第三章 函数的概念及性质（基础卷）-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

第三章 函数的概念及性质(基础卷) 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．集合，下列不能表示从A到B的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 3．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点. 4．函数在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．下列说法不正确的是（   ） A．已知，若，则组成集合为 B．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 C．的定义域为，则的定义域为 D．不等式解集为，则 10．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 11．已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是 ． 13．已知函数，的值域为，则的取值范围是 ． 14．设， ，则不等式的解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数． (1)求，； (2)若，求的值； (3)作出函数的图象． 16．已知函数. (1)若，求的值； (2)若，判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 17．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 18．已知函数是上的偶函数，当，， (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 19．已知是二次函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式； (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数的概念及性质(基础卷) 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．集合，下列不能表示从A到B的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C 2．已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】C 【详解】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 3．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点. 【答案】C 【详解】当时，幂函数不过原点，故A错误； 当时，幂函数过第三象限，故B错误； 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故C正确； 若幂函数的图像过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故D错误. 故选:C 4．函数在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递增， 只需，解得，即的取值范围为. 故选：B 5．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为， 的定义域为，两个函数定义域不一致，故A错误， 对于B，的定义域为， 的定义域为，两个函数定义域不一致，故B错误， 对于C，满足同一函数的所有条件，故C正确， 对于D，和的解析式不同，所以它们不是同一函数，故D错误. 故选：C 6．函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称，即， 即函数是奇函数，则有， 又因为，所以， 即，所以函数的周期为， 所以. 故选：A 7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意当时，， 令，可得，所以，因此可得； 由二次函数性质可得当，即时，取得最大值， 此时的值域为； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为5，因此的值域为； 综上可得，函数的值域为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用分段函数的解析式，由各段的函数性质利用换元法和基本不等式即可求得函数值域. 8．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，在上单调递增，且， 由，得，或， 时，，或， 又，即，或， 故，解得， 时，，或， 又，即， 故，解得，或， 则不等式的解集为：， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．下列说法不正确的是（   ） A．已知，若，则组成集合为 B．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 C．的定义域为，则的定义域为 D．不等式解集为，则 【答案】ACD 【详解】A选项，，又， 当时，，满足，当时，， 当时，，满足，当时，，满足， 综上，组成集合为，A说法不正确； B选项，当时，不等式为恒成立， 可得对一切实数恒成立， 当时，由对一切实数恒成立， 可得，解得， 综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是， 故B正确； C选项，因为的定义域为，所以，解得， 故的定义域为，C说法不正确； D选项，不等式解集为， 则且为方程的两个根，故， 则，故，D说法不正确. 故选：ACD. 10．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为， 故B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，故C错误； 对于D，当时，； 当时，； 的值域为， 故D正确. 故选：ABD. 11．已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．在上单调递减 【答案】ACD 【详解】把的图象向右平移2个单位得的图象，因此直线是图象的对称轴，A正确； 在上单调递增，则的符号不确定，所以无法确定，的大小，B错误； 在上单调递减，所以，C正确； 在上单调递减，由，得，所以在上单调递减，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是 ． 【答案】2 【详解】由是幂函数，且在上为增函数， 所以，解得， 故答案为：2. 13．已知函数，的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由， 可得分段函数， 画出对应函数图象：   的值域为，且，, 所以的值能使得取得； 由图可知：. 故答案为：. 14．设， ，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】当时,首先求出的表达式， 因为，根据，而，所以，则. 然后解不等式，即，移项得到. 对于二次函数，其判别式， 且二次项系数，所以恒成立，所以时不等式的解为. 当时,求出的表达式，因为，根据的定义. 解不等式，即，移项得到， 因式分解得.解为，又，所以此时不等式解为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数． (1)求，； (2)若，求的值； (3)作出函数的图象． 【答案】(1)， (2)或或 (3)答案见解析 【详解】（1）因为 所以，， ． （2）当时，，， 当时，，， 当时，，， 综上所述，的值为或或． （3）函数的图象，如图所示：    16．已知函数. (1)若，求的值； (2)若，判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)3 (2)奇函数，理由见解析 (3)单调递增，证明见解析 【详解】（1）当时， 所以. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数定义域为， 且， 所以为奇函数. （3）在区间上递增，证明如下：. 任取，则，. 又，则，且，   所以，即在区间上递增. 17．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)第3年 (2)第7年平均利润最大，为12万元 【详解】（1）设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第3年首次盈利. （2）首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当，万元时等号成立， 综上，第7年，平均利润最大，为12万元. 18．已知函数是上的偶函数，当，， (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，则， 由题意可得：， 所以函数的解析式为. （2）因为的开口向下，对称轴为， 可知函数在内单调递增， 且函数是上的偶函数，可知函数在内单调递减， 若，则， 整理可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 19．已知是二次函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式； (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设， 由，可得. 由，得， 所以解得 则. （2）由题意得， 则图象的对称轴为直线. 若，则在上单调递增，当时，的最小值为； 若，则当时，的最小值为； 若，则在上单调递减，当时，的最小值为. 故 （3）在（2）的条件下，对任意的，成立， 则. 因为，所以在上单调递减， 因为，，所以. 又存在，使得成立， 所以只要，即. 易知， 所以当时，， 则， 化简得，解得或， 即的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$