精品解析：辽宁省锦州市第四中学2024—2025学年上学期10月作业反馈九年级数学试卷

2024—2025学年度第一学期九年级10月作业反馈 数 学 试 卷 考试时间90分钟 试卷满分100分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定区答题区域内作答，答在本试卷上无效 一、选择题 （本大题共10道小题，每小题2分，共20分） 1. 方程：①，②，③，④中，属于一元二次方程的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．据此判断即可． 【详解】解：①中，不是整式方程，不是一元二次方程； ②中有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上③和④是一元二次方程， 故选：C． 2. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的性质，熟记菱形、矩形、正方形的性质是解决问题的关键．根据菱形、矩形、正方形的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、矩形与正方形的对角线相等，菱形对角线不相等，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； B、菱形与正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； C、菱形、矩形、正方形的对角线均互相平分，选项性质是菱形、矩形、正方形共有的性质，符合题意； D、菱形与正方形的一条对角线平分一组内角，矩形一条对角线不能平分一组内角，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； 故选：C． 3. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形． B. 有一个角是直角的菱形是正方形． C. 对角线相等且垂直的四边形是正方形． D. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【答案】C 【解析】 【分析】顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；既是矩形，又是菱形的四边形是正方形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【详解】A、根据菱形的性质和矩形的判定，知正确； B、根据正方形的判定，知正确； C、根据正方形的判定，知必须在平行四边形的基础上，故错误； D、根据等边三角形的判定，知正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊四边形的判定、等边三角形的判定． 4. 把一元二次方程，配成的形式，则p、q的值是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 按照配方法把配成的形式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 故选：B． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式， 计算求值即可； 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且，16-4（k-1）≥0， 解得：且． 故选： C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根． 6. 如图，在矩形中，点O为对角线、的交点，点E为上一点，连接，并延长交于点F，则图中全等三角形共有（ ）（不包含直角三角形全等） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：四边形为矩形，其矩形的对角线相等且相互平分， ，，，，， 又，，， ∴，，， ∴故图中的全等三角形（不包含直角三角形全等）共有4对． 故选：B． 7. 如图，过点C画平行四边形与正方形，其中E点在上，若，，则的度数为（ ） A. 50 B. 55 C. 70 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得到，进而得到，再利用三角形内角和定理，得到，最后根据平行四边形对角相等，即可得到的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形和平行四边形的性质是解题关键． 8. 某公司去年的产值200万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括去年）的总产值就达到了1400万元，设这个百分数为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程和对增长率问题的掌握情况，三年的总产值=去年的产值+今年的产值+明年的产值，要明确每一年的产值的表达式．根据此等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个百分数为x，则有今年的产值为，明年的产值为， 由题意可得：． 故选：B． 9. 根据四边形的不稳定性，当变动∠B的度数时，菱形ABCD的形状会发生改变，当∠B=60°时，如图1，AC=；当∠B=90°时，如图2，AC=（ ） A. B. 2 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】在图1中求出菱形的边长，再在图2中利用勾股定理求出AC即可解决问题． 【详解】解：如图1、2中连接AC． 在图1中，∵AB=BC，∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=， 在图2中，∵∠B=90°，AB=BC=， ∴AC==2． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型． 10. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=2EQ；④△PBF是等边三角形，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利斜边大于直角边，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③正确；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，故④正确． 【详解】解：∵AE=AB， ∴BE=2AE， 由翻折的性质得，PE=BE， ∴∠APE=30°， ∴∠AEP=90°-30°=60°， ∴∠BEF=（180°-∠AEP）=（180°-60°）=60°， ∴∠EFB=90°-60°=30°， ∴EF=2BE，故①正确； ∵BE=PE， ∴EF=2PE， ∵EF＞PF， ∴PF＜2PE，故②错误； 由翻折可知EF⊥PB， ∴∠EBQ=∠EFB=30°， ∴BE=2EQ，EF=2BE， ∴FQ=3EQ，故③错误； 由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°， 则∠BFP=30°+30°=60°， ∵∠PBF=90°-∠EBQ=90°-30°=60°， ∴∠PBF=∠PFB=60°， ∴△PBF是等边三角形，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定等知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 二、填空题（本大题共5道小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程 的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴或， 解得， 故答案为：． 12. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为_______． 【答案】14 【解析】 【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8， ∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4， ∵点E为AC的中点， ∴DE=CE=AC=5， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14． 故答案为∶14 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 13. 如图，在一块长，宽为的矩形地面内（两条道路分别与矩形的一条边平行），余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，根据题意列方程_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把四块草坪拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是米和米，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 【详解】解：设小路宽为米，则把四块草坪拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是米和米， 根据题意得：． 故答案为：． 14. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=_______cm． 【答案】 【解析】 【详解】如图，连接AO交EF于点P， 由菱形和折叠对称的性质，知四边形AEOF是菱形，且AP=OP． ∵点A恰好落在菱形的对称中心O处， ∴AE=BE． ∵AB=2，∠A=120°， ∴Rt△AEP中，AE=1，∠AEP=30°． ∴， ∴， ∴EF＝． 15. 如图，边长为4的正方形中，M，N为对角线两点，且，点E为边的中点，则的最小值_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质与判定，勾股定理，过作，使，过作交于，交延长线于，连接，，，即可得到是平行四边形，是正方形，则，当在上时，取最小值，最小值为的长，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过作，使，过作交于，交延长线于，连接，，， ∵边长为4的正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，使， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴当在上时，取最小值，最小值为的长， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（本题共20分） 16. 计算 （1） ； （2）； （3） ； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，以及直接开方法， （1）用配方法配方得，再开方即可求出解； （2）用公式法先求出，再代入公式即可求出解； （3）提取公因式方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （4）移项后运用平方差公式将方程左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 四、解答题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分） 17. 如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积． 【答案】（1）见试题解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）由□ABCD可得AB=CD，BC=AD，∠ABC=∠CDA，再结合点E、F分别是BC、AD的中点即可证得结论； （2）当四边形AECF为菱形时，可得△ABE为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得结果． 【详解】∵在□ABCD中，AB=CD， ∴BC=AD，∠ABC=∠CDA． 又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD， ∴BE=DF． ∴△ABE≌△CDF． （2）当四边形AECF为菱形时，△ABE为等边三角形， 四边形ABCD的高为 , ∴菱形AECF的面积为2. 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，对角相等；菱形的四条边相等． 18. 阅读材料：如果一元二次方程的两根分别是，，那么，．借助该材料完成下列各题： （1）若，是方程的两个实数根，则 ， ． （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据根与系数的关系：，来解题； （2）首先根据根的判别式求得的取值范围，然后由根与系数的关系来求的值． 【小问1详解】 解：、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ 故答案为：，； 【小问2详解】 解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：， 、是关于的方程的两个实数根， ，， 又∵， ，即， 解得，或， 又∵， ∴的值是． 19. 在矩形中，点E是上一点，，，垂足为F． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 即； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角的互余关系； （1）由矩形的性质得出，，，得出，由证明，得出，即可得出结论； （2）先证出，再由角的互余关系即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 如图，取中点，连，则， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ， ． 五、解答题（本大题共2道小题，每小题8分，共16分） 20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示移动的时间（0≤t≤6）． 那么：（1）求四边形QAPC的面积； （2）当t为何值时，PCQ的面积是31cm2？ 【答案】（1）36（cm2）；（2）当t=1或5时，△PCQ的面积是31cm2． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到AP=2t，DQ=t，再根据四边形QAPC的面积=四边形ABCD的面积-△CDQ的面积-△PBC的面积计算； （2）用t表示出△PCQ的面积，根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得，AP=2t cm，DQ=t cm， 则PB=（12-2t）cm，AQ=（6-t）cm， 四边形QAPC的面积=矩形ABCD的面积-△CDQ的面积-△PBC的面积 = =36（cm2）； （2）△PCQ的面积=四边形QAPC的面积-△QAP的面积 = =36-6t+t2， 当△PCQ的面积是31cm2时，36-6t+t2=31， 解得，t1=1，t2=5， 则当t=1或5时，△PCQ的面积是31cm2． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、一元二次方程的应用，根据题意正确表示出线段AP、DQ的长度、灵活运用相关的性质定理列出关系式是解题的关键． 21. 某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线所示（不包括端点A）． （1）当时，直接写y与x之间的函数关系式：______． （2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润． 【答案】（1） （2）110千克或190千克 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的实际应用． （1）利用待定系数法求出当时，与之间的函数关系式即可； （2）根据当时，当时，分别根据蔬菜种植基地能获得418元的利润列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设当时，与之间的函数关系式为：， 把，代入函数关系式得： ， 解得：， 当时，与之间的函数关系式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，，解得，不合题意； 当时，， 整理得， 解得：，， 答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润． 六、解答题（本题共11分） 22. 【初步感知】（1）如图①，在正方形中，E，F分别为和上的点，且．则与的关系 ． 【深入探究】（2）如图②，在正方形中，E为（不与B，C点重合）上的点，F为上的点，连接与对角线交于点G，连接并延长交于点H．若，试判断与之间的数量关系． 【拓展应用】（3）如图③在中，，，D为上一点，且，连接，E在过点B垂直于的直线上，连接，若时，求的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）证明即可得到，，再证明得到； （2）过作交于，过作交于，交于，先证明，得到，再证明，即可得到； （3）过作交于，交延长线于，先求出，，再由，得到，，结合可得，得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：（1）如图与交于点， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）过作交于，过作交于，交于， ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （3）过作交于，交延长线于， ∵中，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在点左边时，，； 当点在点右边时，，； 综上所述，或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟悉正方形十字架模型和全等三角形的一线三垂直模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期九年级10月作业反馈 数 学 试 卷 考试时间90分钟 试卷满分100分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定区答题区域内作答，答在本试卷上无效 一、选择题 （本大题共10道小题，每小题2分，共20分） 1. 方程：①，②，③，④中，属于一元二次方程的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③ 2. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 3. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形． B. 有一个角是直角的菱形是正方形． C. 对角线相等且垂直的四边形是正方形． D. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 4. 把一元二次方程，配成的形式，则p、q的值是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 6. 如图，在矩形中，点O为对角线、的交点，点E为上一点，连接，并延长交于点F，则图中全等三角形共有（ ）（不包含直角三角形全等） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 7. 如图，过点C画平行四边形与正方形，其中E点在上，若，，则的度数为（ ） A. 50 B. 55 C. 70 D. 75 8. 某公司去年的产值200万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括去年）的总产值就达到了1400万元，设这个百分数为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 根据四边形的不稳定性，当变动∠B的度数时，菱形ABCD的形状会发生改变，当∠B=60°时，如图1，AC=；当∠B=90°时，如图2，AC=（ ） A. B. 2 C. 2 D. 10. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=2EQ；④△PBF是等边三角形，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④ 二、填空题（本大题共5道小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程 的解为_______． 12. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为_______． 13. 如图，在一块长，宽为的矩形地面内（两条道路分别与矩形的一条边平行），余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，根据题意列方程_______． 14. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=_______cm． 15. 如图，边长为4的正方形中，M，N为对角线两点，且，点E为边的中点，则的最小值_________． 三．解答题（本题共20分） 16. 计算 （1） ； （2）； （3） ； （4）． 四、解答题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分） 17. 如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积． 18. 阅读材料：如果一元二次方程的两根分别是，，那么，．借助该材料完成下列各题： （1）若，是方程的两个实数根，则 ， ． （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 19. 在矩形中，点E是上一点，，，垂足为F． （1）求证：； （2）若，求． 五、解答题（本大题共2道小题，每小题8分，共16分） 20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示移动的时间（0≤t≤6）． 那么：（1）求四边形QAPC的面积； （2）当t为何值时，PCQ的面积是31cm2？ 21. 某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线所示（不包括端点A）． （1）当时，直接写y与x之间的函数关系式：______． （2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润． 六、解答题（本题共11分） 22. 【初步感知】（1）如图①，在正方形中，E，F分别为和上的点，且．则与的关系 ． 【深入探究】（2）如图②，在正方形中，E为（不与B，C点重合）上的点，F为上的点，连接与对角线交于点G，连接并延长交于点H．若，试判断与之间的数量关系． 【拓展应用】（3）如图③在中，，，D为上一点，且，连接，E在过点B垂直于的直线上，连接，若时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $