第2讲 一元一次不等式同步练习2024-2025学年北师大版八年级数学上册

第2讲 一元一次不等式 专题一 一元一次不等式的相关概念及解法 【知识点】 1. 一元一次不等式是指含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，判断是否为一元一次不等式需要先化简再判断. 2. 解一元一次不等式，是根据不等式的性质逐步将不等式化为x<a或x>a的形式. 题型1 一元一次不等式的定义 【例1】若不等式3 是关于x的一元一次不等式，求m，n满足的条件. 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数并且含未知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式，可知二次项系数等于零且一次项系数不等于零. 举一反三。 1. 下列不等式是一元一次不等式的是( ) B. x+1=0 C. x+y>0 题型2 一元一次不等式的解法 【例2】解不等式 并把它的解集表示在数轴上. 【分析】解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，其中系数化为1时若未知数的系数为负数，需要改变不等号的方向. 举一反三· 2. 解下列不等式，并把它的解集表示在数轴上： 59 题型3 求一元一次不等式的特殊解 【例3】若不等式 的最小整数解是方程： 的解，求a的值. 【分析】此题可先将不等式化简求出x的取值范围，然后取x的最小整数解代入方程. 化为关于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值. 举一反三。 3. 若不等式. 的最小整数解是方程3 的解，求 的值. 题型4 用不等式解决几何问题 【例4】在△ABC中，三个内角的度数均为整数，且 求 的度数. 【分析】利用三角形内角和定理列出不等式. 举一反三。 4. 在 中，三边长分别为5，12，2-3x，周长为奇数，求整数x的值及周长的最大值. 专题二 含参数的一元一次不等式 【知识点】 1. 解含有字母系数的不等式 在不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变； 在不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变. 反之亦然. 利用这个性质，根据不等式中字母的取值范围来求解含字母系数的不等式或分类讨论求解. 2. 确定不等式中字母值或取值范围 先求解不等式，将解集用含字母的式子表示，再结合题目条件确定字母的取值或取值范围. 题型1 解含参数的一元一次不等式 【例1】解关于x的不等式 ax-2a<2(x-2). 【分析】根据解一元一次不等式的一般步骤解不等式，需要注意的是合并同类项后，需讨论未知数的系数的正负情况. 举一反三。 1. 解关于x的不等式 ax+3<x+b. 题型2 已知不等式的解集，确定不等式中字母的值 【例2】若不等式(2k+1)x<2k+1的解集是x>1, 求k的取值范围. 【分析】根据不等式的性质：不等式两边同除以一个负数，不等号方向改变，进而得出答案. 举一反三。 2. 已知x=3 是关于x的不等式 的 一个解，求a的取值范围. 题型3 已知不等式的整数解，求参数的取值范围 【例3】已知不等式2x-m≤0至少有5个正整数解，求m的取值范围. 【分析】首先求得不等式2x-m≤0的解集，其中不等式的解集可用 m 表示，根据不等式的正整数解即可得到一个关于m的不等式，即可求得m的取值范围. 举一反三。 3. (1) 若关于x的不等式2x-m≤0的正整数解只有4个， 则m的取值范围是( ) A. 8<m<10 B. 8≤m<10 C. 8≤m≤10 D. 4≤m<5 (2) 已知不等式3x+a≤0的正整数解为1, 2, 3, 则a的取值范围为 . 题型4 已知不等式的解集，求相关不等式的解集 【例4】若关于x的不等式(2a-b)x+3a-4b<0的解集是 试求关于x的不等式(a-4b)x+2a-3b<0的解集. 【分析】先化简不等式，根据不等式的解集得出参数需满足的条件：一是由是否变号得出参数范围，二是由界点得出参数的关系. 然后根据参数满足的条件探讨另一个不等式的解集. 举一反三。 4. 设不等式( 的解集为 求不等式 的解. 专题三 绝对值不等式 【知识点】 1. 含绝对值的不等式可利用数形结合法与分类讨论法解决问题. 2. ①关于x的不等式|x|<a(a>0)的解为: a<x<a; ②关于x的不等式|x|>a(a>0)的解为: x>a或x<-a. 题型1 解含一个绝对值的不等式 【例1】阅读求绝对值不等式子|x|<3解集的过程： 因为 从如图所示的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|<3的解集是-3<x<3. 解答下面的问题： (1) 不等式|x|<a(a>0)的解集为 . (2)求 的解集实质上是求不等式组 的解集，所以| 的解集是 . 【分析】(1) 根据题中所给出的例子进行解答即可； (2)根据题中所给的实例列出关于x的不等式组，求| 的解集是 可化为 求出其解集即可. 举一反三。 1. 解下列不等式： (1) |x|>2; (2) |x-1|≤4; 题型 2 解含多个绝对值的不等式 【例2】解方程| 由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值. 在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边. 若x对应点在1的右边，由图可以看出. 同理，若x对应点在-2的左边，可得. ，故原方程的解是x=2或x=-3. 参考阅读材料，解答下列问题： (1) 方程|x+3|=4的解为 ; (2) 解不等式 (3) 若| 对任意的x都成立，求a的取值范围. 【分析】(1)根据已知条件可以得到绝对值方程，可以转化为数轴上，到某个点的距离的问题，即可求解： (2) 不等式|x-3|+|x+4|≥9表示到3与-4两点距离的和，大于或等于9个单位长度的点所表示的数： (3) |x-3|+|x+|4|≤a对任意的x都成立, 即求到3与 -4两点距离的和最小的数值. 举一反三。 2. 解不等式： (1) |x-5|--|x+2|<1; (2) |x-1|+|x+2|>5. 专题四 实际问题与一元一次不等式 【知识点】 1. 利用一元一次不等式解决实际问题实质就是一个列不等式→求解→由实际问题的意义取值的过程，一元一次不等式的解一般情况下是无穷多个，但由于实际问题的限制，可能只有其中的某个或某些满足实际问题，这样也就随之产生了一种或几种设计方案。 2. 常见的一些等量关系 ①行程问题：路程=速度×时间； ②工程问题：工作量=工作效率×工作时间，各部分劳动量之和=总量； ③利润问题：商品利润=商品售价一商品进价，利润率 ④增长率问题：增长量=原有量×增长率： ⑤银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×时间； ⑥数字问题：多位数的表示方法：例如： 题型1 关系直接型 【例1】某运输公司要将300吨物资运往某地，现有A，B两种型号的汽车可供调用. 已知A 型汽车每辆最多可装该物资 20 吨，B型汽车每辆最多可装该物资15 吨. 在每辆车不超载的条件下，要把这 300吨物资一次性装运完. 问：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆? 【分析】本题的数量关系是：7辆A 型汽车装载货物的吨数+B型汽车装货物的吨数大于或等于300吨，由此可得出不等式，求出未知数的取值范围，找出符合条件的值. 举一反三。 1. 某小区为了绿化环境，计划购进甲、乙两种花卉共31株，甲种花卉每株20元，乙种花卉每株5元，若购买甲、乙两种花卉总费用不超过350元，问至少需要购买乙种花卉多少株? 题型2方案选择型 【例2】响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132 000元. 已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为1200元/台、1600元/台、2000元/台. (1) 至少购进乙种电冰箱多少台? (2) 若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案? 【分析】(1)关系式为：甲种电冰箱用款+乙种电冰箱用款+丙种电冰箱用款≤132000，根据此不等关系列不等式即可求解： (2) 关系式为：甲种电冰箱的台数≤丙种电冰箱的台数，以及(1) 中得到的关系式联合求解. 举一反三。 2. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展. 小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适. 甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费； 超过1千克，超过的部分按每千克15 元收费. 乙公司表示：按每千克 16元收费，另加包装费3元. 设小明快递物品x千克. (1) 请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元) 与x(千克) 之间的函数关系式； (2) 小明选择哪家快递公司更省钱? 题型3 与方程(组)结合 【例3】小明同学三次到某超市购买 A，B两种商品，其中第三次购买有折扣，购买数量及消费金额如下表： 类别次数 购买A 商品数量(件) 购买B商品数量(件) 消费金额(元) 第 一次 4 5 320 第二次 2 6 300 第三次 5 7 258 解答下列问题： (1) 求A, B两种商品的原价; (2) 若购买A，B两种商品的折扣数相同，求折扣数； (3) 小明同学再次购买A，B两种商品共10件，在(3) 中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A 商品多少件. 【分析】(1)设A 商品的原价为x 元/件，B商品的原价为y元/件，根据总价=单价×数量，再结合前两次购物的数量及总价，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设折扣数为z，根据总价=单价×数量，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论；(3)设购买A商品m件，则购买B商品(10-m)件，根据总价=单价×数量，再结合消费金额不超过200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论. 举一反三。 3. 小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表： 次数 购买数量(件) 购买总费用(元) A B 第一次 2 1 55 第二次 1 3 65 根据以上信息解答下列问题： (1) 求A, B两种商品的单价; (2)若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$