第1讲 不等式及其解集以及不等式的性质 讲义2024－2025学年北师大版数学八年级下册

第二章 一元一次不等式 (组) 第1讲 不等式 专题一 不等式及其解集 【知识点】 1. 常见的不等号有: >, <, ≤, ≥, ≠. 2. 满足不等式的未知数的值叫做不等式的解，所有解组成不等式的解集. 3. 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可. 定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”. 题型1 不等式的概念 【例1】现有以下数学表达式: ①-3<0; ②4x+3y>0; ③x=3; ④x²+ xy+y²; ⑤x≠5; ⑥x+2>y+3. 其中是不等式的有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 1个 【分析】用不等号表示不等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有：>，<，≤，≥，≠.③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式. 不等式有①②⑤⑥，共4个. 举一反三。 1. 下列各式: ①-x≥5; ②y-3x<0; ③χπ+5<0; ④x²+x≠3; ⑤ +3≤3x; ⑥2(x+2)-x<x-5,其中是一元一次不等式的有 . (填序号) 题型2 不等式的解(集) 【例2】已知实数a>2，且a是关于x的不等式x+b≥3的一个解，则b不可能是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【分析】A. 当b=0时，不等式x+b≥3的解集为x≥3，此时不一定包括实数a的解，此选项符合题意； B. 当b=1时，不等式x+b≥3的解集为x≥2，此时不等式的解集一定包括实数a，此选项不符合题意：C. 当b=2时，不等式x+b≥3的解集为x≥1，此时不等式的解集一定包括实数a，此选项不符合题意：D. 当b=3时，不等式x+b≥3的解集为x≥0，此时不等式的解集一定包括实数a，此选项不符合题意. 举一反三。 2. 下列哪些数是不等式2x-5>3的解? 哪些不是? -3, 0, 2, 4, 4.001, 5, 51 5 数学 八年级 下册 题型3 在数轴上表示不等式的解集 【例3】若一个不等式的正整数解恰为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下列的( ) 【分析】根据不等式解集的表示方法：>， ≥向右画； <， ≤向左画； 在表示解集时“≥”， “≤”要用实心圆点表示：“<”， “>”要用空心圆点表示. 举一反三。 3. 如图，天平左盘中物体A的质量为 mg，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，则m的取值范围在数轴上可表示为( ) 题型4 结合方程解概念型问题 【例4】若方程(m+2)x=2的解为x=2,想一想不等式(m+4)x>-3的解集是多少? 试判断-2,-1, 0, 1, 2, 3这6个数中哪些数是该不等式的解. 【分析】先根据方程(m+2)x=2的解求出m的值. 再把m的值代入不等式，确定不等式的解. 举一反三。 4. a为何值, 方程2x-a=3x+5的解为非负数. 专题二 不等式的性质 【知识点】 1. 若a>b, 则b<a. 2. 若a>b, b>c则a>c. 3. 若a>b, 则a+c>b+c, a-c>b-c. 4. 若a>b, c>0则 若a>b, c<0 则 题型1 根据不等式的性质变形 【例1】(1) 若a>b，则下列不等式变形一定正确的是 ( ) C. - ca<- cb D. 3a-c>3b-c (2) 已知a<b, 下列式子不成立的是( ) A. a+1<b+1 B. 3a<3b D. 如果c<0, 那么 么 【分析】直接利用不等式的基本性质，注意不等式两边乘以或除以负数时需改变不等号方向. 举一反三。 1. (1) 下列式子一定成立的是( ) A. 若 则a=b B. 若 ac> bc, 则a>b C. 若a>b, 则 D. 若a<b, 则 (2) 若a<b，则下列结论不一定成立的是 ( ) A. a+c<b+c B. ac< bc C. 3a<3b D. a-b<0 题型 2 根据不等式的性质求取值范围 【例2】根据不等式性质，把下列不等式化为x>a或x<a的形式： (2) -0.3x<-1.5. 【分析】(1) 不等式的两边先减去 x， 再乘以2； (2) 不等式的两边同时除以一0.3. 举一反三。 2. 根据不等式的性质，将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式: (1) 4x>3x+5; (2) 10x-1>7x; (4) -2x-16<1. 57 题型3 根据不等式的性质比较大小 【例3】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 若 则a>b; 若a-b=0, 则. 若 则 反之也成立. 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”. 请运用这种方法尝试解决下面的问题： (1) 比较 与 的大小； (2) 若 则a，b的大小关系是 .(直接写出答案) 【分析】根据作差法，差大于零被减数大，差小于零被减数小，可得答案. 举一反三。 3. 已知 其中 (1) 求证: 并指出A与B的大小关系； (2) 指出A与C哪个大? 说明理由. 58 学科网（北京）股份有限公司 $$