第二章一元二次方程检测卷-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第二章一元二次方程检测卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 一、单选题 1．下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（   ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程的两根分别为，则方程的两根分别为（   ） A．1，5 B． C． D． 4．某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有场比赛，则参加的队数（   ） A．8支 B．9支 C．10支 D．11支 5．如果关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．   且 6．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 7．我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增.已知某年10月份该网站的浏览量为80万人次，第四季度总浏览量为350万人次.如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程为（   ） A． B． C． D． 8．为响应市委市政府提出的建设“绿色泰安”的号召，我市某单位准备将院内一块长，宽的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为多少米？注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 9．一元二次方程 的解为 ． 10．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为 ． 11．一个矩形的两邻边长分别是方程的的两根，则矩形的面积等于 ； 12．若，是方程的两个实数根，则的值为 ； 13．对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较大的数，如：．按照这个规定，方程的解为 ． 14．已知，是方程的两根，则 ． 15．如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动．设运动时间为t，当时，时间 ． 16．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 三、解答题 17．计算 (1) ； (2)； (3) ； (4)． 18．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)当为正整数时，求方程的解． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根满足，求k的值． 20．人工智能是近年来科技发展的热点，它的发展和应用正在改变着我们的生活方式，随着AI技术的快速发展和广泛应用，掌握技能的人才需求也越来越大．为了培养更多的技术人才，某校开设了兴趣班，并修建了一个周长为90米，面积为500平方米的矩形兴趣教育基地，如图． (1)请你求出该矩形基地的长和宽； (2)为了便于使用，校方在该基地中间修建了两条互相垂直且等宽的作品展示长廊（图中阴影部分），剩余部分的面积恰好为300平方米，求每条作品展示长廊的宽为多少米？ 21．综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以探究“购买、销售葡萄的方法”为主题，展开学习．某超市准备从A市场和B市场购买葡萄． A市场的优惠方式：葡萄的售价为18元/千克，无论购买多少千克均不打折． B市场的优惠方式：葡萄的售价为20元/千克，若一次购买5千克以上，超过5千克的部分打折销售． 在B市场购买葡萄的部分小票统计如下．（精确到1千克） 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 … 付款金额/元 20 40 60 80 100 118 136 154 … (1)若该超市在B市场一次购买5千克以上的葡萄，超过5千克的部分打几折？ (2)当超市需要购买20千克葡萄时，请通过计算说明，选择哪个市场比较划算？ (3)该超市决定从A市场购进葡萄，如果超市以28元/千克销售，平均每天可以售出100千克，为了尽快减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，销售量会增加10千克．问该超市降价多少元时，每天的销售利润为840元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B B C D D 1．C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程”对选项进行判断即可． 【详解】解：A．当时，原等式为，不满足一元二次方程的定义，不是一元二次方程，不符合题意； B．，未知数的最高次数是1，不满足一元二次方程的定义，不是一元二次方程，不符合题意； C．，满足一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意； D．，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 故选C． 2．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法——配方法过程步骤为：1．把原方程化为一般形式．先移常数项，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果． 【详解】解： ， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解；利用换元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程（a≠0）的两根. 【详解】解：记，则即的两根为， 故或， 故选：D． 4．B 【分析】设有支球队参加比赛，那么第一支队和其他队打场球，第二支队和其他队打场，以此类推可以知道共打场，然后列出方程求解． 【详解】解：设有支球队参加比赛， 依题意得， 即， ， 或（不合题意，舍去）． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的的运用，根据一元二次方程的定义可得，根据方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，， ∴，， 即且， 故选：B ． 6．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为：， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D 8．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程．设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为平方米列出方程求解即可． 【详解】解：设小道进出口的宽度为米，依题意得， 整理，得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴． 即小道进出口的宽度应为米． 故选：D． 9． 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴或， 解得， 故答案为：． 10． 【详解】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解关于m的方程即可． 【分析】解：把代入得， 解得 故答案为 11．6 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，矩形的性质，由方程得到两个一次方程，再解一次方程结合矩形面积公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：， ∴矩形相邻的两边分别为：2和3， ∴矩形的面积为：； 故答案为：6． 12． 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程中根与系数的关系，根据题意，，为方程的根，得，根据，则，根据，即可． 【详解】解：∵若，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根据方程的特点选取适当的方法求解是关键．分与两种情况讨论即可． 【详解】解：当即时，， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当即时，， ∴， ∴， ∴或， ∴，（舍去） 综上所述， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：若，是一元二次方程的两根时，，，是解答本题的关键．根据根与系数的关系和方程的解得到，，，，将原式化简得到，再代入求值即可． 【详解】解：，是方程的两根， ，，，， ， 故答案为：． 15．或 【分析】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 作，垂足为，设运动时间为秒，用表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：当运动时间为t时，， 过点P作于点H， ∴四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：，． 故答案为：或． 16． 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 17．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，以及直接开方法， （1）用配方法配方得，再开方即可求出解； （2）用公式法先求出，再代入公式即可求出解； （3）提取公因式方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （4）移项后运用平方差公式将方程左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， ， ∴或， ∴，； （4）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 18．(1)且 (2)， 【分析】此题考查了一元二次方程的根的情况求参数，解一元二次方程，正确理解并掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根得，计算即可； （2）根据m的取值范围可得，代入解方程即可． 【详解】（1）方程有两个不相等的实数根， 解得：， ， ， 的取值范围为且； （2）为正整数，且， ， 当时，原方程为， 解这个方程得：，． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式； （1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值． 【详解】（1）解：根据题意得 解得； （2）解：根据题意得： ∵， ， 即 ， 整理得 ， 解得 ∵， ∴． 20．(1)该矩形基地的长为25米，宽为20米 (2)每条作品展示长廊的宽为5米 【分析】本题考查了一元二次方程的运用； （1）设宽为x米，则长为米，根据面积为500平方米列出方程计算即可； （2）设每条作品展示长廊的宽为y米，根据剩余部分的面积恰好为300平方米列方程求解即可． 【详解】（1）解：设宽为x米，则长为米． 根据题意，得， 整理，得， 解得，． 当时，， 当时，，不合题意，舍去． 该矩形基地的长为25米，宽为20米． （2）解：设每条作品展示长廊的宽为y米， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵该矩形基地的长为25米，宽为20米， ∴， 每条作品展示长廊的宽为5米． 21．(1)超过5千克的部分打9折 (2)选择在A市场购买比较划算 (3)该超市降价4元时，每天的销售利润为840元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设超过5千克的部分打x折，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）根据题意及（1）可直接进行计算即可； （3）设该超市降价x元时，每天的销售利润为840元，由题意可得方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设超过5千克的部分打x折，由题意得： ， 解得：， 答：超过5千克的部分打9折． （2）解：由题意得： 在A市场所需费用为（元）； 在B市场所需费用为（元）； 答：选择在A市场购买比较划算． （3）解：设该超市降价x元时，每天的销售利润为840元；由题意可得： ， 解得：（舍去）； 答：该超市降价4元时，每天的销售利润为840元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$