5.1.2　垂线 教案 2023--2024学年人教版七年级数学下册

人教版初中数学　七年级下册 5.1.2　垂线 教学目标 1．认识垂线，理解“互相垂直”和“垂足”的含义． 2．能够过一点画已知直线的垂线． 3．掌握垂线的性质，理解“垂线段最短”并能进行应用． 教学重点 垂线的画法及性质． 教学难点 理解垂线段最短，并能进行应用． 教学过程 新课导入 如图，是相交线的模型，固定木条a，转动木条b．当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化． 【设计意图】结合上节课学过的相交线的相关知识，通过角度变化引出本节课要学习的新内容． 新知探究 一、探究学习 【新知】当∠α＝90°时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b． 垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫做 垂足 ．在下图中，AB⊥CD， 垂足 为O． 【师生活动】结合图形，对新知识进行学习，并通过填空的形式让学生掌握新概念． 【提醒】1．垂直是两条直线的位置关系，如果a是b的垂线，那么b也是a的垂线． 2．垂线是直线，不是线段或射线，不能测量其长度． 3．线段、射线的垂直是指它们所在的直线垂直． 【新知】根据两条直线垂直的定义可知，如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线垂直． 下图中，如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝90°， 那么AB⊥CD． 这个推理过程可以写成下面的形式： 因为 ∠AOD＝90° ， 所以 AB⊥CD (垂直的定义)． 【问题】如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？你能得出什么结论？ 【师生活动】教师引导学生进行反向思考，从而推出∠AOD的度数． 【答案】如果AB⊥CD，那么∠AOD是90°． 得出结论：垂直的定义既是判定也是性质，即 【思考】如下图，在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见： 你能再举出其他例子吗？ 【问题】（1）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 【师生活动】教师引导学生，总结出用三角尺画垂线的方法：第1步：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 第2步：沿另一直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 【答案】如图，能画出无数条垂线： 【追问】（2）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ （3）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 【师生活动】学生组内交流，在第（1）问画垂线的基础上总结出过直线上一点画已知直线的垂线的方法： 第1步：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 第2步：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点； 第3步：沿此直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 【答案】（2）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出一条． （3）仿照过直线上一点画已知直线的垂线，画出经过直线l外一点B的垂线，这样的垂线能画出一条． 【提醒】过一点画已知直线的垂线，其本质就是利用三角尺（或量角器），使过一点的直线与已知直线所形成的夹角为90°． 【归纳】垂线的性质 经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．即在同一平面内，过一点 有且只有一条 直线与已知直线垂直． 【动图】仔细观察下面的动图，进一步感受“过直线上一点”“过直线外一点”垂线的画法． 【设计意图】通过画经过一点的已知直线的垂线，动手操作，体会垂线的存在性和唯一性，加深对这一基本事实的认识． 【思考】如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？ 【师生活动】教师引导学生找到解决这一问题的关键点：要解决这个问题，我们需要找到河渠中到点P的距离最近的点，所以问题转变成如何确定这个点，为了确定这个点，需要先解决下面的问题． 【问题】如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3，…，其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的 垂线段 )．比较线段PO，PA1，PA2，PA3，…的长短，这些线段中，哪一条最短？ 【师生活动】教师引导学生通过画图，测量等多种方法，比较线段的长短． 【答案】画出图形如下： 所以可以得到：垂线段PO最短． 【归纳】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成： 垂线段最短 ． 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【特别提醒】垂线是直线，垂线段是线段，这两者是图形；点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能画，可以测量． 【问题】现在你知道水渠该怎么挖了吗？在图中画出来． 【答案】如图，AP即为最短的渠道． 【动图】仔细观察下面的动图，直观地感受“垂线段最短”． 【设计意图】学生通过动手操作，得到垂线段最短的性质． 二、典例精讲 【例1】（1）过点P分别画OA，OB的垂线． （2）过点A画BC的垂线． 【师生活动】学生动手操作画出垂线，教师点评． 【答案】解：（1）画出垂线如图： （2）画出垂线如图： 【设计意图】通过画图，考查学生对垂线定义的掌握，同时知道画垂线要标出垂直符号． 【例2】如图． （1）点B到直线AD的距离是线段______的长度；点D到直线AB的距离是线段_______的长度． （2）在线段DA，DB，DC中，_________最短；在线段BA，BE，BD中，________最短． 【师生活动】教师引导学生对图形进行分析：（1）点B到直线AD的距离是指过点B向AD所画垂线段的长度，由图可知即为线段BE的长度．同理线段DC的长度即为点D到直线AB的距离． （2）利用“垂线段最短”这一性质进行判断． 【答案】（1）BE　　DC　　（2）DC　　BE 【归纳】最短（或最近）问题的两依据 （1）两点之间，线段最短；（2）垂线段最短． 【设计意图】考查学生能否对“点到直线的距离”和“垂线段”的概念进行区分． 课堂小结 板书设计 　　一、垂直的定义 二、垂线的性质 三、垂线段最短 课后任务 完成教材第6页练习． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $$