2024—2025学年沪教版（上海）数学九年级第一学期 期中复习讲义 09 相似三角形的判定与性质综合

期中复习（相似三角形的判定与性质综合） 【知识点复习】 似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 【真题演练】 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•青浦区校级期中）如图，已知与相交于点，，如果，，，那么等于　　 A． B．1.5 C．14 D．6 2．（2020秋•奉贤区期末）如图，在梯形中，，，对角线、交于点，是梯形的中位线，与、分别交于点、，如果的面积为1，那么梯形的面积为　　 A．12 B．14 C．16 D．18 3．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，平分，且，那么下列结论不一定正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2020•广西）如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则的长为　　 A．15 B．20 C．25 D．30 5．（2023秋•普陀区期中）如图，在梯形中，，，，点是边上的点，，那么下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共12小题） 6．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知，，，，则　　． 7．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在△中，，是边上的高，如果矩形内接于△中，点、分别在边、上，点、在边上，则矩形的周长是 　　． 8．（2023秋•青浦区校级期中）已知、是的边、上的点，若，，，，则 　　得到．（填“能”或“不能” 9．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在中，点、分别在边、上，，若，，，则　　． 10．（2020•太和县模拟）如图，已知，，，是边的中点，是边上一点，，的平分线分别交、于点、，那么的值为　　． 11．（2018•常德二模）如图，在中，，点在边的延长线上，且，垂足为点，如果，，，那么　 　． 12．（2019秋•普陀区期末）如图，△的中线、交于点，点在边上，，那么的值是 　　． 13．（2023秋•青浦区校级期中）在中，矩形的一边在边上，顶点、分别在、上，是边上的高，与交于点，若，，矩形周长为76，则　　． 14．（2023秋•普陀区期中）如图，在中，点为边上一点，，则　　． 15．（2023秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，若，则　　． 16．（2023秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，，是上一点，，连接，过作的垂线交于，连接，则　　． 17．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在矩形中，点是边的中点，联结，将三角形沿所在直线翻折，点落在点处，如果，那么的值为 　　． 三．解答题（共12小题） 18．（2017秋•闵行区期末）如图，已知在△中，，平分，，点在线段的延长线上，联结，交于点，且． （1）求证：； （2）求证：． 19．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在中，，． （1）若，求的长； （2）若，求的值． 20．（2015秋•闵行区期末）如图，已知在中，点为边的中点，点在边上，点在线段的延长线上，且，点在线段上，且． （1）求证：； （2）求证：． 21．（2023秋•静安区期中）已知：如图，四边形是平行四边形，在边的延长线上截取，点在的延长线上，和交于点，和交于点．联结． （1）求证：； （2）如果，求证：． 22．（2022•西双版纳模拟）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，． （1）若于点，且，求证：四边形是菱形； （2）若，求的值； （3）设、、四边形的面积分别为、、，求证： ． 23．（2020•亳州模拟）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点在边上，与相交于点，． （1）求的值； （2）设，，那么　　，　　（用向量、表示） 24．（2022•奉贤区二模）已知：如图，在矩形中，点在边的延长线上，，联结，分别交边、对角线于点、，． （1）求证：； （2）求证：． 25．（2010秋•宝山区期末）如图1，已知，点是内一点，，垂足为点，，，是延长线上一点，连接并延长与射线交于点． （1）当点恰好是线段的中点时，试判断的形状，并说明理由； （2）当的长度为多少时，是等腰三角形； （3）设，是否存在适当的，使得？若存在，试求出的值；若不存在，试说明理由． 26．（2016秋•余干县期末）如图，在中，平分交于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 27．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在梯形中，，，是边上的点，且，交于点． （1）求证：△△； （2）当时，求证：． 28．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在△中，点在边上，，且． （1）求证：； （2）如果，，取的中点，联结，求的正弦值． 29．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在中，点、分别在边和上，，且经过的重心，设，． （1）　　（用向量、表示）； （2）求作向量分别在向量、方向上的分向量．（写出结论，不要求写作法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（相似三角形的判定与性质综合） 【知识点复习】 似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 【真题演练】 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•青浦区校级期中）如图，已知与相交于点，，如果，，，那么等于　　 A． B．1.5 C．14 D．6 【答案】 【解答】解：， ， ， 即， ， 故选：． 2．（2020秋•奉贤区期末）如图，在梯形中，，，对角线、交于点，是梯形的中位线，与、分别交于点、，如果的面积为1，那么梯形的面积为　　 A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】 【解答】解：，是梯形的中位线， ，， ， 设，则，， ，且，为，的中点， ，， ， ， ， ， 的面积为1， ， 同理，， ， ， ， ， ， ， 梯形的面积为：． 故选：． 3．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，平分，且，那么下列结论不一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， 点，点，点，点四点共圆， ，故选项不合题意； 平分， ， ， ，故选项不合题意； ，， ， ， ，故选项不合题意； 故选：． 4．（2020•广西）如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则的长为　　 A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】 【解答】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 故选：． 5．（2023秋•普陀区期中）如图，在梯形中，，，，点是边上的点，，那么下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，，， ，， ， ，故错误； ，， ，， ，，， ， ， ，在以为直径的圆上， ，，故正确； ， ，故正确； ， ， ，故正确， 故选：． 二．填空题（共12小题） 6．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知，，，，则　1　． 【答案】1． 【解答】解：过点作交于点．设． ，， 四边形，四边形都是平行四边形， ， ，， ，， ， △△， ， ， ， ． ． 故答案为：1． 7．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在△中，，是边上的高，如果矩形内接于△中，点、分别在边、上，点、在边上，则矩形的周长是 　24　． 【答案】24． 【解答】解：设与交于点， 四边形是矩形， ， 是上的高， ，， ， ， △△， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 矩形的周长为． 故答案为：24． 8．（2023秋•青浦区校级期中）已知、是的边、上的点，若，，，，则 　不能　得到．（填“能”或“不能” 【答案】不能． 【解答】解：如图： 根据题意得不出，，或， 不能得出， ，，，， 没有夹角， 不能得出， 不能得出， 故答案为：不能． 9．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在中，点、分别在边、上，，若，，，则　8　． 【答案】8． 【解答】解：，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：8． 10．（2020•太和县模拟）如图，已知，，，是边的中点，是边上一点，，的平分线分别交、于点、，那么的值为　　． 【解答】证明：，是边的中点， ， 是的平分线， ， ， ； ， 故答案为：． 11．（2018•常德二模）如图，在中，，点在边的延长线上，且，垂足为点，如果，，，那么　12　． 【解答】解：， ， ，， ， ， ， 即， 解得：， 故答案为：12． 12．（2019秋•普陀区期末）如图，△的中线、交于点，点在边上，，那么的值是 　　． 【解答】解：△的中线、交于点， 是△的重心， ， ， ， ， ， 故答案为： 13．（2023秋•青浦区校级期中）在中，矩形的一边在边上，顶点、分别在、上，是边上的高，与交于点，若，，矩形周长为76，则　20　． 【答案】20． 【解答】解：设为， 矩形的周长为76， 为， 四边形是矩形， ， ， 是边上的高，与交于点， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：20． 14．（2023秋•普陀区期中）如图，在中，点为边上一点，，则　　． 【答案】． 【解答】证明：，， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 15．（2023秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，若，则　4　． 【答案】4． 【解答】证明：，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案为：4． 16．（2023秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，，是上一点，，连接，过作的垂线交于，连接，则　　． 【答案】． 【解答】解：过点作，， ， 设，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 17．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在矩形中，点是边的中点，联结，将三角形沿所在直线翻折，点落在点处，如果，那么的值为 　　． 【答案】． 【解答】解：延长交于， 由折叠的性质得到：， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 是中点， ， ， ， （舍去负值）． 故答案为：． 三．解答题（共12小题） 18．（2017秋•闵行区期末）如图，已知在△中，，平分，，点在线段的延长线上，联结，交于点，且． （1）求证：； （2）求证：． 【解答】证明：（1），， ， ， ， ， △△， ， ． （2）， ， ，， △△， ， ，， △△， ，，， ． 19．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在中，，． （1）若，求的长； （2）若，求的值． 【答案】（1）的长是6； （2）的值是4． 【解答】解：（1）， ， ，， ， ， ， 的长是6． （2）， ， ，且， ， ， 的值是4． 20．（2015秋•闵行区期末）如图，已知在中，点为边的中点，点在边上，点在线段的延长线上，且，点在线段上，且． （1）求证：； （2）求证：． 【解答】证明：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接， ，点为边的中点， ， ，， ， ， ， ． 21．（2023秋•静安区期中）已知：如图，四边形是平行四边形，在边的延长线上截取，点在的延长线上，和交于点，和交于点．联结． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【解答】证明：（1）四边形是平行四边形， ，， 而， ， 而， 四边形为平行四边形， ， ， ； （2）， ， 而， ， ， ，， ，， ， 而， ， ， ， 而， ． 22．（2022•西双版纳模拟）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，． （1）若于点，且，求证：四边形是菱形； （2）若，求的值； （3）设、、四边形的面积分别为、、，求证： ． 【答案】（1）证明过程见解答； （1）1； （3）证明过程见解答． 【解答】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ； （3）证明：设的边上的高为，长为，的边上的高为， ， ，， ，， ， ， 解得：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 23．（2020•亳州模拟）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点在边上，与相交于点，． （1）求的值； （2）设，，那么　　，　　（用向量、表示） 【解答】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ， ， ． （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为，． 24．（2022•奉贤区二模）已知：如图，在矩形中，点在边的延长线上，，联结，分别交边、对角线于点、，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】见解析 【解答】证明：（1），，， ， ， ， ， ， ． （2）在矩形中，，， ， ， ，， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ． 25．（2010秋•宝山区期末）如图1，已知，点是内一点，，垂足为点，，，是延长线上一点，连接并延长与射线交于点． （1）当点恰好是线段的中点时，试判断的形状，并说明理由； （2）当的长度为多少时，是等腰三角形； （3）设，是否存在适当的，使得？若存在，试求出的值；若不存在，试说明理由． 【解答】解：（1）为直角三角形．理由如下： 过点作，垂足为点，如图， ， ， 点是线段的中点，， ， 又，， ， ， ， ，， 而， ， 为直角三角形； （2）设，则， ， ， 设，则， ， ，， ①若，即 解得； ②若，即 解得； ③若时，， ，解得； 综上，当的值分别为、、1时，是等腰三角形． （3）存在．理由如下： 同（2）设，， ，， 由，得， ， ， ， ， 而， ， 解得，（舍去）， ． 26．（2016秋•余干县期末）如图，在中，平分交于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 【解答】（1）证明：平分， ．（1分） ， （1分） ． ，（1分） ， ， （1分） ， ；（1分） （2）解：设中边上的高为． ，（2分） ， ．（1分） ， ．（2分） 27．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在梯形中，，，是边上的点，且，交于点． （1）求证：△△； （2）当时，求证：． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）证明见解答过程． 【解答】证明：（1）， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， △△； （2），， ， ， ，， △△， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． △△，， 又 28．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在△中，点在边上，，且． （1）求证：； （2）如果，，取的中点，联结，求的正弦值． 【答案】（1）见解析过程； （2）． 【解答】（1）证明：， ， ， ， 又， △△， ； （2）解：如图，过点作于， ，， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ． 29．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在中，点、分别在边和上，，且经过的重心，设，． （1）　　（用向量、表示）； （2）求作向量分别在向量、方向上的分向量．（写出结论，不要求写作法． 【答案】（1）； （2）向量和向量分别是向量在向量、方向上的分向量． 【解答】解：（1）设是的重心，连接，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）向量和向量分别是向量在向量、方向上的分向量． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$