3.3　幂函数　课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3　幂函数 -1- -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 重点 难点 1.通过具体实例,了解幂函数的定义,会作五个幂函数的图象,理解它们的性质. 2.通过对幂函数的研究,体会研究一类函数的基本内容与方法. 学习目标 首页 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 杨幂 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 思考 问题：函数y=2x,y=x2,这两个函数有什么区别？ -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 问题引入：函数的生活实例 问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p = 。 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S = _______ 问题3：如果正方体的边长为b，那么正方体的体积是V =_________ 问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c=_________ 问题5：如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v = __________ 这里p是w的函数 这里S是a的函数 这里V是b的函数 这里c是S的函数 这里v是t的函数 w a² b³ t-1 km/s y = x² y= x³ y= x y=x 课前篇 自主预习 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 （1）都是函数； （2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1。 上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。 　 　 　 　 　 以上问题中的函数有什么共同特征？ 课前篇 自主预习 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 一.幂函数定义 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (1) 幂函数系数为1. (2) 底数必须是自变量x. (3)指数必须是常数 . 幂函数的定义是什么？ 定义说明： (3)只能有一项 . -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 例一：会判断一个函数是否为幂函数 1.判断下列函数是否为幂函数 课堂篇 探究学习 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 x y 0 1 1 R R 定义域： 值 域： 奇偶性： 在(0,+∞)上的单调性：单调递增 奇函数 幂函数的图象与性质？ 1.的函数图象： 课前篇 自主预习 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 幂函数的图象与性质？ 2.的函数图象： R [0,+∞） 偶函数 x y 0 1 1 定义域： 值 域： 奇偶性： 在(0,+∞)上的单调性：单调递增 课堂篇 探究学习 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 幂函数的图象与性质？ 3.的函数图象： R 奇函数 x y 0 1 1 R 定义域： 值 域： 奇偶性： 在(0,+∞)上的单调性：单调递增 课前篇 自主预习 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 幂函数的图象与性质？ 4.的函数图象： x y 0 1 1 定义域： 值 域： 奇偶性： 在(0,+∞)上的单调性：单调递增 [0,+∞） [0,+∞） 非奇非偶函数 课堂篇 探究学习 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 幂函数的图象与性质？ 5.的函数图象： y 0 x 1 1 定义域： {x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数 减函数 值域： 在（0,+∞）上的单调性： 奇偶性： 课堂篇 探究学习 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 请在同一、、、、的图象。 1 1 x y 0 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 (1) 图像都过点（1，1)； (2) y=x、y=x3、y=x-1是奇函数， y=x2是偶函数； (3) 在第一象限内，当α>0时是增函数， 当α < 0时是减函数； (4) 在第一象限内，y=x-1的图像向上 与y轴无限接近，向右与x 轴无限接近。 课堂篇 探究学习 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 五个常用幂函数及其性质 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 非奇非偶 单调递增 上减 上增 单调递增 单调递增 在上减 在上减 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 课堂篇 探究学习 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 小结：方法规律 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 幂函数与指数函数的对比 式子 名称 a x y 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a 底数 指数 指数 底数 幂值 幂值 判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数x是指数还是底数 幂函数 指数函数 课堂篇 探究学习 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 例二：利用幂函数的性质比较大小 2.利用幂函数的性质，比较下列两个数的大小. 【解】设 ，则 在R上为增函数.     ∵ -1.5＜-1.4，∴ (-1.5)3＜(-1.4)3 (-1.5)3 和 (-1.4)3 注意： 比较大小用作差法.由增减性，根据自变量的大小，比较函数值的大小；或者根据函数值的大小，比较自变量的大小. 课堂篇 探究学习 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 小结：方法规律 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 例三：证明幂函数的增减性 3.证明幂函数 是增函数.   【证明】函数的定义域是[0，+∞).         因为 ， ，所以       即幂函数 是增函数.   -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 课题小结 1.知识点 2.数学思想方法 （1）数形结合——研究函数图象和性质 （2）待定系数法——求解析式 （3）构造函数法——比较大小 -- 1.2.1　函数的概念 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 首页 幂函数概念 幂函数图象 幂函数性质 1.幂函数的判断方法 (1)幂函数是一种“形式定义”的函数,也就是说必须完全具备形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数. (2)如果函数以根式的形式给出,则要注意先把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断. 2.用待定系数法求幂函数解析式 若已知待求函数是幂函数,则可根据待定系数法,设函数为f(x)=xα,根据条件求出α即可. 1.利用幂函数的单调性比较大小的三种方法 2.利用幂函数的单调性比较大小时要注意的问题 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内,否则无法比较大小. $$