13.3.2 等边三角形 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

13.3.2 等边三角形 第十三章 轴对称 第1课时 等边三角形的性质与判定 1．探索等边三角形的性质和判定．（重点） 2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．（难点） 学习目标 导入新课 复习引入 名称 图形 定义 性质 判定 等腰三角形 讲授新课 等边三角形的定义 一 类比探究 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 定义类比： 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，这时三角形三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 A B C 提出问题：等边三角形有哪些特殊的性质呢？ 根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质： ①从边看； ②从角看； ③从对称性看； ④从重要线段看 等边三角形的性质 二 A B C 等边三角形的内角都相等吗？为什么？ 由已知：AB=AC=BC， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C． 同理 ∠A=∠C， ∴∠A=∠B=∠C． ∵ ∠A+∠B+∠C=180°， ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 ° ． 探究性质一 结论:等边三角形的内角都相等，都等于60°。 等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什么? 结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一。 探究性质二 等边三角形是轴对称图形吗？ 若是，有几条对称轴？ （对称轴是等边三角形的高或角平线或中线所在的直线）。 探究性质三 结论:等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。 类比探究 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 两条边相等 三条边都相等 两个底角相等 三个角都相等，且都是60° 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） A C B D E 练一练： 如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm. 12 思考题 ？ 一个三角形满足什么条件就是等边三角形? 等边三角形的判定 三 三个角都相等的三角形是等边三角形？ 已知：如图，⊿ABC中， ∠ A=∠B=∠C 求证：AB=AC=BC A B C 证明：在⊿ABC中 ∵ ∠ A=∠B（已知） ∴BC=CA（等角对等边） 同理 CA=AB ∴BC=CA=AB A B C ∵ ∠A= ∠ B= ∠ C ∴△ABC是等边三角形 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 如果一个等腰三角形中有一个角是60°，那么这个三角形是什么三角形？ 第一种情况：当顶角是60度时 第二种情况：当底角是60度时 已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠ A=600。 求证：AB=AC=BC A B C 证明： ⊿ABC中 ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C （等边对等角） ∵ ∠ A=600 ∴ ∠B=∠C = 600 ∴AB=AC=BC（等角对等边） 推论2： 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。 A B C ∵ ∠B=600 AB=BC ∴△ABC是等边三角形 2.三个角都相等的三角形是等边三角形. 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1.三边都相等的三角形是等边三角形.（定义） 一般三角形 等边三角形 A B C 等腰三角形 等边三角形 A B C ∵AB=BC=AC ∴△ABC是等边三角形 ∵ ∠B=600 AB=BC ∴△ABC是等边三角形 ∵ ∠A= ∠ B= ∠ C ∴△ABC是等边三角形 等边三角形的判定方法 　　证明： ∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠B =∠C =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴　∠A=∠ADE =∠AED． ∴　△ADE 是等边三角形． 动脑思考，例题解析 　　例1　如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分 别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形. 　　追问　本题还有其他证法吗？ A B C D E 　　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴　∠A =∠ADE =∠AED. ∴　△ADE 是等边三角形. 动脑思考，变式训练 　　变式1　若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 动脑思考，变式训练 　　变式2　若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？ 　　证明： ∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠B =∠D，∠C =∠E． ∴　∠EAD =∠D =∠E． ∴　△ADE 是等边三角形． A D E B C 当堂练习 1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm. 9 2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 D A C B D E O B C D A E 3.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数. 解： ∵ △ABC是等边三角形， ∴∠CBA=60°. ∵BD是AC边上的中线， ∴∠BDA=90°, ∠DBA=30 °. ∵ BD=BE， ∴ ∠BDE=(180 °- ∠DBA) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°. ∴ ∠EDA=90 °- ∠BDE=90°-75°=15°. 4.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小. C B O D A E 解： ∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形. ∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°. ∵ A、O、D三点共线， ∴ ∠DOB=∠COA=120°， ∴ △COA ≌△DOB(SAS). ∴ ∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F, ∵ ∠EFB=∠AFO， ∴ ∠AEB=∠AOB=60°. F 变式:如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出∠AEB的大小吗？ D C A B E O 方法与前面相同，∠AEB=60°. 例1 如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m，他们便得出了一个结论：池塘最长处不小于200m．他们的结论对吗？ 解：在△APB中，AP=BP， ∠APB=60°， 所以∠PAB= ∠PBA=1/2（180°－∠APB） =1/2（180°－60°） =60° 于是 ∠PAB= ∠PBA= ∠APB 从而△APB是等边三角形，AB的长是200m．由此可以得出兴趣小组的结论是正确的． 课堂小结 等边 三角形 定义 底=腰 特殊性 性质 特殊性 边 三边相等 角 三个角都等于60 ° 轴对称性 轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质 判定 特殊性 三边法 三角法 等腰 三角形法 见《学练优》本课时练习 课后作业 $$