2024—2025学年沪教版（上海）数学九年级第一学期 期中复习讲义06 三角形的重心-

期中复习（三角形的重心） 【知识点复习】 三角形的重心是三条中线的交点，它将每条中线分为两段，其中一段是另一段的两倍，且重心到三角形三个顶点的距离之和最小。 【真题演练】 一．填空题（共18小题） 1．（2023秋•金山区校级期中）如图，在△中，，，是△的重心，那么点到直角顶点的距离　　． 2．（2012秋•慈溪市期末）在中，若中线和中线相交于，则　　． 3．（2008•松江区二模）在中，，，点是边中点，是重心，那么　 　． 4．（2019秋•普陀区期末）如图，△的中线、交于点，点在边上，，那么的值是 　　． 5．（2015秋•闵行区期末）过的重心作，分别交于点，于点，如果，，那么　 　． 6．（2023秋•青浦区校级期中）已知点为的重心，，，那么　　．（用、表示） 7．（2022秋•嘉定区期中）已知在中，是中线，是重心，如果，那么　　． 8．（2023秋•长宁区校级期中）在中，，，如果点为重心，那么的长等于 　　． 9．（2016秋•奉贤区期末）边长为2的等边三角形的重心到边的距离是 　　． 10．（2023秋•松江区期中）如图，点是的重心，交于点，若的面积为4，则的面积为 　　． 11．（2023秋•普陀区期中）在中，是中线，是重心，向量，向量，那么向量　　（用向量，表示） 12．（2024•奉贤区三模）如图，经过 的重心，设，那么可以用向量，表示为：　　． 13．（2021秋•虹口区期末）如图，过的重心作上分别交边、于点、，联结，如果平分，，那么　　． 14．（2022秋•西湖区期中）如图，为的重心，，则　　． 15．（2022秋•浦东新区校级期中）已知的边上的中线长，点是的重心，那么　　． 16．（2010秋•宝山区期中）如图，的两条中线、相交于点，如果，那么　 　． 17．（2008•闸北区一模）已知如图，点是的重心，过点作，分别交、于点、，那么　 　． 18．（2023秋•虹口区期中）如图，在中，，，，垂足为点，是边上的中线，与相交于点，则的长为 　　． 二．解答题（共1小题） 19．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在中，点、分别在边和上，，且经过的重心，设，． （1）　　（用向量、表示）； （2）求作向量分别在向量、方向上的分向量．（写出结论，不要求写作法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（三角形的重心） 【知识点复习】 三角形的重心是三条中线的交点，它将每条中线分为两段，其中一段是另一段的两倍，且重心到三角形三个顶点的距离之和最小。 【真题演练】 一．填空题（共18小题） 1．（2023秋•金山区校级期中）如图，在△中，，，是△的重心，那么点到直角顶点的距离　5　． 【答案】5． 【解答】解：如图所示，延长与交于点， 点是△的重心， 是中点， ，， ， 点是△的重心， ． 故答案为：5． 2．（2012秋•慈溪市期末）在中，若中线和中线相交于，则　　． 【解答】解：、分别是三角形的中线， 是的重心， ，， ． 故答案为． 3．（2008•松江区二模）在中，，，点是边中点，是重心，那么　2　． 【解答】解：中，，，是边上的中点． ． ． 故答案为：2． 4．（2019秋•普陀区期末）如图，△的中线、交于点，点在边上，，那么的值是 　　． 【解答】解：△的中线、交于点， 是△的重心， ， ， ， ， ， 故答案为： 5．（2015秋•闵行区期末）过的重心作，分别交于点，于点，如果，，那么　　． 【解答】解：过的重心作， ， ． 故答案为：． 6．（2023秋•青浦区校级期中）已知点为的重心，，，那么　　．（用、表示） 【答案】． 【解答】解：如图所示， 点是的中点， ， 点为的重心， ， ，， ， 故答案为：． 7．（2022秋•嘉定区期中）已知在中，是中线，是重心，如果，那么　6　． 【答案】6． 【解答】解：是的重心，且是中线， ． 故答案为：6． 8．（2023秋•长宁区校级期中）在中，，，如果点为重心，那么的长等于 　　． 【答案】． 【解答】解：连接，延长交于， 点为的重心， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（2016秋•奉贤区期末）边长为2的等边三角形的重心到边的距离是 　　． 【解答】解：如图，为等边三角形，过作，交于点， 则，， 在中，由勾股定理可得：， 则重心到边的距离是为：， 故答案为：． 10．（2023秋•松江区期中）如图，点是的重心，交于点，若的面积为4，则的面积为 　18　． 【答案】18． 【解答】解：点是的重心， ，， 交于点， ， ， 的面积为4， ， ， 的面积． 故答案为：18． 11．（2023秋•普陀区期中）在中，是中线，是重心，向量，向量，那么向量　　（用向量，表示） 【答案】． 【解答】解：是中线， ， ， 是的重心， ， ． 故答案为：． 12．（2024•奉贤区三模）如图，经过 的重心，设，那么可以用向量，表示为：　　． 【答案】 【解答】解：， ， 经过 的重心， 为边上的中线， ， ． 13．（2021秋•虹口区期末）如图，过的重心作上分别交边、于点、，联结，如果平分，，那么　8　． 【答案】8． 【解答】解：如图，连接并延长，交于． 为的重心， ，，即． ， ，即，解得， ． 平分， ， ， ， ， ． ， ，即，解得． 故答案为：8． 14．（2022秋•西湖区期中）如图，为的重心，，则　　． 【解答】解： 延长交于， 为的重心， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（2022秋•浦东新区校级期中）已知的边上的中线长，点是的重心，那么　　． 【答案】． 【解答】解：的边上的中线长，点是的重心， ， 故答案为：． 16．（2010秋•宝山区期中）如图，的两条中线、相交于点，如果，那么　6　． 【解答】解：的两条中线、相交于点， ， ， ， 是的中线， ． 故答案为：6． 17．（2008•闸北区一模）已知如图，点是的重心，过点作，分别交、于点、，那么　　． 【解答】解：连接并延长交于一点， 点是的重心， ， ， ，，， ， ． 故答案为：． 18．（2023秋•虹口区期中）如图，在中，，，，垂足为点，是边上的中线，与相交于点，则的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：，，， ，， ， 是边上的中线， 点为的重心， ，， ， ， 故答案为：． 二．解答题（共1小题） 19．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在中，点、分别在边和上，，且经过的重心，设，． （1）　　（用向量、表示）； （2）求作向量分别在向量、方向上的分向量．（写出结论，不要求写作法． 【答案】（1）； （2）向量和向量分别是向量在向量、方向上的分向量． 【解答】解：（1）设是的重心，连接，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）向量和向量分别是向量在向量、方向上的分向量． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$