精品解析：新疆维吾尔自治区哈密市第五中学2024-2025学年九年级数学上学期期中卷

哈密市第五中学2024-2025学年第一学期期中考试 初三数学 试卷时间：100分钟分值：100分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉”．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．如图分别是中国卫生、中国卫生应急、中国红十字、社区卫生的标志图案，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 4. 平面直角坐标系内有一点，将点P绕坐标原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 常数a，b， c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 7. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值-5、最大值0 B. 有最小值-3、最大值6 C. 有最小值0、最大值6 D. 有最小值2、最大值6 9. 如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A. y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B. y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C. y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D. y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 10. 如图，二次函数的图象与轴负半轴交于，顶点坐标为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数，都有．其中结论正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知是方程的一个根，则________． 12. 已知一元二次方程的两根为，，则___． 13. 已知，则点关于原点的对称点在第________象限． 14. 如图，把绕点C按顺时针方向旋转后能与重合，且交于点E，若，则的度数是__________． 15. 如图，某市公园计划在一块长为，宽为的长方形绿地中修建三条等宽的小道，设每条小道的宽度为，若剩余绿地的面积为，则可列方程：________． 16. 如图，在正方形ABCD中，E为 BC上的点，F为 CD边上的点，且AE=AF，AB=4，设EC=x，△AEF 的面积为y，则y与x之间的函数关系式是____. 三、解答题（52分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3）． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）向左平移3个单位得到的，则点A，B，C的对应点的坐标分别为（ ），（ ），（ ）． （2）画出绕点C顺时针旋转后得到的． （3）请计算四边形的面积． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 20. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某款莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是万件，8月份的销售量是万件，求月平均增长率； （2）某实体店该款莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了尽快减少库存，商家决定降价促销，若想要销售该款莲莲玩偶每天获利1050元，则售价应降低多少元？ 21. 已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧．点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； 22. 综合与探究 数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． 思路梳理： （1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整； ， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， ，即点，，共线． 根据___________，易证___________，即可证得． 类比引申： （2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形中，，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由； 联想拓展： （3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，满足的等量关系，并写出推理过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈密市第五中学2024-2025学年第一学期期中考试 初三数学 试卷时间：100分钟分值：100分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉”．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．如图分别是中国卫生、中国卫生应急、中国红十字、社区卫生的标志图案，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．熟练掌握如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中是中心对称图形，故符合要求； B中不是中心对称图形，故不符合要求； C中不是中心对称图形，故不符合要求； D中不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：A． 2. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：A. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； B. ，次数为1，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，整理后得，不含二次项，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．其顶点坐标是，对称轴为直线．根据性质逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标． 故选C． 4. 平面直角坐标系内有一点，将点P绕坐标原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是利用旋转的性质求坐标.过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为，证即可得到答案. 【详解】解：过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为， ∵将点P绕坐标原点逆时针旋转得到的点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 故选：B. 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 6. 常数a，b， c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；根据一元二次方程根的判别式解答，即可求解． 【详解】解：观察数轴可知：，，． ∴在方程中，， 该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 7. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 8. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值-5、最大值0 B. 有最小值-3、最大值6 C. 有最小值0、最大值6 D. 有最小值2、最大值6 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象逐一分析即可． 【详解】由二次函数的图象可知， ∵-5≤x≤0， ∴当x=﹣2时函数有最大值，y最大=6； 当x=-5时函数值最小，y最小=-3． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 9. 如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A. y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B. y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C. y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D. y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四边形是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ，， 和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ，， ， 即， y与x满足一次函数关系， ，最大值为1， S与x满足二次函数关系，且S存在最大值． 故选：A． 10. 如图，二次函数的图象与轴负半轴交于，顶点坐标为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数，都有．其中结论正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解：对称轴为直线，函数图象与轴负半轴交于，， ， ， 由图象可知，， ， ，故①不正确； 由图可知，当时， ， ，即，故②正确； 抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大， 又，，， ；故③正确； 当时，是抛物线的最小值， ， 即，故④正确； ∴结论正确的有②③④共3个， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知是方程的一个根，则________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入，得到，即可求得的值． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴． ∴， 故答案为：2025． 12. 已知一元二次方程的两根为，，则___． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，，熟记根与系数的关系式是解题的关键，根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形计算即可得到答案 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴． 故答案为：17． 13. 已知，则点关于原点的对称点在第________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】分析P点的位置，然后得出关于原点的对称点的位置，即可得出答案. 【详解】， 则P点在第一象限，P关于原点的对称点Q在第三象限. 故答案为：三 【点睛】本题考查了点的位置及其关于原点对称点的位置，熟悉掌握概念是解决本题的关键. 14. 如图，把绕点C按顺时针方向旋转后能与重合，且交于点E，若，则的度数是__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵绕点C按顺时针方向旋转后能与重合， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，某市公园计划在一块长为，宽为的长方形绿地中修建三条等宽的小道，设每条小道的宽度为，若剩余绿地的面积为，则可列方程：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，每条小道的宽度为，根据剩余绿地的面积为，列出方程求解即可得． 【详解】解：每条小道的宽度为， 根据题意得，． 故答案为：． 16. 如图，在正方形ABCD中，E为 BC上的点，F为 CD边上的点，且AE=AF，AB=4，设EC=x，△AEF 的面积为y，则y与x之间的函数关系式是____. 【答案】y=-x2+4x 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得AB=AD，再利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，然后求出CE=CF，再根据△AEF的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积列式整理即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，AB=AD， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∴CE=CF， ∵CE=x， ∴BE=DF=4-x， ∴y=42-2××4×（4-x）-x2， =-x2+4x， 故答案为：y=-x2+4x． 三、解答题（52分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接利用开平方法解方程即可． （2）利用配方法解方程即可．方程常数项移到右边，两边加上4，利用平方根的定义解方程即可． （3）先把方程变形为，再把公因式提出来，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或， ∴， 【小问2详解】 解： 或 ∴， 【小问3详解】 解： ∴， 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）向左平移3个单位得到的，则点A，B，C的对应点的坐标分别为（ ），（ ），（ ）． （2）画出绕点C顺时针旋转后得到的． （3）请计算四边形的面积． 【答案】（1）2，2；2，5；，1 （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质可得答案． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）利用割补法求四边形的面积即可． 【小问1详解】 向左平移3个单位得到的，，，， ，，． 故答案为：2，2；2，5；，1． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 四边形的面积为． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， 无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）另一个根为2，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的情况以及二元一次方程的解，解决此题的关键是熟练掌握掌握二元一次方程的解法． （1）方程总有两个实数根，可得到，算出结果即可． （2）已知一个根是，把这个根代入求出m，进而得到原方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程得， 解得， 原方程为， ， 另一个根为2，． 20. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某款莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是万件，8月份的销售量是万件，求月平均增长率； （2）某实体店该款莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了尽快减少库存，商家决定降价促销，若想要销售该款莲莲玩偶每天获利1050元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低25元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用． （1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可； （2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x， ， 解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价降低y元， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∵， ∴售价应降低25元． 21. 已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧．点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形面积， （1）根据题意求出点C坐标，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，即可得出抛物线的解析式； （2）设，则，根据，可得，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴由图可得， 把，代入 可得 解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：令可得， 解得 ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴或， 解得或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，与重合，不合题意， ∴或或． 22. 综合与探究 数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． 思路梳理： （1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整； ， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， ，即点，，共线． 根据___________，易证___________，即可证得． 类比引申： （2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形中，，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由； 联想拓展： （3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】（1）；； （2）（1）中的结论还成立． 理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）猜想：．理由如下： 把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识；能正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键． （1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】解：（1）∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图1， ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $