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，点M是BC中点，点N是DE中点，连接MN，若∠A＝30°，BC＝4，则线段MN的最大值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（2024•同心县模拟）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 5．（2023秋•白云区期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣2，﹣1） 6．（2024春•岳阳县期中）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则DH的长为（　　） A．1 B． C． D． 7．（2024秋•江北区校级月考）在平面直角坐标系中，zy老师把点P（1，1）绕原点逆时针旋转45°后得到称第一次变换…，那么第2019变换之后得到的P2019的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B． C． D．（﹣1，1） 8．（2024•裕华区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，当点C'落在边AB上时，线段CC'的长为（　　） A． B．1 C． D．2 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•江北区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，2），点B的坐标是（3，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab＝ 　 　． 10．（2024秋•黄浦区校级月考）如图，△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB′C′，若∠BAC＝25°，则∠CAB′＝ 　 　． 11．（2024秋•越秀区校级月考）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝30°，则∠ADC的度数是 　 　． 12．（2024秋•梁溪区校级月考）如图，BD是四边形ABCD的对角线，△ABD的面积为12，AB＝6，E是BC上一点，且△ECD是等边三角形，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 　 　． 13．（2024秋•梁溪区校级月考）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为2.5的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝ 　 　°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 　 　． 14．（2024•江北区校级开学）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为 　 　． 15．（2023秋•四会市期末）如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝　 　． 16．（2024春•广安区校级期中）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2024的坐标是 　 　． 三．解答题（共6小题） 17．（2023秋•姑苏区期末）如图，已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，AC与DE交于点F． （1）若AC⊥DE，求∠DAC的度数； （2）若AD平分∠BAC，求∠CFE的度数． 18．（2024春•渭滨区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（2，5），B（4，4），C（1，1）． （1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△DEF，请画出△DEF． （2）请画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A′B′C． 19．（2024春•丰泽区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合）．将线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF．延长FB，DE交于点G． （1）求证：BG⊥EG； （2）连接AG，试探究：是否为定值？若是，请求出定值，若不是，说明理由． 20．（2024春•韶关期末）已知两条平行线AB，CD和一块含45°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°），且点E，F不能同时落在直线AB和CD之间． （1）如图1，把三角尺的45°角的顶点E，G分别放在AB，CD上，若∠BEG＝150°，则∠FGC的度数为 　 　； （2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点E恰好落在AB和CD之间，AB与EF相交于点M，且所夹锐角为25°，求∠FGC的度数； （3）把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在∠FGC＝11∠DGE（∠DGE＜45°）？若存在，请求出射线GF与AB所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由． 21．（2024春•文登区期末）如图，正方形ABCD，AB＝8．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，EF交CD于点M，延长FE交BC于点N． （1）求证：MN＝DM+BN； （2）顺次连接D，E，C，F，得到四边形DECF．在旋转过程中，四边形DECF能否为矩形？若能，求出BN的值；若不能，请说明理由． 22．（2024•建平县模拟）【发现问题】 如图，某公园在一个扇形OEF草坪上的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA，在A处安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状． 【提出问题】 喷出的水距地面的高度y米与喷出的水与池中心的水平距离x米之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小腾测出连喷头在内柱高，喷出的水流在与O点的水平距离4米处达到最高点B，点B距离地面2米．于是小腾以OA所在直线为y轴，垂直于OA的地平线为x轴，点O为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点A，点B的坐标，从而得到y与x函数关系式． 【解决问题】 （1）如图1，在建立的平面直角坐标系中，点A的坐标为，水流的最高点B的坐标为（4，2），求抛物线水流对应的函数关系式； （2）当喷头旋转120°时，这个草坪刚好被水覆盖，求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用含π的式子表示）； （3）在扇形OEF的一块三角形区域地块△OEF中，现要建造一个矩形GHMN花坛，如图2的设计方案是使H、G分别在OF、OE上，MN在EF上．设MN＝2x米，当x为多少米时，矩形GHMN花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？ （决胜中考）图形旋转问题小专题训练-2025年中考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•灯塔市校级模拟）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：D． 2．（2023秋•黄山期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（　　） A．45° B．55° C．60° D．100° 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△ADE， ∴AB＝AD，∠BAD＝70°， ∴∠B＝∠ADB＝＝55°， 故选：B． 3．（2024秋•吴中区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，点M是BC中点，点N是DE中点，连接MN，若∠A＝30°，BC＝4，则线段MN的最大值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【解答】解：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝4， ∴AB＝8， 连接CN，如图， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC， ∴DE＝AB＝8， ∵M是BC中点，点N是DE中点， 在△CMN中，MN＜CM+CN，即MN＜6， ∴当M、C、N三点共线时，MN＝CM+CN＝6最大． 故选：C． 4．（2024•同心县模拟）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【解答】解： 连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M． 故选：A． 5．（2023秋•白云区期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣2，﹣1） 【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点P（﹣1，﹣2）关于原点O中心对称的点的坐标为（1，2）． 故选：C． 6．（2024春•岳阳县期中）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则DH的长为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：如图，延长DH，交EF于N， ∵将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG， ∴EF＝AB＝2，BC＝CF＝1， ∴DF＝1， ∵AD∥BG∥EF， ∴∠DAH＝∠FEH， ∵点H是AE的中点， ∴AH＝HE， 在△ADH和△ENH中， ， ∴△ADH≌△ENH（ASA）， ∴DH＝HN，AD＝NE＝1， ∴， ∴， 故选：D． 7．（2024秋•江北区校级月考）在平面直角坐标系中，zy老师把点P（1，1）绕原点逆时针旋转45°后得到称第一次变换…，那么第2019变换之后得到的P2019的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B． C． D．（﹣1，1） 【解答】解：∵360°÷45°＝8， ∴点P（1，1）绕原点逆时针旋转45°，经过8次后回到初始位置， ∴P1（0，），P2（﹣1，1），P3（﹣，0）， ∵2019÷8＝252⋯⋯3， ∴， 故选：B． 8．（2024•裕华区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，当点C'落在边AB上时，线段CC'的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴AC＝2，∠CAC'＝60°， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'， ∴AC'＝AC＝2， ∴△CAC'为等边三角形， ∴CC'＝AC＝2， 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•江北区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，2），点B的坐标是（3，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab＝ 　6　． 【解答】解：点A与点B关于原点O对称，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴a＝﹣3，b＝﹣2， ∴ab＝（﹣3）×（﹣2）＝6， 故答案为：6． 10．（2024秋•黄浦区校级月考）如图，△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB′C′，若∠BAC＝25°，则∠CAB′＝ 　35°　． 【解答】解：∵△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB′C′， ∴∠BAB′＝∠CAC′＝60°， ∵∠BAC＝25°， ∴∠CAB′＝∠BAB′﹣∠BAC＝35°． 故答案为：35°． 11．（2024秋•越秀区校级月考）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝30°，则∠ADC的度数是 　75°　． 【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． ∴AC＝AE，∠ACE＝90°，∠ACB＝∠ECD＝30°， ∴∠CAE＝∠E＝45°， ∴∠ADC＝∠E+∠ECD＝45°+30°＝75°， 故答案为：75°． 12．（2024秋•梁溪区校级月考）如图，BD是四边形ABCD的对角线，△ABD的面积为12，AB＝6，E是BC上一点，且△ECD是等边三角形，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 　4　． 【解答】解：连接FD，过点D作DH⊥AB于点H， ∵△ABD的面积为12，AB＝6， ∴， ∴DH＝4， ∵△FGE和△EDC是等边三角形， ∴FE＝GE，EED，∠FEG＝60°＝∠DEC， ∴∠FED＝∠GEC， 在△FED和△GEC中， ， ∴△FED≌△GEC（SAS）， ∴FD＝GC， ∴当FD⊥AB时，FD有最小值，即GC有最小值， 即点F与点H重合时，GC有最小值，最小值为4． 故答案为：4． 13．（2024秋•梁溪区校级月考）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为2.5的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝ 　80　°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 　　． 【解答】解：∵△ACB，△DEC都是等边三角形， ∴AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴∠DBC＝∠EAC＝20°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°． 如图1中，设BF交AC于点T． 同法可证△BCD≌△ACE， ∴∠CBD＝∠CAF， ∵∠BTC＝∠ATF， ∴∠BCT＝∠AFT＝60°， ∴点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，AF的值最小，此时CD⊥BD， ∴BD＝＝＝， ∴AE＝BD＝，∠BDC＝∠AEC＝90°， ∵CD＝CE，CF＝CF， ∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL）， ∴∠DCF＝∠ECF＝30°， ∴EF＝CE•tan30°＝， ∴AF的最小值＝AE﹣EF＝﹣＝， 故答案为：80，． 14．（2024•江北区校级开学）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为 　16﹣8　． 【解答】解：由题意可知，BC＝EF＝AD＝4，AE＝AB， ∵DE＝EF， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（2023秋•四会市期末）如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝　65°　． 【解答】解：∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置， ∴AB＝AE，∠B＝∠AEF， ∴∠B＝∠AEB， ∵∠B＝70°， ∴∠AEB＝∠AEF＝70°， ∴∠GEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝40°， ∵∠C＝25°， ∴∠FGC＝∠GEC+∠C＝65°． 故答案为：65°． 16．（2024春•广安区校级期中）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2024的坐标是 　（2025，﹣2024）　． 【解答】解：如图，过点D1作D1E⊥y轴于E，过点D2作D2F⊥x轴于F，过点D3作D3G⊥y轴于G，过点D4作D4H⊥x轴于H，过点D5K作D5K⊥y轴于K， ∵正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，D（1，0）， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，，∠BAO＝∠CBO＝∠DCO＝∠ADO＝45°， ∴A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1）， ∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1， ∴， ∴，， ∴， ∴D1（1，2）， ∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2， ∴， ∴， ∴OF＝OB+BF＝1+2＝3， ∴D2（﹣3，2）， 再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5…… 同理可得：D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……， 观察发现：每四个点一个循环，D4n（4n+1，﹣4n），D4n+1（4n+1，4n+2），D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），D4n+3（﹣4n﹣3，﹣4n﹣4）， ∵2024＝4×506， ∴D2024（2025，﹣2024）； 故答案为：（2025，﹣2024）． 三．解答题（共6小题） 17．（2023秋•姑苏区期末）如图，已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，AC与DE交于点F． （1）若AC⊥DE，求∠DAC的度数； （2）若AD平分∠BAC，求∠CFE的度数． 【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE， ∴∠B＝∠D＝50°， ∵AC⊥DE， ∴∠AFD＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣50°＝40°； （2）解：∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝35°， ∴∠AFE＝85°， ∴∠CFE＝180°﹣85°＝95°． 18．（2024春•渭滨区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（2，5），B（4，4），C（1，1）． （1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△DEF，请画出△DEF． （2）请画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A′B′C． 【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求． （1）如图，△A′B′C即为所求． 19．（2024春•丰泽区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合）．将线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF．延长FB，DE交于点G． （1）求证：BG⊥EG； （2）连接AG，试探究：是否为定值？若是，请求出定值，若不是，说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠C＝∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝AB， 由旋转的性质可知，∠EAF＝90°，AE﹣AF， ∵∠BAD﹣∠BAE＝∠EAF﹣∠BAE， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴△DAE≌△BAF（SAS）， ∴∠AED＝∠AFB， ∴∠AEG+∠AFB＝∠AEG+∠AED＝180°， ∴∠G＝360°﹣（∠AEG+∠AFB）﹣∠EAF＝90°， ∴BG⊥EG； （2）解：是定值，理由如下： 连接AG，在GD的延长线上取DH＝BG，连接AH， ∵△DAE≌△BAF， ∴∠ABF＝∠ADE，DE＝BF， 即有180°﹣∠ABF＝180°﹣∠ADE，FG＝EH， ∴∠ADH＝∠ABG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD， ∴△ADH≌△ABG（SAS）， ∴AG＝AH，∠BAG＝∠DAH， ∵∠GAH＝∠DAH+∠DAE+∠EAG＝∠BAG+∠BAF+∠EAG＝∠EAF＝90°， ∵AG2+AH2＝GH2， ∴2AG2＝（EG+EH）2＝（EG+FG）2， ∴＝， 20．（2024春•韶关期末）已知两条平行线AB，CD和一块含45°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°），且点E，F不能同时落在直线AB和CD之间． （1）如图1，把三角尺的45°角的顶点E，G分别放在AB，CD上，若∠BEG＝150°，则∠FGC的度数为 　105°　； （2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点E恰好落在AB和CD之间，AB与EF相交于点M，且所夹锐角为25°，求∠FGC的度数； （3）把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在∠FGC＝11∠DGE（∠DGE＜45°）？若存在，请求出射线GF与AB所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BEG＝∠EGC＝150°， ∵∠FGE＝45°， ∴∠FGC＝150°﹣45°＝105°． 故答案为：105°． （2）由题意，过点E作EH∥AB，如图， ∴EH∥AB∥CD， ∴∠BME＝∠FEH＝25°，∠DGE＝∠HEG． ∴∠FEG＝∠FEH+∠GEH＝∠BME+∠DGE＝45°， ∴∠DGE＝45°﹣25°＝20°， ∴∠FGC＝180°﹣45°﹣20°＝115°； （3）存在，有两种情况； ①当点E在CD上方时，如图； ∵∠FGC＝11∠DGE， ∴∠DGE+11∠DGE+45°＝180°， ∴∠DGE＝11.25°， ∴射线GF与AB所夹锐角的度数为45°+11.25°＝56.25°． ②当点E在CD下方时，如图； ∵∠FGC＝11∠DGE， ∴∠FGC+∠FGD＝180°， 即11∠DGE+45°﹣∠DGE＝180°， ∴∠DGE＝13.5°． ∴射线GF与AB所夹锐角＝∠FGD＝45°﹣13.5°＝31.5°． 综上所述射线GF与AB所夹锐角的度数为56.25°或31.5°． 21．（2024春•文登区期末）如图，正方形ABCD，AB＝8．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，EF交CD于点M，延长FE交BC于点N． （1）求证：MN＝DM+BN； （2）顺次连接D，E，C，F，得到四边形DECF．在旋转过程中，四边形DECF能否为矩形？若能，求出BN的值；若不能，请说明理由． 【解答】（1）证明：连接AN，AM， ∵∠AEF＝90°， ∴∠AEN＝90°， ∵将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG， ∴AB＝AE，∠B＝∠AEH＝90°， 在Rt△ABN与Rt△AEN中， ， ∴Rt△ABN≌Rt△AEN（HL）， ∴BN＝EN， 同理DM＝EM， ∵MN＝EN+EM， ∴MN＝BN+DM； （2）解：能， 理由：∵CD＝EF， ∴当CD，EF互相平分时，四边形DECF是矩形， 设BN＝x，则CN＝8﹣x，NM＝x+4， 在Rt△MCN中，∵CN2+CM2＝MN2， ∴（8﹣x）2+42＝（x+4）2， ∴， 即． 22．（2024•建平县模拟）【发现问题】 如图，某公园在一个扇形OEF草坪上的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA，在A处安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状． 【提出问题】 喷出的水距地面的高度y米与喷出的水与池中心的水平距离x米之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小腾测出连喷头在内柱高，喷出的水流在与O点的水平距离4米处达到最高点B，点B距离地面2米．于是小腾以OA所在直线为y轴，垂直于OA的地平线为x轴，点O为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点A，点B的坐标，从而得到y与x函数关系式． 【解决问题】 （1）如图1，在建立的平面直角坐标系中，点A的坐标为，水流的最高点B的坐标为（4，2），求抛物线水流对应的函数关系式； （2）当喷头旋转120°时，这个草坪刚好被水覆盖，求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用含π的式子表示）； （3）在扇形OEF的一块三角形区域地块△OEF中，现要建造一个矩形GHMN花坛，如图2的设计方案是使H、G分别在OF、OE上，MN在EF上．设MN＝2x米，当x为多少米时，矩形GHMN花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， ∵水流的最高点B的坐标为（4，2）， ∴y＝a（x﹣4）2+2，代入A点， 得＝a（0﹣4）2+2， 解得：a＝﹣， y＝﹣（x﹣4）2+2＝﹣（x＞0）； （2）令y＝0，则x＝10， 喷水装置能喷灌的草坪的面积＝＝（平方米）； （3）由矩形GHMN可得，GH＝MN＝2x，NG＝MH，∠MNG＝∠NMH＝90°， ， 过O作OP⊥EF，交EF于点P， ∵∠EOF＝120°，OE＝OF， ∴∠FEO＝∠EFO＝30°， ∵OE＝10（m）， ∴OP＝OE•sin∠PEO＝5（m），EP＝OE•cos∠PEO＝5（m）， 同理可得，FP＝5（m）， ∵∠ENG＝180°﹣∠MNG＝90°＝∠EPO，∠PEO＝∠NEG， ∴△PEO∽△NEG， ∴＝， 同理可得，＝， ∵NP＝EP﹣EN，MP＝FP﹣FM， ∴PM＝PN， ∵MN＝2x（m）， ∴PM＝PN＝x（m），NG＝MH＝（5﹣x）（m）， 矩形GHMN花坛的面积＝2x×（5﹣x）＝（﹣2x2+10x）（m2）， ∴x＝﹣＝时，矩形GHMN花坛的面积最大为平方米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$