14.2.1 平方差公式课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式 1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式。（本节课重、难点。） 2.理解探索平方差公式的几何意义。 3.理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式。 学习目标 如何快速计算101×99？ 问题导入 如何快速计算51×49？ 如何快速计算4.2×3.8？ ① 101×99 =（100+1）×99 = 100×99+1×99 = 9999 ② 101×99 = 101×（100-1） = 101×100-101×1 = 10100-101 = 9999 问题1 以上计算的依据是什么？ 拆数→凑整→单项式×多项式→乘法分配律 问题2 可以把两个数都变成整数吗？如果可以，那计算的依据又是什么？ 拆数、拼数→凑整→多项式×多项式 ① 101×99 =（100+1）×（100-1） = 100×100-100×1+100×1-1×1 = 1002-12 = 9999 发现规律 讲授新课 ② 51×49 =（50+1）×（50-1） = 50×50-50×1+50×1-1×1 = 502-12 = 2499 ③ 4.2×3.8 =（4+0.2）×（4-0.2） = 4×4- 4×0.2+4×0.2-0.2×0.2 = 42-0.22 = 15.96 问题3 大家拆数、拼数的依据是什么？ 拆成整数、或整数与小数的容易计算的组合。 问题4 拆、拼完之后，式子变成什么了？ 多项式×多项式 两数之和×两数之差 问题5 这两个多项式有什么特点？ 问题6 观察计算结果，它们与这两数有什么关系？ 结果为两数的平方差 问题7 通过以上的计算，你能用字母表示这类运算的特征吗？ 问题8 通过字母运算，你能用文字描述这类运算的特征吗？ (a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 知识要点 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和 这两个数的差 这两数的平方差 平方差公式 一 (a+b)(a-b) = a2-b2 (a+b)(a-b) = a2 +ab = a2-b2 a2 b2 -ab -b2 验证平方差公式 二 代数方法 a a b b a2-b2 a b b b (a+b)(a-b) = a-b a-b 几何方法 b a a b 1 2 (a+b)(a-b) 1 2 (a+b)(a-b) b a a b (a+b)(a-b) = a2-b2 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) 学生活动一：填一填 a b a2-b2 1 x -3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 0.3x 1 ( 0.3x)2-12 (a-b)(a+b) 运用平方差公式 三 平方差公式 (a+b)(a-b) = a2-b2 学生活动二：写一写 请你写出两个符合以上结构特征的多项式与多项式的乘法算式，按照多项式乘多项式的步骤计算出它们的结果。同桌互查结果是否与用公式算出来的结果一致？ 得分标准：简单 1分 中难 2分 创造性 3分 出题来源：教材习题 自创题 平方差公式 (a+b)(a-b) = a2-b2 学生活动三：说一说 通过以上的学习，你认为平方差公式有哪些变化？ 当堂练习 1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）（x+2)(x-2)=x2-2 （2）（-3a-2)(3a-2)=9a2-4 不对 改正： （1）（x+2)(x-2)=x2-4 不对 改正方法1： （-3a-2)(3a-2)= -[(3a+2)(3a-2)] =-(9a2-4) =-9a2+4 改正方法2： （-3a-2)(3a-2)=（-2-3a)(-2+3a) =(-2)2-(3a)2 =4-9a2 （1）(a+3b)(a- 3b)； =4a2－9； =4x4－y2. =(2a+3)(2a-3) =a2－9b2 ； =(2a)2－32 =(-2x2 )2－y2 =(9x2－16) －(6x2+5x -6) =3x2－5x－ 10. =(a)2－(3b)2 （2）(3+2a)(－3+2a)； （4）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2). （3）(－2x2－y)(－2x2+y)； 2.利用平方差公式计算： 3.计算： 20152 － 2014×2016. 解： 20152 － 2014×2016 = 20152 － (2015－1)(2015+1) = 20152 － （20152－12 ) = 20152 － 20152+12 =1 4.利用平方差公式计算: （a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4) =a4-16. 5.化简： (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8. 课堂小结 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用 $$