专题二 角平分线问题常用处理方法2024-2025学年北师大版八年级数学上册

专题二 角平分线问题常用处理方法 【知识点】 1. 作垂直：作角平分线上的点到角两边的距离，得距离相等. 其原理是角平分线的基本性质. 2. 作对称(截长补短)：以角平分线为轴进行翻折，其原理是轴对称性质. 实际操作中可以通过截取实现. 3. 作平行：角平分线+平行→等腰三角形. 4. 延长：补全图形，构造等腰三角形三线合一定理基本图形，从而运用定理解题. 题型1 作垂直 【例1】如图, I是△ABC中角平分线BD, CE的交点, 若∠A=60°, 探索BC, BE, CD有何关系?猜想并证明你的结论. 【分析】连接IA, 作IF⊥AB于点F, IG⊥AC于点G, IH⊥BC于点H, 可得IF=IG=IH, 证△BIF和△BIH全等,△CIG 和△CIH全等, 可得BH=BF, CH=CG, 再根据四边形的内角和求出∠FIG=120°,得出∠EID=120°, ∠EIF=∠DIG, 再证△EIF和△DIG全等, 可得EF=DG, ID=IE, 即可求解. 举一反三。 1. 如图, 在四边形ABCD中, ∠BAC=∠BDC=36°, ∠ADB=72°, 求证: AB=AC. 题型 2 作对称(截长补短) 【例2】如图, 四边形ABCD中, AC平分. 求证： 【分析】如图, 在AB 上截取AE=AD, 连接EC, 或延长AD至E, 使 连接CE，构建全等三角形. 举一反三。 2. 如图, 在 中， BD 是 的角平分线. 若 求证： 题型3 作平行 【例3】如图,△ABC中,∠BAC=2∠ABC,I为△ABC的三条角平分线的交点. 求证: BC=AI+AC. 【分析】角平分线+平行可得等腰又可得2倍角，过Ⅰ作IE∥AB于交BC于 E，则可得BE=IE，再证IE=IA, CE=AC即可. ∠CAI=∠CEI. 举一反三。 3. 如图1, 在△ABC中, ∠ABC=2∠ACB, AO, BO分别平分∠BAC, ∠ABC, 连接OC. (1) 求证: OC平分∠ACB; (2) 如图2, 若AB=6, AC=10, 求OB的长. 45 题型4 延长 【例4】如图, 中， (1) 如图1, CF平分. 交AB于F, 于E，探究CF，BE之间的数量关系： (2) 如图 2, 若 D 为线段 BC 上一点, 垂足为E, DE交AB于F, 线段DF，BE的数量关系是否发生变化? 请说明理由. 【分析】(1) 延长构等腰即可； (2) 转化为(1) 的问题解决. 举一反三。 4. 如图, 为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使 连接CE, DE.求证： 学科网（北京）股份有限公司 $$