2024—2025学年沪教版（上海）数学九年级第一学期 期中复习讲义 解直角三角形

期中复习（解直角三角形） 【知识点复习】 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【真题演练】 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•松江区期中）在中，，，，则的长为　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•宝山区期中）在中，，，，那么边的长为　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•浦东新区期末）在中，，如果，，那么的长是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•宝山区期中）已知平面直角坐标系中，第一象限内射线与轴正半轴的夹角为，点在射线上，如果，且，那么点的坐标是　　 A． B． C． D． 5．（2020秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系中，已知点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值是　　 A． B． C． D．3 二．填空题（共18小题） 6．（2023秋•松江区期中）如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，若，，则的正切值为 　　． 7．（2018秋•曹县期中）如图，菱形的边长为，，则对角线的长为　　． 8．（2023•鄞州区校级模拟）如图，在中，，，，，则线段的长 　　． 9．（2022秋•奉贤区期中）如图，在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正弦值 　　． 10．（2023秋•长宁区校级期中）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．如果菱形的一个角为，、、都在格点上，则的值是 　　． 11．（2021秋•兴化市期末）如图，点、、是正方形网格中的格点，则的值是 　　． 12．（2013春•新泰市期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，则的值等于　 　． 13．（2022•东莞市一模）在中，，，，那么　 　． 14．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在矩形中，，点在边上，若，则的值为 　　． 15．（2023秋•青浦区校级期中）已知点，与轴正半轴的夹角为，则　　． 16．（2023秋•普陀区期中）在中，，，则　　．（用含的式子表示） 17．（2017•天门二模）如图，将一副直角三角板（含角的直角三角板及含角的直角三角板按图示方式叠放，斜边交点为，则与的面积之比等于　 　． 18．（2023秋•宝山区期中）△中，，，，那么　　．（用表示） 19．（2022秋•平谷区期末）如图，在中，，如果，，那么的长为 　　． 20．（2023秋•闵行区期中）如图，在中，，，，边的垂直平分线交边于点，交边于点，联结，那么的值是 　　． 21．（2021•滨湖区模拟）在中，，，，则的面积是　　． 22．（2023秋•长宁区校级期中）已知在中，，，（如图），把绕着点按顺时针方向旋转，将点、的对应点分别记为点、，如果△为直角三角形，那么点与点的距离为 　　． 23．（2018秋•锡山区期末）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为，，，都在格点上，则的值是　　． 三．解答题（共13小题） 24．（2020秋•太仓市期中）如图，在中，是边上的高，，，． 求：（1）线段的长； （2）的值． 25．（2023秋•松江区期中）如图，已知在中，点是边上一点，且，点是边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 26．（2024•凉州区一模）如图，在中，，，分别是边上的中线和高，，，求，的长． 27．（2020秋•杨浦区期中）如图，已知在中，，，点为边延长线上一点，，联结．求的正切值． 28．（2016秋•浦东新区期中）如图，在中，，点、分别在边、上，平分，，，． （1）求的长； （2）求的值． 29．（2024•秦安县校级三模）如图，在中，，垂足为点，平分交于点，，，． （1）求的值； （2）求线段的长． 30．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在△中，点在边上，，且． （1）求证：； （2）如果，，取的中点，联结，求的正弦值． 31．（2022秋•浦东新区期中）如图，在中，，，，点是边上一点，且． （1）求的长； （2）求的值． 32．（2018•黄浦区二模）如图，是的高，是边上一点，与交于点．已知，，． （1）求的面积； （2）求． 33．（2023秋•宝山区期中）如图，中，，，是边的中点，联结． （1）已知，求的长； （2）求的值． 34．（2023秋•崇明区期中）如图，在中，，，． （1）求的长． （2）若点在边上，且，求的值． 35．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在轴负半轴上，且． （1）求的长及的正弦值． （2）若点在轴正半轴上，且．点是轴上的动点，当时，求点坐标． 36．（2013•松江区模拟）已知：如图，在中，，，，是边上的中线． 求：（1）的面积； （2）的余切值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（解直角三角形） 【知识点复习】 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【真题演练】 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•松江区期中）在中，，，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图所示：在中，，，， ， ， 故选：． 2．（2022秋•宝山区期中）在中，，，，那么边的长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，，， 则， ． 故选：． 3．（2022秋•浦东新区期末）在中，，如果，，那么的长是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图： 在中，． 故选：． 4．（2023秋•宝山区期中）已知平面直角坐标系中，第一象限内射线与轴正半轴的夹角为，点在射线上，如果，且，那么点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：过点作轴于点， ， 可假设，则， ， 点的坐标可能是， 故选：． 5．（2020秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系中，已知点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值是　　 A． B． C． D．3 【答案】 【解答】解：如图，过点作轴于， 则， 点的坐标为， ，， ， 即． 故选：． 二．填空题（共18小题） 6．（2023秋•松江区期中）如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，若，，则的正切值为 　　． 【答案】． 【解答】解：垂直平分线段， ， 设， 在中，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（2018秋•曹县期中）如图，菱形的边长为，，则对角线的长为　　． 【解答】解：连接，交与点， 四边形是菱形， ， 在中， ，， ， ， ， ， ， 故答案为． 8．（2023•鄞州区校级模拟）如图，在中，，，，，则线段的长 　　． 【答案】． 【解答】解：过作，垂足为交于，如图， 过作，垂足为交于， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 设长为，则： ， 解得：或（舍去）， ． 故答案为：． 9．（2022秋•奉贤区期中）如图，在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正弦值 　　． 【答案】． 【解答】解：过点作轴于点， ， ，， ， 与轴正半轴所夹的角的正弦值为：． 故答案为：． 10．（2023秋•长宁区校级期中）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．如果菱形的一个角为，、、都在格点上，则的值是 　　． 【答案】． 【解答】解：如图：过点作， 设菱形的边长为， 由题意可得：，，， ， ，， ， 在△中，． 故答案为：． 11．（2021秋•兴化市期末）如图，点、、是正方形网格中的格点，则的值是 　　． 【答案】． 【解答】解：连接，如图所示： 点、、是正方形网格中的格点， 设小正方形的边长为， 由勾股定理得：，，， ， 即， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 12．（2013春•新泰市期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，则的值等于　　． 【解答】解：如图，作轴，垂足为， ， 在中，． 故答案为． 13．（2022•东莞市一模）在中，，，，那么　　． 【解答】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在矩形中，，点在边上，若，则的值为 　5　． 【答案】5． 【解答】解：如图，过点作于，则四边形为矩形， ，， 在直角中，，，由勾股定理知，． ， ， ， ． 故答案为：5． 15．（2023秋•青浦区校级期中）已知点，与轴正半轴的夹角为，则　　． 【答案】． 【解答】解：如图，过点作轴于点，则， 点， ，， ， ， 故答案为：． 16．（2023秋•普陀区期中）在中，，，则　　．（用含的式子表示） 【答案】． 【解答】解：如图：过点作，垂足为， 在中，，， ， ，， ． 故答案为：． 17．（2017•天门二模）如图，将一副直角三角板（含角的直角三角板及含角的直角三角板按图示方式叠放，斜边交点为，则与的面积之比等于　　． 【解答】解：直角三角板（含角的直角三角板及含角的直角三角板按图示方式叠放 ，， ， 设 故答案为 18．（2023秋•宝山区期中）△中，，，，那么　　．（用表示） 【答案】． 【解答】解：△中，， ， ，，， ， 故答案为：． 19．（2022秋•平谷区期末）如图，在中，，如果，，那么的长为 　4　． 【答案】4． 【解答】解：在中，， ， ， ， 故答案为：4． 20．（2023秋•闵行区期中）如图，在中，，，，边的垂直平分线交边于点，交边于点，联结，那么的值是 　　． 【答案】． 【解答】解：设，则， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 21．（2021•滨湖区模拟）在中，，，，则的面积是　　． 【答案】． 【解答】解：过作于，如图所示： 在中，，，， ， ， ， 故答案为：． 22．（2023秋•长宁区校级期中）已知在中，，，（如图），把绕着点按顺时针方向旋转，将点、的对应点分别记为点、，如果△为直角三角形，那么点与点的距离为 　或　． 【答案】或． 【解答】解：分两种情况： ①当点在线段延长线上时，△为直角三角形， ，，， ， ，， ； ②当点在线段上时，△为直角三角形， 同理可得，，， ； 综上所述，点与点的距离为或． 故答案为：或． 23．（2018秋•锡山区期末）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为，，，都在格点上，则的值是　　． 【解答】解：如图，连接，， 设菱形的边长为，由题意得，，，，， ， ， ， 、、共线， 在中，． 故答案为： 三．解答题（共13小题） 24．（2020秋•太仓市期中）如图，在中，是边上的高，，，． 求：（1）线段的长； （2）的值． 【解答】解：（1）是边上的高， ， 在中， ． ， 又， ， ， 又， ； 答：线段的长为5； （2）如图，过点作，垂足为， ， ， 在中， ， 答：的值为． 25．（2023秋•松江区期中）如图，已知在中，点是边上一点，且，点是边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：过点作于点， ， ， ，， ，， 在中，， 解得：， ， ． 26．（2024•凉州区一模）如图，在中，，，分别是边上的中线和高，，，求，的长． 【答案】，． 【解答】解：是的斜边中线， ， ， ， ，在中， 由于， 可设，则， 由勾股定理得：， ， 即， ，， ， ， 解得． 答：，． 27．（2020秋•杨浦区期中）如图，已知在中，，，点为边延长线上一点，，联结．求的正切值． 【答案】 【解答】解：过点作于， 在中 解得， 则， ， 28．（2016秋•浦东新区期中）如图，在中，，点、分别在边、上，平分，，，． （1）求的长； （2）求的值． 【解答】解：（1）， ， 设，则， 由勾股定理得，， 解得， ，， 平分，，， ； （2），， ， ，即， 解得， 则， ， 则． 29．（2024•秦安县校级三模）如图，在中，，垂足为点，平分交于点，，，． （1）求的值； （2）求线段的长． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1），，， ， 解得， 在中，， ， ， 在中，， ； （2），平分， ，， ， 又， ， ， 即． 解得． 30．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在△中，点在边上，，且． （1）求证：； （2）如果，，取的中点，联结，求的正弦值． 【答案】（1）见解析过程； （2）． 【解答】（1）证明：， ， ， ， 又， △△， ； （2）解：如图，过点作于， ，， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ． 31．（2022秋•浦东新区期中）如图，在中，，，，点是边上一点，且． （1）求的长； （2）求的值． 【解答】解：（1），， ，即， 解得， 在中，，，由勾股定理可求得， ， ； （2）如图，过作于， 在中，，， ，即， 解得， 则， 在中，，，由勾股定理可求得， 在中，． 32．（2018•黄浦区二模）如图，是的高，是边上一点，与交于点．已知，，． （1）求的面积； （2）求． 【解答】解：（1），，是的高， ， ，， 的面积是；； （2）作于点， ，， ， ，， ，， ， ， ， 即． 33．（2023秋•宝山区期中）如图，中，，，是边的中点，联结． （1）已知，求的长； （2）求的值． 【解答】解：（1）中， ， ． ， ． 或不合题意舍去）． ． （2）过点作，垂足为． 由（1）知， ． 是边的中点， ， ． ． 在中， ， ． 在中， ． 34．（2023秋•崇明区期中）如图，在中，，，． （1）求的长． （2）若点在边上，且，求的值． 【答案】（1）10； （2）． 【解答】解：（1）如图，过点作，垂足为， 在中，，， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）过点作，垂足为，连接， ，， ， 在中，， ， 设，则， ， ， 解得， ，， 由（1）得， ， 在中，． 35．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在轴负半轴上，且． （1）求的长及的正弦值． （2）若点在轴正半轴上，且．点是轴上的动点，当时，求点坐标． 【答案】（1）；； （2），或，． 【解答】解：（1）点， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， （2）过点作于，如图所示： 设点的坐标为，则， 在中，由勾股定理得：， 点在轴正半轴上，且， 在中，由勾股定理得：， 在中，， 即， ， 在中，，， ， 又，， ， 由三角形的面积公式得：， ， 整理得：， 解得：，， 点的坐标为，或，． 36．（2013•松江区模拟）已知：如图，在中，，，，是边上的中线． 求：（1）的面积； （2）的余切值． 【解答】解：（1）作，垂足为点． ， 设，那么，． ， ． ， ， ，即， 的面积； （2）作，垂足为点． ，， ，． ， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$