2024—2025学年沪教版（上海）数学九年级第一学期 期中复习讲义 07 相似三角形的判定

期中复习（相似三角形的判定） 【知识点复习】 相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【真题演练】 一．选择题（共14小题） 1．（2023秋•金山区校级期中）如图，下列条件中不能判断△和△相似的是　　 A． B． C． D． 2．（2007秋•上海期末）下列命题一定正确的是　　 A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等边三角形一定相似 C．两个直角三角形一定相似 D．两个含有角的三角形一定相似 3．（2020秋•杨浦区期中）如图，在正方形中，点为边上的一个动点（与点、不重合），，交对角线于点，交对角线于点，交边于点，那么下列结论中，错误的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•长宁区校级期中）下列说法正确的是　　 A．所有的直角三角形都相似 B．有一个角为的直角三角形都相似 C．所有的等腰三角形都相似 D．有一个角为的等腰三角形都相似 5．（2023秋•长宁区校级期中）将两个完全相同的等腰直角三角形与摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为，那么图中一定相似的三角形是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 6．（2019秋•萧山区期末）如图，．要使，给出下列需要添加的条件：①；②；③，其中正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．（2023秋•闵行区校级期中）如图，已知是△中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是　　 （a）△△； （b）△△； （c）△△； （d）△△． A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2023秋•青浦区校级期中）如图，在正方形中，为中点，，连接、、，那么下列结论中：①与相似；②与相似；③与相似：④与相似；⑤；其中错误的有　　个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（2022秋•岳西县期末）在和△中，有下列条件：①，②，③，④，⑤，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△的有　　 A．4组 B．5组 C．6组 D．7组 10．（2023秋•杨浦区期中）下列两个三角形不一定相似的是　　 A．有一个内角是的两个等腰三角形 B．有一个内角是的两个等腰三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 11．（2022秋•浦东新区校级期中）依据下列条件不能判定和相似的是　　 A．，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，， 12．（2023秋•普陀区期中）四边形的对角线与相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•闵行区期中）给出下列四个命题： （1）等腰三角形都是相似三角形； （2）直角三角形都是相似三角形； （3）等腰直角三角形都是相似三角形； （4）等边三角形都是相似三角形．其中真命题有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2019秋•松江区期末）下列两个三角形不一定相似的是　　 A．两条直角边的比都是的两个直角三角形 B．腰与底的比都是的两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个直角三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 二．填空题（共4小题） 15．（2020秋•杨浦区期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 　　． 16．（2020秋•嘉定区期末）如图，点在的边上，当　　时，与相似． 17．（2023秋•富锦市校级期末）如图，已知在中，是上一点，连接，当满足条件　 　时，． 18．（2023秋•崇明区期中）、分别是的边、上的点，如果，，，，那么要使和相似，则　　． 三．解答题（共1小题） 19．（2023秋•杨浦区期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分． （1）求证：； （2）如果，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（相似三角形的判定） 【知识点复习】 相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【真题演练】 一．选择题（共14小题） 1．（2023秋•金山区校级期中）如图，下列条件中不能判断△和△相似的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、，， △△，故不符合题意； 、，， △△，故不符合题意； 、由，不能判断△和△相似，符合题意； 、， ， 又， △△，故不符合题意； 故选：． 2．（2007秋•上海期末）下列命题一定正确的是　　 A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等边三角形一定相似 C．两个直角三角形一定相似 D．两个含有角的三角形一定相似 【答案】 【解答】解：、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故不正确； 、两个等边三角形的各角度都为，所以两个三角形相似，故正确； 、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故不正确； 、两个含角的三角形只有一对角可以确定相等，其他两个角度未知故不正确； 故选：． 3．（2020秋•杨浦区期中）如图，在正方形中，点为边上的一个动点（与点、不重合），，交对角线于点，交对角线于点，交边于点，那么下列结论中，错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：四边形是正方形， ，，， ，故选项不合题意； ，， ，故选项不合题意； ， ， ， ， 又， ，故选项不合题意； ， ， ， 与不相似，故选项符合题意； 故选：． 4．（2023秋•长宁区校级期中）下列说法正确的是　　 A．所有的直角三角形都相似 B．有一个角为的直角三角形都相似 C．所有的等腰三角形都相似 D．有一个角为的等腰三角形都相似 【答案】 【解答】解：、所有的直角三角形不一定相似，故此选项错误不符合题意； 、有一个角为的直角三角形都相似，故此选项正确符合题意； 、所有等腰三角形不一定相似，故此选项错误不符合题意； 、有一个角是的等腰三角形，这个的角可能是顶角，也可能是底角，不能肯定这样的等腰三角形相似，故此选项错误不符合题意． 故选：． 5．（2023秋•长宁区校级期中）将两个完全相同的等腰直角三角形与摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为，那么图中一定相似的三角形是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】 【解答】解： 理由：与都为等腰直角三角形， ， ， 故选：． 6．（2019秋•萧山区期末）如图，．要使，给出下列需要添加的条件：①；②；③，其中正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：①若， ，且， ，故①符合题意； ②若， ，且， 无法判定，故②不符合题意； ③若，且， ，故③符合题意； 故选：． 7．（2023秋•闵行区校级期中）如图，已知是△中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是　　 （a）△△； （b）△△； （c）△△； （d）△△． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【解答】解：，， △△．故（c）正确． 平分， ， △△．故（b）正确． ， ， △△．故（d）正确． 而不能证明△△，故（a）错误． 错误的有1个， 故选：． 8．（2023秋•青浦区校级期中）如图，在正方形中，为中点，，连接、、，那么下列结论中：①与相似；②与相似；③与相似：④与相似；⑤；其中错误的有　　个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】 【解答】解：设正方形的边长为，则， 为中点，， ，，， 四边形是正方形， ， ，，， ， 为直角三角形，，故⑤正确； ， ， ， ， ，故①正确； ， ，故②正确； ， 和不相似，故③错误； ④正确； 正确的有：①②④⑤，错误的有1个， 故选：． 9．（2022秋•岳西县期末）在和△中，有下列条件：①，②，③，④，⑤，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△的有　　 A．4组 B．5组 C．6组 D．7组 【解答】解：选①②，可得：，由可判定两个三角形相似； 选①④或②⑤，可通过判定两个三角形相似； 若选③④、③⑤或④⑤，可通过判定两个三角形相似； 所以共有6组；故选． 10．（2023秋•杨浦区期中）下列两个三角形不一定相似的是　　 A．有一个内角是的两个等腰三角形 B．有一个内角是的两个等腰三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【答案】 【解答】解：、有一个内角是的两个等腰三角形，因为是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意； 、有一个内角是的两个等腰三角形都是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意； 、有一个内角为的两个等腰三角形，一定相似，故此选项不合题意； 、有一个内角是的两个等腰三角形，一定相似，故此选项不合题意． 故选：． 11．（2022秋•浦东新区校级期中）依据下列条件不能判定和相似的是　　 A．，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，， 【答案】 【解答】解：．，，， ， ，， ， 故不符合题意； ．，，，，，， ， ， 但， 不能判断和相似， 故符合题意； ．，，，，，， ，，， ， ， 故不符合题意； ．，，，， ，， ，，， ， ， 故不符合题意； 故选：． 12．（2023秋•普陀区期中）四边形的对角线与相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：若，， ， 若，， ， 若，， ， ， ， 又， ， 若，，无法证明与相似， 故选：． 13．（2023秋•闵行区期中）给出下列四个命题： （1）等腰三角形都是相似三角形； （2）直角三角形都是相似三角形； （3）等腰直角三角形都是相似三角形； （4）等边三角形都是相似三角形．其中真命题有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：（3）（4）正确， （3）符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似； （4）符合三组对应边的比相等的两个三角形相似． 而（1）（2）不满足判定三角形相似的条件． 故选：． 14．（2019秋•松江区期末）下列两个三角形不一定相似的是　　 A．两条直角边的比都是的两个直角三角形 B．腰与底的比都是的两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个直角三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【解答】解：、两条直角边之比为的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意； 、两个等腰三角形的腰与底边对应成比例，则这两个等腰三角形必相似，故此选项不合题意； 、有一个内角为的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意； 、有一个内角是的两个等腰三角形，因为是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意． 故选：． 二．填空题（共4小题） 15．（2020秋•杨浦区期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 　4.5　． 【答案】4.5． 【解答】解：图中所有与相似的格点三角形中，最大的△如图所示： ， 故答案为4.5． 16．（2020秋•嘉定区期末）如图，点在的边上，当　　时，与相似． 【答案】． 【解答】解：， 当时，与相似， 故答案为：． 17．（2023秋•富锦市校级期末）如图，已知在中，是上一点，连接，当满足条件　　时，． 【解答】解：由图可得，，要使，根据两角对应相等，两三角形相似，可添加条件：． 18．（2023秋•崇明区期中）、分别是的边、上的点，如果，，，，那么要使和相似，则　或　． 【答案】或． 【解答】解：要使和相似， 如图1，， ， ，，， ， ； 如图2，， ， ，，， ， ； 故答案为：或． 三．解答题（共1小题） 19．（2023秋•杨浦区期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）证明见解答过程． 【解答】证明：（1）， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2），，， ， ， 又， ， ， 即， 又， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$