2024—2025学年沪教版（上海）数学九年级第一学期 期中复习讲义03 黄金分割-

期中复习（黄金分割） 【知识点复习】 黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 【真题演练】 一．选择题（共5小题） 1．（2020•涡阳县模拟）点把线段分割成和两段，如果是和的比例中项，那么下列式子成立的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•青浦区校级期中）已知点是线段的黄金分割点且，若，那么线段为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•崇明区期中）已知是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是　　 A． B． C． D．是与的比例中项 4．（2023秋•阜宁县期末）校园里一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，如果将看作一条线段，为的黄金分割点，，那么的长度为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•西湖区校级期中）如图，若点是线段的黄金分割点，，则的长度是　　 A．5 B． C． D． 二．填空题（共12小题） 6．（2023秋•金山区校级期中）线段长为，点在线段上，且满足，那么的长为 　　． 7．（2023秋•长宁区校级期中）已知点是线段上一点，且，若，则　　． 8．（2023秋•青浦区校级期中）若线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为 　　． 9．（2020秋•凤翔县期末）已知线段的长为2厘米，点是线段的黄金分割点，那么的长是　　厘米． 10．（2023秋•静安区校级期中）已知点在线段上，且，设，则的长为 　　． 11．（2023秋•宝山区期中）已知线段的长为4，点为线段上的一点，且．那么线段　　． 12．（2023秋•闵行区期中）已知：点是线段的黄金分割点，其中较短，若，则　　． 13．（2023秋•闵行区期中）如图，点是的边的黄金分割点，，作交边于点，那么　　． 14．（2021秋•宝山区期末）如果的值是黄金分割数，那么的值为 　　． 15．（2020秋•杨浦区期末）已知线段的长为4厘米，点是线段的黄金分割点，那么线段的长是　　厘米． 16．（2022秋•静安区校级期中）线段，点为线段的黄金分割点，且，则的长为　 　． 17．（2023秋•杨浦区期中）已知点是线段的黄金分割点，，如果，那么　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（黄金分割） 【知识点复习】 黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 【真题演练】 一．选择题（共5小题） 1．（2020•涡阳县模拟）点把线段分割成和两段，如果是和的比例中项，那么下列式子成立的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：点把线段分割成和两段，是和的比例中项， 根据线段黄金分割的定义得：． 故选：． 2．（2023秋•青浦区校级期中）已知点是线段的黄金分割点且，若，那么线段为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由题意知，，即，整理得，， △， ， 解得，或（舍去）， 故选：． 3．（2023秋•崇明区期中）已知是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是　　 A． B． C． D．是与的比例中项 【答案】 【解答】解：是线段上的黄金分割点，且， ， ， 是与的比例中项， 故选：． 4．（2023秋•阜宁县期末）校园里一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，如果将看作一条线段，为的黄金分割点，，那么的长度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：为的黄金分割点，， ， 故选：． 5．（2023秋•西湖区校级期中）如图，若点是线段的黄金分割点，，则的长度是　　 A．5 B． C． D． 【答案】 【解答】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：． 二．填空题（共12小题） 6．（2023秋•金山区校级期中）线段长为，点在线段上，且满足，那么的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：设，则， 根据得代入得， 解得或（舍去）， 故答案为：． 7．（2023秋•长宁区校级期中）已知点是线段上一点，且，若，则　　． 【答案】． 【解答】解：，， ， （负值舍去）， 故答案为：． 8．（2023秋•青浦区校级期中）若线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：线段，点是线段的黄金分割点，且， ， ， 故答案为：． 9．（2020秋•凤翔县期末）已知线段的长为2厘米，点是线段的黄金分割点，那么的长是　　厘米． 【解答】解：点是线段的黄金分割点，， 厘米． 故答案为：． 10．（2023秋•静安区校级期中）已知点在线段上，且，设，则的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：点在线段上，且， 点是的黄金分割点， ， ， ， 故答案为：． 11．（2023秋•宝山区期中）已知线段的长为4，点为线段上的一点，且．那么线段　　． 【答案】． 【解答】解：是线段上的一点，且满足， 为线段的黄金分割点，且是较长线段， ， 故答案为：． 12．（2023秋•闵行区期中）已知：点是线段的黄金分割点，其中较短，若，则　　． 【答案】． 【解答】解：点是线段的黄金分割点，其中较短，， ， ， 故答案为：． 13．（2023秋•闵行区期中）如图，点是的边的黄金分割点，，作交边于点，那么　　． 【解答】解：点是的边的黄金分割点，， ， ， ， ． 故答案为． 14．（2021秋•宝山区期末）如果的值是黄金分割数，那么的值为 　　． 【答案】． 【解答】解：的值是黄金分割数， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（2020秋•杨浦区期末）已知线段的长为4厘米，点是线段的黄金分割点，那么线段的长是　　厘米． 【答案】． 【解答】解：点是线段的黄金分割点，，厘米， 厘米， 厘米， 故答案为：． 16．（2022秋•静安区校级期中）线段，点为线段的黄金分割点，且，则的长为　　． 【解答】解：由于为线段的黄金分割点， 且， 则． 故答案为：． 17．（2023秋•杨浦区期中）已知点是线段的黄金分割点，，如果，那么　　． 【答案】． 【解答】解：设，根据题意得： ， 解得：， 则． 故答案为：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$