3.3幂函数课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3 幂函数 2024/11/4 1 问题引入： 1、如果张红以1元钱/kg的价格购买某种蔬菜x kg，她需支付y元，那么y与x的对应关系：_________. 2、如果正方形的边长为x，面积为y，那么面积y与x的对应关系：________. 3、如果立方体的棱长为x，体积为y， 那么体积y与x的关对应系: __________. 4、如果一个正方形的面积为x，边长为y， 那么边长y与x的对应关系: ____________. 5、如果某人，x秒内骑车行进了1km，骑车的平均速度为y km/s，那么平均速度y与x的对应 关系:_______________. 以上问题中的函数解析式具有什么共同特征？ 一、幂函数的概念 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 对于幂函数，我们只研究 α=1,2,3,,-1 时的图像与性质. 如何判断一个函数是不是幂函数？ 你能说出幂函数的特征吗？ 解析式 底数 指数 系数 幂函数 y=xα 自变量x 常数α 1 练习：判断哪几个函数是幂函数？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2024/11/4 7 对于幂函数，我们只讨论α=1，2，3， ，–1 时的情形. 二、幂函数性质的探究： 结合以往学习函数的经验，应如何研究幂函数呢？ 作具体幂函数的图象→观察图象特征→总结函数性质. 引导探究 在同一平面直角坐标系内，作出幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝ ，y＝x－1的图象. x y O 如何画出 的图像 x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y=x3 … … … … -8 -1 0 1 8 0 1 0 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 y=x3 / / y= x 2 x O 引导探究 在同一平面直角坐标系内，作出幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝ ，y＝x－1的图象. 幂函数 图 像 定义域 值域 奇偶性 单调性 分布象限 一、三 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 上增 减 增 上增 增 减 减 一、三 一、二 一、三 一 x O 引导探究 在同一平面直角坐标系内，作出幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝ ，y＝x－1的图象. 这些的图象 有什么共同特征？ 探究性质：请同学们结合幂函数图象，将你发现的结论填在下面 的表格内： 定义域 值 域 单调性 公共点 奇函数 R上是 增函数 （1，1） 奇偶性 R R 在（－∞,0]上是减函数，在(0, +∞）上是增函数 偶函数 R [0，+∞） R上是增函数 R R 奇函数 在（0，+∞）上是增函数 非奇非偶函数 [0,+∞） [0,+∞） 在( －∞,0）和(0, +∞）上是减函数 奇函数 {x| x ≠ 0} {y| y≠ 0} 幂函数在第一象限必有图像，在第四象限必没有图像 2024/11/4 14 幂函数y=xα在第一象限的图象特征 幂函数在(0，+∞)上的单调性 (1)如果α＞0，幂函数y=xα在(0，+∞)上是增函数. (2)如果α＜0，幂函数y=xα在(0，+∞)上是减函数. 规律总结 2024/11/4 15 思考： （2）幂函数的指数是奇数和偶数时，幂函数的奇偶性如何？ （3）在第一象限内，幂函数的单调性与指数的关系如何？ （1）幂函数的图象都恒过点 么？为什么？恒过点 么？ （5）幂函数的定义域是 么？ （4）在第一象限内，幂函数 与坐标轴的关系？ 例1： 证明幂函数 　 是增函数． 证明： 例2 ：比较下列各组数的大小 练习： 已知幂函数y = f (x)的图象经过点(3 ， )， 求这个函数的解析式. 练习： 如果函数f (x) = (m2－m－1) 是幂函数， 求实数m的值. m= -1 或 m= 2 收 获 与 体 会 (1) 幂函数的定义； (2) 幂函数的性质； (3) 利用幂函数的单调性判别大小. $$