2024—2025学年沪教版（上海）数学九年级第一学期 期中复习讲义 08 相似三角形的性质

期中复习（相似三角形的性质） 【知识点复习】 相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【真题演练】 一．选择题（共3小题） 1．（2022秋•城关区校级期末）两个相似三角形对应边之比为，那么它们的对应中线之比为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：因为两个相似三角形的相似比与对应中线的比相等， 所以它们对应中线之比为． 故选：． 2．（2010秋•宝山区期中）如图，用放大镜看，若边的长度变为原来的2倍，那么下列说法中，不正确的是　　 A．边的长度也变为原来的2倍 B．的度数也变为原来的2倍 C．的周长变为原来的2倍 D．的面积变为原来的4倍 【解答】解：用放大镜看，若边的长度变为原来的2倍， 边的长度也变为原来的2倍，故正确； 的周长变为原来的2倍，故正确； 的面积变为原来的4倍，故正确； 故选：． 3．（2022秋•浦东新区校级期中）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的　　 A．10倍 B．50倍 C．200倍 D．10000倍 【答案】 【解答】解：由题意，得：新的三角形与原三角形相似，相似比为：， 两个三角形的面积比为：， 即：这个三角形的面积扩大为原来的10000倍； 故选：． 二．填空题（共24小题） 4．（2023•崇明区一模）如果两个相似三角形的周长之比是，那么它们的对应角平分线的比为 　　． 【答案】． 【解答】解：两个相似三角形的周长之比是， 两个相似三角形的相似比为， 它们的对应角平分线的比为． 故答案为：． 5．（2022秋•黄浦区期中）如图，，已知，，则　26　． 【答案】26． 【解答】解：， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：26． 6．（2023秋•青浦区校级期中）已知与是相似三角形，，，若，则　18　． 【答案】18． 【解答】解：与是相似三角形，，， 的面积与的面积比为：， 的面积是15， 的面积为18， 故答案为：18． 7．（2012•路北区一模）两个相似三角形的周长之比为，那么它们的相似比为 　　． 【解答】解：两个相似三角形的周长之比为， 它们的相似比为． 故答案为：． 8．（2023秋•长宁区校级期中）已知两个相似三角形的对应角平分线之比为，如果其中较大三角形的周长是8，那么另一个三角形的周长是 　　． 【答案】． 【解答】解：两个相似三角形对应角平分线比为， 两个相似三角形的相似比为， 两个相似三角形的周长比为， 较大三角形的周长是8， 另一个三角形的周长是， 故答案为：． 9．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在直角梯形中，，，，联结，点为梯形内部一点，如果与相似，，且梯形的面积为24，那么的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：，， 是等腰直角三角形， 与相似，， 是等腰直角三角形， ， 直角梯形的面积为24， ， ， ， 如图，过点作于点，过点作分别交，于点，，得矩形，矩形，矩形， ，，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 整理得， 或（舍去）， ， ， 故答案为：． 10．（2023秋•青浦区校级期中）若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 　　． 【答案】． 【解答】解：两个相似三角形的面积比为， 三角形的相似比为， 两个相似三角形的周长比等于相似比， 两个三角形的周长比为， 故答案为：． 11．（2023秋•宝山区期中）已知，其中顶点、、分别对应顶点、、，如果，，那么　75　． 【答案】75． 【解答】解：， ， 故答案为：75； 12．（2023秋•宝山区期中）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是14和9，如果它们的周长相差20，那么较大三角形的周长为 　56　． 【答案】56． 【解答】解：相似三角形的一组对应边长分别为14和9， 其相似比为， 相似三角形的相似比等于对应周长的比， 可设较大的三角形的周长为，则另一三角形的周长为， ，解得， 所以较大三角形的周长为， 故答案为：56． 13．（2021秋•宝山区期末）如图，已知一张三角形纸片，，，，点在边上．如果过点剪下一个与相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设，那么的取值范围是 　　． 【答案】． 【解答】解：如图所示，过作交于或交于，则或， 此时； 如图所示，过作交于，则， 此时； 如图所示，过作交于，则， 此时，， 当点与点重合时，，即， ，， 此时，； 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 14．（2023秋•闵行区期中）如图，在△中，，，，点，分别在，边上，将△沿直线翻折，点恰好落在边上，记为点，如果△与△相似，那么折痕的长为 　5　． 【答案】5． 【解答】解：在△中，， ， ， 如图， 由翻折的性质可知：△△． △△． ． ， ， 将△沿直线翻折，点恰好落在边上，记为点， ，， ， ， 同理可得， 是△的中位线， ； 故答案为：5． 15．（2023秋•西安期中）如果两个相似三角形的对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 　　． 【解答】解：两个相似三角形对应高的比为， 这两个三角形的面积比为：． 故答案为：． 16．（2021•鲤城区校级模拟）如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于　　． 【解答】解：两个相似三角形的周长的比等于， 它们的相似比为， 它们的面积的比等于． 故答案为：． 17．（2021•崇川区二模）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为．那么这两个三角形的周长之比为 　　． 【解答】解：两个相似三角形的对应中线的比为， 其相似比为， 这两个相似三角形的周长的比为， 故答案为：． 18．（2011•苏州）如图，已知是面积为的等边三角形，，，，与相交于点，则的面积等于　　（结果保留根号）． 【解答】解：，， ， ，， ， 如图，在中，过点作交于， ，， ，， ， 设，则． 作交于， 是面积为的等边三角形， ， ， 设，，， ，， ， ， 解得． ． 故答案为：． 19．（2023秋•闵行区期中）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为、，则另一个三角形的最小的内角为　　． 【解答】解：一个三角形的两个角分别为、， 这个三角形的第三个角是， 两个三角形相似，已知三角形的最小角是， 另一个三角形的最小的内角为． 故答案为：． 20．（2020•亳州模拟）已知三边的比为，与它相似的△最小边的长等于12，那么△最大边的长等于　24　． 【解答】解：设△的最大边长是， 根据相似三角形的对应边的比相等，可得： ， 解得：， △最大边的长等于24． 故答案为：24． 21．（2023秋•崇明区期中）已知与的相似比为．若周长为12，则周长为　18　 【解答】解：与相似，相似比为， 周长比为：， 的周长是12， 的周长是18． 故答案为：18． 22．（2017秋•宝山区期末）如果两个相似三角形的周长之比，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为　　． 【解答】解：两个相似三角形的周长之比， 它们的相似比是， 它们的某一对对应角的角平分线之比为． 故答案为：． 23．（2023秋•杨浦区期中）在中，，点是边上的一点，线段将分成两个小三角形，如果这两个小三角形是相似三角形，且相似系数等于2，那么线段的长是 　　． 【答案】． 【解答】解：如图， 不可能等于或， 与相似时，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，或， 当时，，， ， 解得， 当时，，， ， 解得， 综上所述，的长为． 故答案为：． 24．（2023秋•杨浦区期中）如果两个相似三角形对应边之比是，且较小的三角形的周长是12，那么较大三角形的周长是 　18　． 【答案】18． 【解答】解：两个相似三角形对应边之比是， 相似比为：， 周长比为：， 较小三角形的周长为12， 较大三角形的周长为：． 故答案为：18． 25．（2018秋•醴陵市期末）如图，中，，，，是边的中点，是边上一动点（点不与、重合），若以、、为顶点的三角形与相似，则线段　4或　． 【解答】解：中，，，， ， 是边的中点， ， 以、、为顶点的三角形与相似， 或， （1）若，则， ， ， 则； （2）若，则， ， 即， ． 或． 26．（2022秋•静安区校级期中）已知△，顶点、、分别与、、对应，若，，则　60　度． 【答案】60． 【解答】解：，， ， △， ． 故答案为：60． 27．（2023秋•浦东新区校级期中）若两个相似三角形的一组对应边长分别为16和32，它们的周长之差为36，则较小三角形的周长是 　36　． 【答案】36． 【解答】解：两个相似三角形的一组对应边长分别为16和32， 其相似比为， 相似三角形的相似比等于对应周长的比， 可设较小的三角形的周长为，则另一三角形的周长为， 根据题意得，，解得， 所以较小三角形的周长为36， 故答案为：36． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（相似三角形的性质） 【知识点复习】 相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【真题演练】 一．选择题（共3小题） 1．（2022秋•城关区校级期末）两个相似三角形对应边之比为，那么它们的对应中线之比为　　 A． B． C． D． 2．（2010秋•宝山区期中）如图，用放大镜看，若边的长度变为原来的2倍，那么下列说法中，不正确的是　　 A．边的长度也变为原来的2倍 B．的度数也变为原来的2倍 C．的周长变为原来的2倍 D．的面积变为原来的4倍 3．（2022秋•浦东新区校级期中）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的　　 A．10倍 B．50倍 C．200倍 D．10000倍 二．填空题（共24小题） 4．（2023•崇明区一模）如果两个相似三角形的周长之比是，那么它们的对应角平分线的比为 　　． 5．（2022秋•黄浦区期中）如图，，已知，，则　　． 6．（2023秋•青浦区校级期中）已知与是相似三角形，，，若，则　　． 7．（2012•路北区一模）两个相似三角形的周长之比为，那么它们的相似比为 　　． 8．（2023秋•长宁区校级期中）已知两个相似三角形的对应角平分线之比为，如果其中较大三角形的周长是8，那么另一个三角形的周长是 　　． 9．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在直角梯形中，，，，联结，点为梯形内部一点，如果与相似，，且梯形的面积为24，那么的长为 　　． 10．（2023秋•青浦区校级期中）若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 　　． 11．（2023秋•宝山区期中）已知，其中顶点、、分别对应顶点、、，如果，，那么　　． 12．（2023秋•宝山区期中）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是14和9，如果它们的周长相差20，那么较大三角形的周长为 　　． 13．（2021秋•宝山区期末）如图，已知一张三角形纸片，，，，点在边上．如果过点剪下一个与相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设，那么的取值范围是 　　． 14．（2023秋•闵行区期中）如图，在△中，，，，点，分别在，边上，将△沿直线翻折，点恰好落在边上，记为点，如果△与△相似，那么折痕的长为 　　． 15．（2023秋•西安期中）如果两个相似三角形的对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 　　． 16．（2021•鲤城区校级模拟）如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于　 　． 17．（2021•崇川区二模）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为．那么这两个三角形的周长之比为 　　． 18．（2011•苏州）如图，已知是面积为的等边三角形，，，，与相交于点，则的面积等于　　（结果保留根号）． 19．（2023秋•闵行区期中）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为、，则另一个三角形的最小的内角为　 　． 20．（2020•亳州模拟）已知三边的比为，与它相似的△最小边的长等于12，那么△最大边的长等于　　． 21．（2023秋•崇明区期中）已知与的相似比为．若周长为12，则周长为　　 22．（2017秋•宝山区期末）如果两个相似三角形的周长之比，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为　 　． 23．（2023秋•杨浦区期中）在中，，点是边上的一点，线段将分成两个小三角形，如果这两个小三角形是相似三角形，且相似系数等于2，那么线段的长是 　　． 24．（2023秋•杨浦区期中）如果两个相似三角形对应边之比是，且较小的三角形的周长是12，那么较大三角形的周长是 　　． 25．（2018秋•醴陵市期末）如图，中，，，，是边的中点，是边上一动点（点不与、重合），若以、、为顶点的三角形与相似，则线段　　． 26．（2022秋•静安区校级期中）已知△，顶点、、分别与、、对应，若，，则　　度． 27．（2023秋•浦东新区校级期中）若两个相似三角形的一组对应边长分别为16和32，它们的周长之差为36，则较小三角形的周长是 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$