第三章 函数的概念及性质（提升卷）-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

第三章 函数的概念及性质(提升卷) 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 5．定义一种新的运算符号“”：，已知，，且的最小值是.则的所有取值是（   ） A． B． C．1 D． 6．已知定义在上的奇函数，当时，，当时，有解，则实数的最大值（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．以为周期的函数 D． 8．若为定义在上的函数，且关于原点对称，则“存在，使得”是“函数为非奇非偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（   ） A．为偶函数 B．恰有4个单调区间 C．的最小值为 D．的图象与轴有4个公共点 11．已知函数的定义域为，若对任意的，都有，且函数为偶函数，当时，函数为增函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数为奇函数 B．函数图象的一条对称轴为直线 C．对任意，都有 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．幂函数在上是减函数，则的值为 ． 13．定义为，，中的最大值，设，则的最小值为 ． 14．已知函数，若的值域为，则实数的值是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知 是奇函数，且 . (1)求实数a，b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明． 16．（15分）最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？ 17．（15分）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）若函数的定义域是，且对任意的，，都有成立. (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式； (3)在条件（2）前提下，解不等式. 19．（17分）已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”． (1)判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由； (2)若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围； (3)已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数的概念及性质(提升卷) 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，则， 所以的定义域为． 故选：B 2．下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】A选项，函数与的定义域均为， ，，对应关系不同， 所以和不是同一个函数； B选项，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，所以和不是同一个函数； C选项，与， 定义域和对应关系均相同，所以是同一个函数； D选项，函数中，需满足， 解得，所以函数的定义域为， 而中，需满足， 解得或，所以函数的定义域为， 函数和的定义域不同，所以和不是同一个函数. 故选：C. 3．已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 所以， 所以， 故选：D． 4．若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，    由图可知，的解集是， 故选：B． 5．定义一种新的运算符号“”：，已知，，且的最小值是.则的所有取值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由定义知，， 结合二次函数的性质知，当时，取得最小值为， 又的最小值是， 则，解得， 故选：D. 【点睛】关键点睛： 本题的关键是读懂定义，求出. 6．已知定义在上的奇函数，当时，，当时，有解，则实数的最大值（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【详解】因为定义在上的奇函数，当时，， 所以当时，， 所以当时，函数单调递增，， 时，单调递增，； 所以，由奇函数的性质知，函数在上单调递增， 所以，当时，由于，故，，此时恒成立， 当时，， 所以，当时，有解等价于在上有解， 所以，由在上单调递增得在上有解，即在上有解， 所以，即. 所以，实数m的最大值为. 故选：A 7．已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．以为周期的函数 D． 【答案】D 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以，， 对于A，令，可得， 因为，可得，故A正确； 对于B，因为， 所以， 可得， 从而， 又因为，可得， 所以，可得， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，因为， 所以，所以， 可得，所以有， 所以以6为周期的函数，故C正确； 对于D，，，令可得，可得， 令可得，可得， 令可得，可得， 令可得，可得，所以， 所以，故D错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键，求解抽象函数问题，要有扎实的基础知识和较强的抽象思维和逻辑推理能力. 8．若为定义在上的函数，且关于原点对称，则“存在，使得”是“函数为非奇非偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由得且， 由前式可得不是偶函数，由后式可得不是奇函数，由此可得是非奇非偶函数， 即是函数为非奇非偶函数的充分条件； 反之不成立，举例如下：当时，，当时，. 当时，有，而，，所以不是奇函数； 又当以及时，都有，所以不是偶函数， 而对于，都有成立， 所以若函数为非奇非偶函数不能得到. 故是函数为非奇非偶函数的充分不必要条件. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为，， 则为偶函数， 当时，函数在上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为，，即为偶函数， 函数在上单调递增，C正确； 对于D，的定义域为，且， 为偶函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC 10．已知函数，则（   ） A．为偶函数 B．恰有4个单调区间 C．的最小值为 D．的图象与轴有4个公共点 【答案】AB 【详解】由，，可知，为偶函数，A正确； 中含有绝对值，分类讨论去绝对值，得分段函数： 画出对应图象： 由图可知：恰有4个单调区间，故B正确； 由图可知：分别在，时取得最小值，故C错误； 由图可知：的图象与轴有3个公共点，故D错误. 故选：AB 11．已知函数的定义域为，若对任意的，都有，且函数为偶函数，当时，函数为增函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数为奇函数 B．函数图象的一条对称轴为直线 C．对任意，都有 D． 【答案】BCD 【详解】由，则是的一个对称中心， 由为偶函数，则是的一条对称轴， 所以，，则①， 将①中用代换，所以，故， 所以，又为偶函数，故是周期为4的偶函数，A错， 由，又是一条对称轴，则也是一条对称轴，B对， 由，，故区间单调性与区间相同， 又关于对称，故在区间单调递增，则区间上递增， 由上易得，即关于对称，故在区间上递减， 所以，在一个周期内，在上递减，在上递增，且，， 所以、对应值域相同，且区间上，区间上， 所以，对任意，都有，C对， 由上分析，则，D对. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：通过已知条件得到的周期性和对称性是关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．幂函数在上是减函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，解得：, 所以. 故答案为： 13．定义为，，中的最大值，设，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】分别画出的图象，则函数的图象为图中实线部分， 如图，函数的最低点为， 由，解得或，即， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 14．已知函数，若的值域为，则实数的值是 . 【答案】/ 【详解】因为， 当时，当时，，不合题意； 当时，当时，，不合题意； 所以， 当时，，即， 当时，开口向下，对称轴为， 当时，， 令，即，解得或（舍去）， 令，即，解得或， 作出的大致图象，如图， 因为的值域为，所以，解得，经检验，满足题意. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知 是奇函数，且 . (1)求实数a，b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明． 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析. 【详解】（1）因为为奇函数，所以，即 恒成立，解得， 又，所以 ，所以. （2）由（1），知，在上单调递增． 证明如下： 设，则 = . 由，则. 所以，即，故在上单调递增． 16．（15分）最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？ 【答案】(1) (2)90万件 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故 （2）时，， 当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当即时取到等号， ， 时，取得最大值， 17．（15分）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【详解】（1），， ，解得， . （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减. （3）由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 18．（17分）若函数的定义域是，且对任意的，，都有成立. (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式； (3)在条件（2）前提下，解不等式. 【答案】(1)为奇函数 (2) (3)或 【详解】（1）为奇函数， 理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得，所以对任意恒成立， 所以为奇函数， （2）由题知当时，， 则时，， 又， 所以. （3）作出函数的图象，如下图所示： 由图可知，是定义在上的增函数， 因为，所以， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 19．（17分）已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”． (1)判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由； (2)若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围； (3)已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2) (3)证明见解析； 【详解】（1）由题意可得，当时，，此时倍区间为， 但，所以不是函数的一个“倍区间”， （2）由题意可得当时，， 因为， 所以，即， 所以m的取值范围为， （3）当时，由，得， 当时，由，得， 所以在为单调递增函数，所以在上的值域为， 当时，，得，即， 当时，，得，即， 设，则当时，，当时，， 所以在上单调递减， 因为，所以，即， 得， 所以，所以（）是的一个“3倍区间”. 【点睛】关键点点睛：本题第三小问关键在于能够通过所给不等式发现函数的单调性，再通过不等式变形构造函数，结合单调性分析. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$