第一、二章-有理数及有理数的运算的复习讲义2024-2025学年人教版数学七年级上册

第一二章有理数及有理数的运算复习提纲 1、三个重要的定义 （1）正数：大于0的数叫做正数； （2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数； （3）0即不是正数也不是负数， 0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。 概念剖析：①正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。 例1 下列说法正确的是( ) A、一个数前面有“－”号，这个数就是负数； B、非负数就是正数； C、一个数前面没有“－”号，这个数就是正数； D、0既不是正数也不是负数； 例2 把下列各数填在相应的大括号中 8，，0.125，0，，，， 正整数集合 整数集合 正分数集合 例3 如果向南走米记为是米，那么向北走米记为是 ____________, 0米的意义是______________。 例4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么克表示______________ 例5 若 ，则是 ；若，则是 ；若，则是 ；若，则是 ；（填正数、负数或0） 2、有理数的概念及分类 整数和分数统称为有理数。 （1）按定义分类： （2）按性质符号分类： 例6 若为无限不循环小数且，是的小数部分，则是（ ） A、无理数 B、整数 C、有理数 D、不能确定 例7 若为有理数，则不可能是（ ） A、整数 B、整数和分数 C、 D、 3、数轴 标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。 在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 概念剖析： ①有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设是一个正数，则数轴上表示数的点在原点的右边，与原点的距离是个单位长度；表示数的点在原点的左边，与原点的距离是个单位长度。 ②在数轴上求任意两点a、b的距离为，这两个公式选择那个都一样。 例8 在数轴上表示数3的点到表示数的点之间的距离是10，则数 ； 若在数轴上表示数3的点到表示数的点之间的距离是，则数 。 例9 a,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ） ( 0 )A、 a+b＜0 B、 ab＜0 C、 ＜0 D、 例10 下列数轴画正确的是（ ） ( 0 1 —2— 2 D ) ( —2— 0 1 2 C ) ( 0 1 B ) ( 0 A ) 4、相反数 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。 0的相反数是0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 概念剖析：①数的相反数是，即与互为相反数。要把它与倒数区分开。 ②互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边，且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。 ③在数轴上离某点的距离等于的点有两个。 ④如果数和数互为相反数，则+=0；或； ⑤求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“—”即可； 例11 下列说法正确的是（ ） A、若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数； B、如果两个数互为相反数，则它们的商为-1； C、如果+=0，则数和数互为相反数； D、互为相反数的两个数一定不相等； 例12 求出下列各数的相反数 ① ② ③ ④ 例13 化简下列各数的符号 ① ② ③ ④ 知识窗口：①一个数前面加上“—”号，该数就成了它的相反数； ②一个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当于一个负号，偶数个负号相当于一个正号，而与正号的个数无关。 5、绝对值 数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值。 （1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。 （2）绝对值的代数意义： （3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 概念剖析：①。 ②互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。 例14 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是( ) A、互为相反数 B、相等 C、积为0 D、互为相反数或相等 例15 已知ab>0,试求的值。 例16 若|x|=-x，则x是_________数； 例17 若│x+3∣+∣y—2∣=0，则 = ； 例18 将下列各数从大到小排列起来0、 、 、 例19 如果两个数和的绝对值相等，则下列说法正确的是（ ） A、 B、 C、 D、不能确定 二、有理数的运算（先确定符号，在把绝对值进行计算!） 1、有理数的加法 有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 例20 ①（– 3）–（– 4）+7 ② ③+ （2）有理数加法的运算律： 加法的交换律 ：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c) 知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。 例21 ① ② 2、有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 例22 计算： 例23 月球表面的温度中午是，半夜是，中午比半夜高多少度？ 例24 已知是6的相反数，比的相反数小5，求比大多少？ 3、有理数的乘法 （1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。 （2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac。 （3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。 概念剖析：①“两个有理数相乘，同号得正，异号得负” ②多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为0，则积为0；几个都不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。 例25 计算下列各式： ① ② ③ ④ 4、有理数的除法 有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。 例25 倒数是其本身的数有_________； 例26 计算下列各式： ① ② ③ 5、有理数的乘方 （1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂。 （2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0的任何非0次幂都是0，1的任何非0次幂都是1，偶数次幂是1、奇数次幂是； 概念剖析：①“” 所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a； ②。因为表示个相乘，而表示个的相反数； ③任何数的偶次幂都得非负数，即。 例27 ①的意义是_________________________；②的意义是________________________； ③的意义是_________________________； 例28 当，时，则_________； 例29 计算： 例30 若互为相反数，是自然数，则（ ） A、和互为相反数 B、和互为相反数 C、和互为相反数 D、和互为相反数 知识窗口：所有的奇数可以表示为或；所有的偶数可以表示为。 6、有理数的混合运算 有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即先乘方、再乘除、最后加减；有括号的先算括号；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进行。 例31 计算下列各式 ① ② 例31 的绝对值为3、且满足的一元一次方程，则的值为多少？ 7、科学记数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中是整数位只有一位的数，这种记数方法叫做科学记数法。 （2）与实际完全符合的数叫做准确数，与准确数接近的数叫做近似数。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 例32 用科学记数法表示下列各数 ①1893400000 ②800032000 ③0.000003578012 例33 ①3.2千= ②12345百= ③120万人民币= 例34 用四舍五入法完成下列各题 ①_________（精确到千分位） ②_________（精确到万分位） ③_________（精确到个位） 练习： 一、选择题： 1、下列说法正确的是（ ） A、非负有理数即是正有理数 B、0表示不存在，无实际意义 C、正整数和负整数统称为整数 D、整数和分数统称为有理数 2、下列说法正确的是（ ） A、互为相反数的两个数一定不相等 B、互为倒数的两个数一定不相等 C、互为相反数的两个数的绝对值相等 D、互为倒数的两个数的绝对值相等 3、绝对值最小的数是（ ） A、1 B、0 C、– 1 D、不存在 4、计算所得的结果是（ ）A、0 B、32 C、 D、16 5、有理数中倒数等于它本身的数一定是（ ）A、1 B、0 C、–1 D、±1 6、（– 3）–（– 4）+7的计算结果是（ ）A、0 B、8 C、– 14 D、– 8 7、（– 2）的相反数的倒数是（ ）A、 B、 C、2 D、– 2 8、化简：，则是（ ）A、2 B、– 2 C、2或– 2 D、以上都不对 9、若，则=（ ）A、– 1 B、1 C、0 D、3 10、有理数a，b如图所示位置，则正确的是（ ） A、a+b>0 B、ab>0 C、b-a<0 D、|a|>|b| 二、填空题 11、（– 5）+（– 6）=________；（– 5）–（– 6）=_________。 12、（– 5）×（– 6）=_______；（– 5）÷6=___________。 13、_________；=________。 14、__________；________。 15、_________； 16、平方等于64的数是___________；__________的立方等于– 64 17、与它的倒数的积为__________。 18、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则a+b=_______；cd=______；m=__________。 19、如果a的相反数是– 5，则a=_____，|a|=______，|– a– 3|=________。 20、若|a|=4，|b|=6，且ab<0，则|a-b|=__________。 三、计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 四、某工厂计划每天生产彩电100台，但实际上一星期的产量如下所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 –1 +3 –2 +4 +7 –5 –10 比计划的100台多的记为正数，比计划中的100台少的记为负数；请算出本星期的总产量是多少台？本星期那天的产量最多，那一天的产量最少？ 五、某工厂在上一星期的星期日生产了100台彩电，下表是本星期的生产情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 –1 +3 –2 +4 +7 –5 –10 比前一天的产量多的计为正数，比前一天产量少的记为负数；请算出本星期最后一天星期日的产量是多少？本星期的总产量是多少？那一天的产量最多？那一天的产量最少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$