2024年九年级中考数学复习二次函数的几何最值问题讲义

二次函数的几何最值问题 课前评估 总分10分 得分___________ 1．（5分）若二次函数y＝kx 2－2x＋1的图象与x轴有交点，则k的最大值是___________． 2．（5分）已知抛物线y＝x 2－kx＋k－2与x轴交于A、B两点，且AB＝2，则抛物线的表达式为_________． 【学习目标】 能够解决二次函数背景下因动点产生的线段和差的最值问题以及三角形或四边形面积的最值问题． 【教学重难点】 能够根据两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系构建几何模型解决线段和差最值问题，能够利用配方法解决线段最大值问题或三角形、四边形面积最大值问题． 知识点与方法技巧梳理： 考点1：线段和最小、线段差的绝对值最大问题都是将军饮马问题，针对不同情况，延长或作对称点即可． 考点2：夹在抛物线中且与坐标轴平行（通常是与y轴平行）的线段的最大值问题，可设点的坐标，线段长即线段两个端点的纵坐标之差，利用二次函数的最值即可求出，与之生出周长最大值及面积最大值等．面积可以利用水平宽×铅垂高的一半或利用相似三角形得出数量关系来解决．最大值时点的横坐标是左右两个点的横坐标的一半，即位于“中点”处（可用于校验算出的结果是否正确） 考点3：带系数的线段和的最值问题有两类，一类是可以利用正弦值或特殊角将系数转化，根据折线段≥斜线段≥垂线段解决；另一类是可以构造母子相似将系数转化，根据三角形两边之和≥第三边解决；若系数大于1，应先提取系数． 【例1】已知抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的函数表达式；y x O A B C D 图1 （2）如图1，在y轴上找一点P，①使PB＋PD的值最小，求点P的坐标； ②使|PB－PD|的值最大，求点P的坐标 （3）如图2，长度为2的动线段EF在y轴上移动（E在F下方），求四边形y x O A B C D E F 图2 BEFD周长的最小值及此时点E的坐标； （4）如图3，点M是直线BC上方抛物线上一动点，过点M作y轴的平行线y x O A B C N 图3 M 交BC于点N，求线段MN长的最大值及此时点M的坐标； （5）如图4，点M是直线BC上方抛物线上一动点，过点M作ME⊥BC于E，y x O A B C F 图4 M E MF∥y轴交BC于点F，求△MEF周长的最大值及此时点M的坐标； （6）如图5，点M是直线BC上方抛物线上一动点，求△MBC面积的最大值；y x O A B C 图5 M （7）如图6，点Q是线段AB上的一个动点，QG∥BC交AC于G，连接CQ，y x O A B C 图6 Q G 求△CGQ面积的最大值及此时点Q的坐标； （8）如图7，点R是△OBC内的一个动点，OR＝，连接RB、RC，求RB＋ RC的最小值．y x O A B C R 图7 【变式】如图，抛物线y＝a( x＋1 )( x－4 )与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，△ABC是直角三角形．x y O A B C M N H （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，①使PA＋PC的值最小，求点P的坐标； ②使|PB－PC|的值最大，求点P的坐标； （3）点M是第一象限内抛物线上一动点，过点M作MH⊥BC于H，作MN∥x轴交直线BC于N，求△MNH周长的最大值及此时点M的坐标； （4）点M是第一象限内抛物线上一动点，求△MBC面积的最大值； （5）长度为4的动线段EF在抛物线的对称轴上移动（E在F下方），求四边形AEFC周长的最小值及此时点E的坐标； （6）点Q是线段AB上的一个动点，QG∥BC交AC于G，连接CQ，求△CGQ面积的最大值及此时点Q的坐标； （7）点R是坐标平面内的一个动点，BR＝2，连接RC、RO，求2RC＋RO的最小值． x y O A B C M y C O A B x R x y O A B C Q G 【例2】如图，已知抛物线y＝ ( x＋2 )( x－4 )（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－ x＋b与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为－5． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF．一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？A O C x y D B 【变式】如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋4与y轴交于点A，与x轴交于点B、C两点，∠ABO＝∠OAC，OB : BC＝1 : 3． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设F为线段AC上一点（不含端点），连接BF．一动点M从点B出发，沿线段BF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FC以每秒 个单位的速度向终点C运动．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？并求出t值．x B C O y A 【能力提升】 1．如图，已知抛物线y＝－x 2＋bx＋9－b 2（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E，其顶点M在第一象限． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标．A B O x y D C E M 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax 2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．x y O A B D l C E （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值． 【学习评估】 1．如图，抛物线y＝x 2－2x－3与x轴交于A、B两点，过点B的直线交第二象限的抛物线于点C，且tan∠CBA＝ ，D为线段BC上一点（不含端点）．现有一动点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位的速度运动到D点，再沿线段DC以每秒1.25个单位的速度运动到C点．x y A O B C （1）求直线BC的函数表达式；（2）求动点P运动到C点的最短时间． 2．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋4过点A（1，－1），B（5，－1），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接CB，以CB为边作□CBPQ，若点P在直线BC下方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且□CBPQ的面积为30，求点P坐标； （3）在（2）的条件下，直线PQ交y轴于点F，点G为直线PQ上一动点，求GB＋ GF的最小值及此时点G的坐标．y O A B C P Q F x 3．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax 2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的表达式； （2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）若点P为x轴上一动点，在（2）的条件下，求PE＋ PA的最小值． x y B A O x y D B A C E O 备用图 4．如图，抛物线y＝－ x 2＋bx＋c与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，直线AB的函数表达式为y＝ x＋ ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线交直线AB于点D，交抛物线于点E，当△BDE是以DE为底边的等腰三角形时，求m的值； （3）在（2）的条件下，将线段OM绕点O顺时针旋转得到ON． ①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转， 始终保持不变．若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；y B C O M A x E D ②求NA＋ NB的最小值． 二次函数的几何最值问题 课前评估 1．1 2．0＜x＜1或3＜x＜4 考点1：抛物线中的线段和差及三角形面积的最值问题 【例1】（1）将A（－1，0）、B（3，0）代入y＝－x 2＋bx＋c ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－x 2＋2x＋3 （2）①作点B关于y轴的对称点B′，连接B′D交y轴于点P，则此时PB＋PD的值最小 ∵y＝－x 2＋2x＋3＝－( x－1 )2＋4，∴顶点D的坐标为（1，4） ∵B（3，0），∴B′（－3，0）y A B O x D C B′ (P) 设直线B′D的表达式为y＝mx＋n ∴ 解得 ∴直线B′D的表达式为y＝x＋3 当x＝0时，y＝3，∴点P的坐标为（0，3） ②由三角形两边之差小于第三边可知，|PB－PD|≤BD 当点P是BD的延长线与y轴的交点时，|PB－PD|的值最大 易求直线BD的表达式为y＝－2x＋6 当x＝0时，y＝6，∴点P的坐标为（0，6） （3）∵四边形BEFD的周长＝BE＋DF＋BD＋EF，BD、EF为定值 ∴当BE＋DF的值最小时，四边形BEFD的周长最小y A B O x D C F E B′ G H M 作点B关于y轴的对称点B′，作B′G∥EF，且B′G＝EF，连接FG、DG 则四边形B′EFG是平行四边形 ∴FG∥B′E，且FG＝B′E＝BE ∴BE＋DF＝FG＋DF≥DG 当点F是DG与y轴的交点时，BE＋DF的值最小 ∵B（3，0），∴B′（－3，0） ∵B′G＝EF＝2，∴G（－3，2） 易求直线DG的表达式为y＝ x＋ ，∴F（0，），∴E（0，） 过点D作DH⊥x轴于点H，过点G作GM⊥DH于点M 易知OH＝1，DH＝4，OB′＝OB＝3，MH＝B′G＝2 ∴BH＝2，GM＝B′H＝4，DM＝2 ∴BD＝DG＝2 ∴四边形BEFD周长的最小值为4＋2，此时点E的坐标为（0，）； （4）易求直线BC的表达式为y＝－x＋3 设点M（m，－m 2＋2m＋3），则点N（m，－m＋3） ∴MN＝－m 2＋2m＋3－( －m＋3 )＝－m 2＋3m＝－( m－ )2＋ ∴当m＝ 时，线段MN的长取得最大值 此时点M的坐标为（，） （5）参照（4）的方法，可知△MEF周长的最大值为 ＋ ，此时点M的坐标为（，） （6）过点M作y轴的平行线交BC于点N 则S△MBC ＝S△MBN ＋ S△MNC ＝ MN·xB 当MN的长最大时，△MBC的面积最大 由（4）知，MN的长的最大值为 ∴△MBC面积的最大值为 ××3＝ （7）设点Q（x，0），则AQ＝x＋1，S△ACQ ＝ AQ·CO＝ ( x＋1 )，S△ABC ＝ AB·CO＝6 ∵QG∥BC，∴△AQG∽△ABC ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴S△AQG ＝ ( x＋1 )2 ∴S△CGQ ＝S△ACQ － S△AQG ＝ ( x＋1 )－ ( x＋1 )2＝－ ( x－1 )2＋ ∴当x＝1时，△CGQ的面积取得最大值 ，此时点Q的坐标为（1，0） （8）在OC上取点S（0，1），连接RS、BS 则∠ORS＝∠OCR， ＝ ＝ y x O A B C R S ∴△ORS∽△OCR，∴ ＝ ＝ ∴RS＝ RC，∴RB＋ RC＝RB＋RS≥BS ∵BS＝＝，∴RB＋ RC≥ 即RB＋ RC的最小值为 【变式】（1）抛物线的函数表达式为y＝－ ( x＋1 )( x－4 )； （2）①P（，）；②P（，5）； （3）△MNH周长的最大值为4＋ ，此时点M的坐标为（2，3）； （4）△MBC面积的最大值为4； （5）四边形AEFC周长的最小值为4＋3，此时点E的坐标为（，－ ）； （6）△CGQ面积的最大值为 ，此时点Q的坐标为（，0）y C O A B x R S （7）在OB上取点S（3，0），连接CS、RS 则∠RBS＝∠OBR， ＝ ＝ ∴△BRS∽△BOR，∴ ＝ ＝ ∴RS＝ RO，∴2RC＋RO＝2( RC＋ RO )＝2( RC＋RS )≥2CS ∵CS＝＝，∴2RC＋RO≥2 即2RC＋RO的最小值为2 【例2】（1）由题意得：A（－2，0），B（4，0） ∵直线y＝－ x＋b经过点B，∴0＝－ ＋b，∴b＝ ∴直线BD：y＝－ x＋ ∵点D的横坐标为－5，∴y＝－ ×( －5 )＋ ＝3 ∴D（－5，3） ∵点D在抛物线y＝ ( x＋2 )( x－4 )上 ∴3＝ ( －5＋2 )( －5－4 )，∴ ＝ A O C x y D B F H K N G ∴抛物线的函数表达式为y＝ ( x＋2 )( x－4 ) （2）过D作DH⊥x轴于H，则DH＝3，BH＝4＋5＝9 ∴tan∠DBH＝ ＝ ，∴∠DBH＝30° 过D作DK⊥y轴于K，则∠BDK＝∠DBH＝30° 作AG⊥DK于G，FN⊥DK于N，则FN＝ DF 设点M在整个运动过程中用时为t（秒） 由题意得：t＝ ＋ ＝AF＋FN ≥AG＝DH＝3 当且仅当A、F、N 三点在同一直线上时，上式取等号，t最小 此时AG⊥x轴，∴xF ＝xA ＝－2 又∵点F在直线BD上，得yF ＝2 ∴符合条件的点F的坐标是（－2，2） 【变式】（1）∵抛物线y＝ax 2＋bx＋4与y轴交于点A ∴A（0，4），OA＝4 ∵∠ABO＝∠OAC，∠AOB＝∠AOC ∴△AOB∽△COA，∴ ＝ ∴OA 2＝OB·OC ∵OB : BC＝1 : 3，∴OC＝4OB ∴4OB 2＝16，∴OB＝2，OC＝8 ∴B（2，0），C（8，0） 把B（2，0），C（8，0）y＝ax 2＋bx＋4，解得a＝ ，b＝－ ∴抛物线的函数表达式为y＝ x 2－ x＋4 （2）作点B关于AC的对称点B′，过F作FQ⊥x轴于Q，过B′ 作B′T⊥x轴于T 连接BF、B′F 则△CFQ∽△CAO，∴ ＝ ＝ ＝ ∴CF＝FQ ∴动点M在整个运动过程中所用时间为： t＝ ＋ ＝ ＋ ＝B′F＋FQ ≥B′T ∴当F为B′T与AC的交点时，点M在整个运动过程中所用时间最少 即等于线段B′T的长 ∵sin∠ACO＝ ＝ ＝ ＝ x B C O y A F Q T B′ F′ ∴BB′＝ BC＝ 易证△BB′T∽△ACO，∴ ＝ ＝ ＝ ∴t＝B′T＝ OC＝ ，BT＝ AO＝ ∴OT＝OB＋BT＝2＋ ＝ ，CT＝OC－OT＝8－ ＝ ∴F′T＝ CT＝ ∴符合条件的点F的坐标是（，），此时t＝ 【能力提升】 1．（1）∵抛物线y＝－x 2＋bx＋9－b 2经过坐标原点O，∴9－b 2＝0，∴b＝±3 当b＝3时，y＝－x 2＋3x，此抛物线的顶点M的坐标为（ ， ）在第一象限，符合题意 当b＝－3时，y＝－x 2－3x，此抛物线的顶点M的坐标为（－ ， ）在第二象限，不符合题意 ∴抛物线的函数表达式为：y＝－x 2＋3x （2）设A的坐标为（x，－x 2＋3x） ∵点A在第一象限，∴AB＝－x 2＋3x，BC＝3－2x ∴矩形ABCD的周长＝2( AB＋BC )＝2(－x 2＋3x＋3－2x ) ＝－2x 2＋2x＋6＝－2( x－ )2＋ ∴当x＝ 时，矩形周长ABCD的最大值为 此时点A的坐标为（ ，） 2．（1）A（－1，0） 过D作DH⊥x轴于H，则DH∥y轴 ∴ ＝ ＝4，即OH＝4AO＝4 ∴点D的横坐标为4 ∵点D在抛物线y＝ax 2－2ax－3a上，∴D（4，5a） 把A（－1，0），D（4，5a）代入y＝kx＋b，得 解得 x y O A B D l C E F H ∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a （2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F 设E（x，ax 2－2ax－3a），则F（x，ax＋a） EF＝ax 2－2ax－3a－( ax＋a )＝ax 2－3ax－4a S△ACE ＝S△AFE － S△CFE ＝ ( ax 2－3ax－4a )( x＋1 )－ ( ax 2－3ax－4a )x ＝ ( ax 2－3ax－4a )＝ a( x－ )2－ a ∴△ACE的面积的最大值为－ a ∵△ACE的面积的最大值为 ∴－ a＝ ，解得a＝－ 【学习评估】 1．（1）直线BC的函数表达式为y＝－ x＋4x y A O B C H M N D （2）易得C（－ ，） 作CH⊥y轴于H，AM⊥CH于M，DN⊥CH于N，则DN＝ CD 设动点P在整个运动过程中用时为t（秒） 由题意得：t＝ ＋ ＝AD＋DN ≥AM＝ （秒） 当且仅当A、D、N 三点在同一直线上，即AD⊥x轴时，上式取等号，t最小 故动点P运动到C点的最短时间为 秒 2．（1）y＝x 2－6x＋4 （2）设PQ交y轴于点F，连接BF 则S△CBF ＝S△CBP ＝ S□CBPQ ＝15y O A B C P Q F G H x ∴ CF·xB ＝15，∴ CF·5＝15 ∴CF＝6，∴F（0，－2） 易求直线BC的解析式为y＝－x＋6 ∴直线PQ的解析式为y＝－x－2 令x 2－6x＋4＝－x－2，解得x1＝2，x2＝3 ∴点P的坐标为（2，－4）或（3，－5） （3）作GH⊥y轴于点H 则GB＋ GF＝GB＋GH 当点G与F重合时，GB＋GH最小 此时点G的坐标（0，－2），GB＋ GF的最小值为 3．（1）由题意，可设抛物线的函数表达式为y＝a( x－1 )2－2 ∵OA＝1，∴A（－1，0） ∴0＝a( －1－1 )2－2，解得a＝ ∴抛物线的函数表达式为y＝ ( x－1 )2－2，即y＝ x 2－x－ 令y＝0，解得x＝－1或x＝3 ∴B（3，0），AB＝3＋1＝4 ∵S△ABD ＝5，∴ AB·yD ＝5，∴yD ＝ 把yD ＝ 代入抛物线的函数表达式，解得x＝－2或x＝4 ∴D（4，） 设一次函数的表达式为y＝kx＋b，把A、D两点坐标代入得： 解得k＝ ，b＝ x y D B A C E O F ∴一次函数的表达式为y＝ x＋ （2）过点E作EF∥y轴交AD于点F 设E（m， m 2－m－ ），则F（m， m＋ ） ∴EF＝ m＋ －( m 2－m－ )＝－ m 2＋ m＋2 ∴S△ACE ＝S△AFE － S△CFE ＝ OA·EF＝－ m 2＋ m＋1＝－ ( m－ )2＋ ∴当m＝ 时，△ACE的面积最大，最大值为 此时点E的坐标为（，－ ） （3）作点E关于x轴的对称点G，连接PG、GE，作GH⊥AE于H，PK⊥AE于K ∵OA＝1，E（，－ ），∴tan∠PAK＝ ＝ x y G B A P E H O K 设PK＝3x，则AK＝4x，PA＝5x，∴PK＝ PA ∴PE＋ PA＝PG＋PK≥GH＝ GE＝ ×2× ＝3 即PE＋ PA的最小值是3 4．（1）在y＝ x＋ 中，令y＝0，得x＝－6，令x＝0，得y＝ ∴A（－6，0），B（0，）y B C O M A x E D H ∵抛物线y＝－ x 2＋bx＋c过A、B两点 ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－ x 2－ x＋ （2）作BH⊥DE于H ∵△BDE是以DE为底边的等腰三角形，∴DH＝EH ∵M（m，0），∴D（m， m＋ ），E（m，－ m 2－ m＋ ） ∴DH＝ －( m＋ )＝－ m，EH＝－ m 2－ m＋ － ＝－ m 2－ my B C O M A x E D PP NN ∴－ m＝－ m 2－ m，∴m＋5＝1，∴m＝－4 （3）①∵∠NOP＝∠BON，∴当∠ONP＝∠OBN时△ONP∽△OBN 此时 ＝ ＝ ＝ ，始终保持不变 ∴OP＝ ON＝ ×4＝3，∴存在点P（0，3） ②∵ ＝ ，∴NP＝ NB ∴NA＋ NB＝NA＋NP≥AP ∵AD＝＝3，∴NA＋ NB≥3 即NA＋ NB的最小值为3 1 学科网（北京）股份有限公司 $$