2024—2025学年沪教版（上海）数学九年级第一学期 期中复习讲义05 平面向量-

期中复习（平面向量） 【知识点复习】 ★1. 实数与向量相乘的意义 一般地，设为正整数，为向量，那么我们用表示个相加;用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 注意：设为一个正数，实际上就是将的长度进行放缩，而方向保持不变;也是将的长度进行放缩，但方向变为反向. ★2. 实数与向量相乘的运算的规定 设是一个实数,是向量,那么与相乘所得的积是一个向量,记作. 如果 ,且,那么的长;的方向:当时与同方向;当时与反方向. 如果或,那么. 根据实数与向量相乘的意义，可知 注意： （1） 也表示实数与向量相乘的运算.规定应把实数写在向量前面并省略乘号; （2） 注意不要将表示向量的箭头写在数字上面. ★4. 实数与向量相乘满足的分配律 设为实数，则（1）;（2） ★5. 实数与向量相乘满足的结合律 设为实数,则. 注意：或为零以及或为零向量时，等式依然成立. ★6. 如果向量与非零向量平行,那么存在唯一的实数,使. 注意：满足，关于的符号，是由与同向或反向来确定的，当与方向相同时，的符号为正号；当与方向相反时，的符号为负号. ★7.长度为1的向量叫做单位向量.设为单位向量,则. 注意：在实数中,0和1是特殊的数;在向量中,和是特殊的向量,其中单位向量有无数个,不同的单位向量,是指它们的方向不同.对于任意非零向量,与它同向的单位向量记作.由实数与向量的乘积,可知=,=. 【真题演练】 一．选择题（共12小题） 1．（2023秋•金山区校级期中）下列判断不正确的是　　 A． B．如果向量与均为单位向量，那么或 C．如果，那么 D．对于非零向量，如果，那么 【答案】 【解答】解：、，计算正确，原说法正确，故本选项不符合题意； 、如果向量与均为单位向量，那么它们的模相等，即，原说法错误，故本选项符合题意； 、如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意； 、对于非零向量，如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（2023秋•长宁区校级期中）下列命题中，错误的是　　 A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果为实数），那么 D．如果或，那么 【答案】 【解答】解：由题意，或， ， 选项正确，不符合题意． 、为实数， ， 选项正确，不符合题意． 为实数）， ，错误，时，不成立， 选项错误，符合题意． 或， ， 选项正确，不符合题意． 故选：． 3．（2023秋•长宁区校级期中）下列判断正确的是　　 A． B．如果，那么 C．若向量与均为单位向量，那么 D．对于非零向量，如果，那么 【答案】 【解答】解：、错误，两个向量相减得到的结果是向量，不是实数，故该选项不符合题意； 、错误，两个单位向量，不一定相等，因为方向不一定相同，故该选项不符合题意； 、错误，两个单位向量不一定相等，因为方向不一定相同，故该选项不符合题意； 、正确，根据平行向量的特征判定可得，故该选项符合题意． 故选：． 4．（2023秋•静安区期中）下列说法中，错误的是　　 A． B． C． D．若的方向相同或相反，则． 【解答】解：、应为，故本选项符合题意； 、正确，故本选项不符合题意； 、正确，故本选项不符合题意； 、若、的方向相同或相反，则，正确，故本选项不符合题意． 故选：． 5．（2020秋•奉贤区期末）已知、和都是非零向量，下列结论中不能确定的是　　 A． B． C．， D．， 【答案】 【解答】解：、由只能推知与的模相等，无法推知这两个向量的方向，无法确定，故本选项符合题意． 、由可以确定与的方向相同，可以确定，故本选项不符合题意． 、由，可以确定、和的方向相同，则确定与的方向相同，可以确定，故本选项不符合题意． 、由，可以确定、和的方向相同，则确定与的方向相同，可以确定，故本选项不符合题意． 故选：． 6．（2023秋•长宁区校级期中）下列说法正确的是　　 A． B．如果和都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果为非零向量），那么 【答案】 【解答】解：， 故选项不正确，不符合题意； 如果和都是单位向量，可得，不一定能得到， 故选项不正确，不符合题意； 如果，不一定能得到， 故选项不正确，不符合题意； 如果为非零向量），那么， 故选项正确，符合题意． 故选：． 7．（2023•松江区一模）已知、为非零向量，下列判断错误的是　　 A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么 【答案】 【解答】解：、如果，那么两向量是共线向量，则，故本选项不符合题意． 、如果，那么两向量为共线向量，则，故本选项不符合题意． 、，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项符合题意． 、根据向量模的定义知，，故本选项不符合题意． 故选：． 8．（2022秋•浦东新区期中）下列判断正确的是　　 A．如果，那么 B．若向量与均为单位向量，那么 C．如果，那么 D．对于非零向量，如果 ，那么 【答案】 【解答】解：、错误，模相等的两个向量不一定相等； 、错误，两个单位向量，不一定相等，因为方向不一定相同； 、错误，应该是； 、正确，根据平行向量的特征判定可得． 故选：． 9．（2020•涡阳县模拟）下列说法不正确的是　　 A．设为单位向量，那么 B．已知、、都是非零向量，如果，，那么 C．四边形中，如果满足，，那么这个四边形一定是平行四边形 D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【解答】解：、设为单位向量，那么，故本选项说法正确． 、已知、、都是非零向量，如果，，那么、方向相反，则，故本选项说法正确． 、四边形中，如果满足，即，不能判定这个四边形一定是平行四边形，故本选项说法错误． 、由平面向量的平行四边形法则可以推知，平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，故本选项说法正确． 故选：． 10．（2023秋•宝山区期中）已知非零向量、和，下列条件中不能判定的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ，故能判定； 已知模的关系不能判断方向的关系，故不能判定； ， ，故能判定； ，， ， ，故能判定， 故选：． 11．（2023秋•崇明区期中）已知（其中为实数），下列说法中错误的是　　 A．若，那么 B．若，那么一定是非零向量 C．若，那么与的方向相反 D．若是单位向量，那么的模是 【答案】 【解答】解：、若，则， ， 故选项正确，不符合题意； 、若时，可能是零向量，也可能是非零向量， 可能是零向量，也可能是非零向量， 故选项错误，符合题意； 、若，那么与的方向相反， 故正确，不符合题意； 、若是单位向量，那么， 的模是， 故选项正确，不符合题意． 故选：． 12．（2022秋•徐汇区期中）下列说法中正确的是　　 A．如果或，那么 B．如果与均是单位向量，那么 C．如果是单位向量，的长度为5，那么 D．如果、为非零实数，为非零向量，那么 【答案】 【解答】解：如果或，那么，故错误； 如果与均是单位向量，那么，故错误； 如果是单位向量，的长度为5，那么，故错误； 如果、为非零实数，为非零向量，那么，故正确， 故选：． 二．填空题（共16小题） 13．（2023秋•金山区校级期中）如果向量与单位向量方向相反，长度为，那么向量用单位向量表示为 　　． 【答案】． 【解答】解：向量与单位向量方向相反，长度为， ． 故答案为：． 14．（2023秋•长宁区校级期中）如果为单位向量，与方向相反，且长度是3，那么　　（用表示）． 【答案】． 【解答】解：的长度为3，向量是单位向量， ， 与单位向量的方向相反， ． 故答案为：． 15．（2023秋•长宁区校级期中）计算：　　． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 16．（2017秋•青浦区期末）如图，在中，点是边的中点．如果，，那么　　（结果用含、的式子表示）． 【解答】解：，， ， ， ， 故答案为：； 17．（2023秋•青浦区校级期中）计算：　　． 【答案】． 【解答】解：， 故答案为：． 18．（2015秋•闵行区期末）过的重心作，分别交于点，于点，如果，，那么　　． 【解答】解：过的重心作， ， ． 故答案为：． 19．（2023秋•长宁区校级期中）如果，那么 　　（用向量、表示向量． 【答案】． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 20．（2023秋•长宁区校级期中）已知两个非零向量、的方向相反，且，那么　　（用向量表示）． 【答案】． 【解答】解：两个非零向量、的方向相反，且， ， ． 故答案为：． 21．（2023秋•青浦区校级期中）已知点为的重心，，，那么　　．（用、表示） 【答案】． 【解答】解：如图所示， 点是的中点， ， 点为的重心， ， ，， ， 故答案为：． 22．（2022秋•宝山区期末）计算：　　． 【答案】． 【解答】解： ． 故答案为：． 23．（2020•涡阳县模拟）如图4，，、相交于点，且．设，，那么向量　　．（用向量、表示） 【解答】解：， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 24．（2023秋•宝山区期中）计算：　　． 【答案】． 【解答】解：， 故答案为：． 25．（2023秋•宝山区期中）向量和单位向量的方向相反，且，那么　　．（用表示） 【答案】． 【解答】解：向量与单位向量方向相反，且， ． 故答案为：． 26．（2023秋•崇明区期中）已知是单位向量，与方向相同，且，那么　4　． 【答案】4． 【解答】解：是单位向量， ， 与方向相同，且， ， 故答案为：4． 27．（2023秋•崇明区期中）如图，在中，点是的中点，设，，那么可以用含、的式子表示为 　　． 【答案】． 【解答】解：点是的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 28．（2023•杨浦区一模）计算：　　． 【答案】． 【解答】解：． 故答案为：． 三．解答题（共12小题） 29．（2023秋•金山区校级期中）如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，， （1）用向量、分别表示下列向量；　　；　　； （2）在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】（1）；； （2）见解析． 【解答】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ； ， △△， ， ， ， ； 故答案为：；； （2）如图，即为分别在、方向上的分向量． 30．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在△中，，，点是边上的一点，． （1）试用和表示，即　　； （2）在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）． 【答案】（1）； （2）作图见详解，，． 【解答】解：（1）， ， ， 故答案为：； （2） 如图，，即为所求． ， ， ， ， 同理可得，． 31．（2019秋•奉贤区期中）已知：如图，在中，、分别是边、上的点，且，． （1）求证：； （2）设，，用向量、表示向量； 【解答】（1）证明：， ． ， ． ． ． ； （2）解：由（1）知，，，易得． ，， ． ． 32．（2023秋•青浦区校级期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，和相交于点． （1）如果，，则　　，　　．　　．（用、的线性组合来表示） （2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结论） 【答案】（1），，； （2）作图见解析部分． 【解答】解：（1）四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ； ， ． 故答案为：，，； （2）如图，，即为所求． 33．（2020•亳州模拟）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点在边上，与相交于点，． （1）求的值； （2）设，，那么　　，　　（用向量、表示） 【解答】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ， ， ． （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为，． 34．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在中，点、分别在边和上，，且经过的重心，设，． （1）　　（用向量、表示）； （2）求作向量分别在向量、方向上的分向量．（写出结论，不要求写作法． 【答案】（1）； （2）向量和向量分别是向量在向量、方向上的分向量． 【解答】解：（1）设是的重心，连接，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）向量和向量分别是向量在向量、方向上的分向量． 35．（2023秋•青浦区校级期中）如图，在梯形中，，是的中点，且，与交于点． （1）若，，请用，来表示、； （2）请直接在图中画出在，方向上的分向量． 【答案】（1），． （2）作图见解析部分． 【解答】解：（1），， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）过点作交于点，，即为所求． 36．（2022秋•浦东新区期中）如图，中．点为上的一点，，与相交于点，如果，． （1）用向量、分别表示下列向量； 　　；　　；　　． （2）在图中求作分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果） 【答案】（1），，； （2）作图见解析部分． 【解答】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，，． （2）如图，，即为所求． 37．（2023秋•静安区校级期中）如图，、是的边、上的中线，、相交于点，连接，设，． （1）用请用，表示向量和； （2）在图中，画出向量在和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】（1）；； （2）见解答， 【解答】解：（1），分别是边，上的中线， 是的重心，是的中位线， ，， ， ， ， ， ，． 故答案为：；； （2）作图如下：为所求， 38．（2023秋•宝山区期中）如图，已知、分别是△的边、上的点，，． （1）求的值； （2）联结，设，，试用向量、表示向量． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， △△， ， ， ， ； （2），， ，， ． 39．（2023秋•崇明区期中）已知、． （1）化简：． （2）求作，使． 【答案】（1）； （2）图象见答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）根据（1）知，， 如图所示： 40．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，、相交于点． （1）求的值； （2）如果，，用，表示向量． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ， ， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（平面向量） 【知识点复习】 ★1. 实数与向量相乘的意义 一般地，设为正整数，为向量，那么我们用表示个相加;用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 注意：设为一个正数，实际上就是将的长度进行放缩，而方向保持不变;也是将的长度进行放缩，但方向变为反向. ★2. 实数与向量相乘的运算的规定 设是一个实数,是向量,那么与相乘所得的积是一个向量,记作. 如果 ,且,那么的长;的方向:当时与同方向;当时与反方向. 如果或,那么. 根据实数与向量相乘的意义，可知 注意： （1） 也表示实数与向量相乘的运算.规定应把实数写在向量前面并省略乘号; （2） 注意不要将表示向量的箭头写在数字上面. ★4. 实数与向量相乘满足的分配律 设为实数，则（1）;（2） ★5. 实数与向量相乘满足的结合律 设为实数,则. 注意：或为零以及或为零向量时，等式依然成立. ★6. 如果向量与非零向量平行,那么存在唯一的实数,使. 注意：满足，关于的符号，是由与同向或反向来确定的，当与方向相同时，的符号为正号；当与方向相反时，的符号为负号. ★7.长度为1的向量叫做单位向量.设为单位向量,则. 注意：在实数中,0和1是特殊的数;在向量中,和是特殊的向量,其中单位向量有无数个,不同的单位向量,是指它们的方向不同.对于任意非零向量,与它同向的单位向量记作.由实数与向量的乘积,可知=,=. 【真题演练】 一．选择题（共12小题） 1．（2023秋•金山区校级期中）下列判断不正确的是　　 A． B．如果向量与均为单位向量，那么或 C．如果，那么 D．对于非零向量，如果，那么 2．（2023秋•长宁区校级期中）下列命题中，错误的是　　 A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果为实数），那么 D．如果或，那么 3．（2023秋•长宁区校级期中）下列判断正确的是　　 A． B．如果，那么 C．若向量与均为单位向量，那么 D．对于非零向量，如果，那么 4．（2023秋•静安区期中）下列说法中，错误的是　　 A． B． C． D．若的方向相同或相反，则． 5．（2020秋•奉贤区期末）已知、和都是非零向量，下列结论中不能确定的是　　 A． B． C．， D．， 6．（2023秋•长宁区校级期中）下列说法正确的是　　 A． B．如果和都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果为非零向量），那么 7．（2023•松江区一模）已知、为非零向量，下列判断错误的是　　 A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么 8．（2022秋•浦东新区期中）下列判断正确的是　　 A．如果，那么 B．若向量与均为单位向量，那么 C．如果，那么 D．对于非零向量，如果 ，那么 9．（2020•涡阳县模拟）下列说法不正确的是　　 A．设为单位向量，那么 B．已知、、都是非零向量，如果，，那么 C．四边形中，如果满足，，那么这个四边形一定是平行四边形 D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 10．（2023秋•宝山区期中）已知非零向量、和，下列条件中不能判定的是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•崇明区期中）已知（其中为实数），下列说法中错误的是　　 A．若，那么 B．若，那么一定是非零向量 C．若，那么与的方向相反 D．若是单位向量，那么的模是 12．（2022秋•徐汇区期中）下列说法中正确的是　　 A．如果或，那么 B．如果与均是单位向量，那么 C．如果是单位向量，的长度为5，那么 D．如果、为非零实数，为非零向量，那么 二．填空题（共16小题） 13．（2023秋•金山区校级期中）如果向量与单位向量方向相反，长度为，那么向量用单位向量表示为 　　． 14．（2023秋•长宁区校级期中）如果为单位向量，与方向相反，且长度是3，那么　　（用表示）． 15．（2023秋•长宁区校级期中）计算：　　． 16．（2017秋•青浦区期末）如图，在中，点是边的中点．如果，，那么　 　（结果用含、的式子表示）． 17．（2023秋•青浦区校级期中）计算：　　． 18．（2015秋•闵行区期末）过的重心作，分别交于点，于点，如果，，那么　 　． 19．（2023秋•长宁区校级期中）如果，那么 　　（用向量、表示向量． 20．（2023秋•长宁区校级期中）已知两个非零向量、的方向相反，且，那么　　（用向量表示）． 21．（2023秋•青浦区校级期中）已知点为的重心，，，那么　　．（用、表示） 22．（2022秋•宝山区期末）计算：　　． 23．（2020•涡阳县模拟）如图4，，、相交于点，且．设，，那么向量　　．（用向量、表示） 24．（2023秋•宝山区期中）计算：　　． 25．（2023秋•宝山区期中）向量和单位向量的方向相反，且，那么　　．（用表示） 26．（2023秋•崇明区期中）已知是单位向量，与方向相同，且，那么　　． 27．（2023秋•崇明区期中）如图，在中，点是的中点，设，，那么可以用含、的式子表示为 　　． 28．（2023•杨浦区一模）计算：　　． 三．解答题（共12小题） 29．（2023秋•金山区校级期中）如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，， （1）用向量、分别表示下列向量；　　；　　； （2）在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 30．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在△中，，，点是边上的一点，． （1）试用和表示，即　　； （2）在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）． 31．（2019秋•奉贤区期中）已知：如图，在中，、分别是边、上的点，且，． （1）求证：； （2）设，，用向量、表示向量； 32．（2023秋•青浦区校级期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，和相交于点． （1）如果，，则　　，　　．　　．（用、的线性组合来表示） （2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结论） 33．（2020•亳州模拟）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点在边上，与相交于点，． （1）求的值； （2）设，，那么　　，　　（用向量、表示） 34．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在中，点、分别在边和上，，且经过的重心，设，． （1）　　（用向量、表示）； （2）求作向量分别在向量、方向上的分向量．（写出结论，不要求写作法． 35．（2023秋•青浦区校级期中）如图，在梯形中，，是的中点，且，与交于点． （1）若，，请用，来表示、； （2）请直接在图中画出在，方向上的分向量． 36．（2022秋•浦东新区期中）如图，中．点为上的一点，，与相交于点，如果，． （1）用向量、分别表示下列向量； 　　；　　；　　． （2）在图中求作分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果） 37．（2023秋•静安区校级期中）如图，、是的边、上的中线，、相交于点，连接，设，． （1）用请用，表示向量和； （2）在图中，画出向量在和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 38．（2023秋•宝山区期中）如图，已知、分别是△的边、上的点，，． （1）求的值； （2）联结，设，，试用向量、表示向量． 39．（2023秋•崇明区期中）已知、． （1）化简：． （2）求作，使． 40．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，、相交于点． （1）求的值； （2）如果，，用，表示向量． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$