广东省深圳外国语学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷 （10月份）

第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 3分，共 24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1. 如果 3 2 x y = ，则 x y y + = （ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 5 2 D. 2 5 2. 一元二次方程 2 6 5 0x x− + = 配方后可化为 （ ） A 2( 3) 4x − = − B. 2( 3) 14x + = − C. 2( 3) 4x − = D. 2( 3) 14x + = 3. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ） A 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 A，B，C都在横线 上．若线段 15 2 AC = ，则线段 AB的长是（ ） A. 5 2 B. 2 C. 3 2 D. 5 5. 已知关于 x的一元二次方程 2 2 1 0mx x+ − = 有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是（ ） A. 1m < − B. 1m > C. 1m < 且 0m ≠ D. 1m > − 且 0m ≠ 6. 若 ABC DEF∽△ △ ， ABC 与 DEF 的面积比为1:16，则 AB与DE的比是（ ） A. 1: 4 B. 1:8 C. 1:16 D. 1: 32 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为 40m ，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停 车位的占地面积为 2520m ，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为 mx ，根据题意所列方 程为（ ） . . 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A. (40 2 )(22 ) 520x x− − = B. (40 )(22 ) 520x x− − = C. (40 )(22 2 ) 520x x− − = D. (40 )(22 ) 520x x− + = 8. 如图，在矩形 ABCD中， 6AB = ， 8BC = ，点 E、F 分别是BD、CD边上一点，连接 AE、 AF ， BD交 AF 于点G，若 3BE = ， EAF ABD∠ = ∠ ，则DG的长为（ ） A. 8 7 B. 9 7 C. 10 7 D. 11 7 二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分． 9. 一元二次方程 2 4 0x x a− + = 一个解为 1x = ，则a =______． 10. 如图，在菱形 ABCD中， 2AB = ，则菱形 ABCD的周长为___________． 11. 已知 m是方程 2 4 1 0x x − =+ 的一个根，则 ( 5)( 1)m m+ − 的值为___________． 12. 如图，在正方形 ABCD中，E为 AD上一点，连接 BE，BE的垂直平分线交 AB于点M ，交CD于点 N ，垂足为O．若 4AB = ， 3AE = ，则ON的长为______． 的 第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 13. 如图，在Rt ABC△ 中， 90C∠ = ， 2 3AC = ， 6CB = ，D为 AC中点，E为 BC上一点，连接 AE、 BD交于点F ，若 30AFD∠ = °，则CE的长为___________ 三、解答题：本题共 7小题，共 61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. （1）解方程： 22 4 5 0x x+ − = ； （2）已知 a、b、c为 ABC 的三边长，且 48a b c+ + = ， 3 4 5 a b c = = ，求 ABC 三边的长． 15. 在4 4× 的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与 ABC 相似但不 全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围） 16. 根据以下素材，探索完成任务． 素 材 1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智 能化，对某款车型 零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件 4 月份生产 100 个，6 月份生 产 144 个． 素 材 2 该厂生产的零件成本为 30 元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为 40 元/个时，月销售量为 600 个，若在此基础上售价每上涨 1 元，则月销售量将减少 10 个． 问题解决 的 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 任 务 1 求该车间 4 月份到 6 月份生产数量的平均增长率； 任 务 2 为使月销售利润达到 10000 元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 17. 如图，D是 ABC 的边 AC上的一点，连接BD，已知 ABD C∠ = ∠ ． （1）求证： ABD ACB∽△ △ （2）若 6AB = ， 4=AD ，求线段CD的长 18. 如图，在矩形 ABCD中， 13cm, 4cmAB AD= = ，点 E、F同时分别从 D、B两点出发，以1cm/s的 速度沿DC BA、 向终点 C、A运动，点 G、H分别为 AE CF、 的中点，设运动时间为 ( )st ． （1）求证：四边形EGFH 是平行四边形． （2）填空： ①当 t为______s 时，四边形 EGFH 菱形； ②当 t为_____s 时，四边形 EGFH 是矩形． 19. 如图，已知平行四边形 ABCD，AB x∥ 轴， 6AB = ，点 A的坐标为 ( )1 4−， ，点 D的坐标为 ( )3 4− ， ， 点 B在第四象限，点 P是平行四边形 ABCD边上的一个动点． （1）点 B的坐标为_________；点 C的坐标为________； 是 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 （2）点 G是 AD与 y轴的交点，求点 G的坐标； （3）若点 P在 AD上，点 P关于坐标轴对称的点 Q落在直线 1y x= − 上，求点 P的坐标； （4）若点 P在折线D A B− − 上，过点 P作 y轴的平行线PM ，过点G作 x轴的平行线GM ，它们交于 点M ，将 PGM△ 沿直线PG翻折，点M 的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点 P的坐标． 20. 如图，在菱形 ABCD中，点 P为对角线 AC上的动点，连接DP，将DP绕点D按逆时针方向旋转至 DQ，使 QDP CDA∠ = ∠ ， PQ与CD交于点E． （1）请在图中找出与 APD△ 相似的三角形是___________；（在不添加任何辅助线条件下） （2）已知 5AD = ， 8AC = ， ①当DP AD⊥ 时，求 PEC 的面积； ②连接CQ，当 EQC 为直角三角形时，求 AP的长； ③当DC将 DPQ 分成的两部分的面积之比为1: 2时，请直接写出 AP值． 第1页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 九年级（上）月考数学试卷（10月份）答案 一、选择题： 1. 【答案】C 解： 3 2 x y = ， ∴设 3x k= ， 2y k= ， 3 2 5 5 2 2 2 x y k k k y k k + + ∴ = = = ， 故选：C． 2. 【答案】C 解： 2 6 5 0x x− + = ， 移项后得： 2 6 5x x− = − 配方得： 2 6 9 5 9x x− + = − + ， ( )23 4− =x ， 故选：C． 3.【答案】D 解：A、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等； B、不正确，菱形的对角线不相等； C、不正确，矩形的对角线不垂直； D、正确，三者均具有此性质； 故选 D． 4. 【答案】D 解：过点 A作平行横线的垂线，交点 B所在的平行横线于 D，交点 C所在平行横线于 E， 第2页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 AB AD AC AE ∴ = ， 五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， 2 3 AD AE ∴ = ， 2 15 3 2 AB ∴ = ， 解得 5AB = ， 故选：D． 5. 【答案】D 解：关于 x的一元二次方程 2 2 1 0mx x+ − = 有两个不相等的实数根， 0m∴ ≠ 且 0∆ > ，即 ( )22 4 1 0m− × − > ， 解得 1m > − ， m∴ 的取值范围为 1m > − 且 0m ≠ ． ∴当 1m > − 且 0m ≠ 时，关于 x的一元二次方程 2 2 1 0mx x+ − = 有两个不相等的实数根． 故选：D． 6. 【答案】A 解： 1 16 ABC DEF S S =   ， ∴ 1 1 16 4 AB DE = = ， 故选 A． 7. 【答案】B 解：设停车场内车道的宽度为 mx ， 将两个停车位合在一起，则长为 ( )40 mx− ，宽为 ( )22 mx− ， 因此 (40 )(22 ) 520x x− − = ， 故选 B． 8. 【答案】C 解：连接 AC，交BD于点 O； 第3页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 ∵在矩形 ABCD中， 6AB CD= = ， 8BC = ， 90BAD∠ = ° ∴ 2 2 2 26 8 10AC BD AB AD= = + = + = ， 5OA OB OC OD= = = = ， ∴ ABD BAC∠ = ∠ ， ∵ EAF ABD∠ = ∠ ， ∴ BAC EAF∠ = ∠ ，即 BAE EAC CAF CAE∠ +∠ = ∠ +∠ ， ∴ BAE CAF∠ = ∠ ∵ AB CD∥ ， ∴ ACF BAC ABD∠ = ∠ = ∠ ， ∴ ABE ACF ∽ ， ∴ AB BE AC CF = ，即 6 3 10 CF = ， ∴ 5CF = ， 1DF CD CF= − = ， ∵ AB CD∥ ， ∴ ABG FDG ∽ ， ∴ AB BG FD DG = ，即 6 10 1 DG DG − = ， ∴ 10 7 DG = ， 故选 C． 二、填空题： 9. 【答案】3 解：将 1x = 代入方程 2 4 0x x a− + = ，得 1 4 0a− + = 解得： 3a = 故答案为：3． 10. 【答案】8 解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为2 4 8× = ， 故答案为：8． 第4页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 11. 【答案】 4− 解：∵m是方程 2 4 1 0x x − =+ 的一个根， ∴ 2 4 1m m+ = ( 5)( 1)m m+ − 2 5 5m m m= − + − 2 4 5m m= + − 1 5= − 4= − ， 故答案为： 4− ． 12. 【答案】 25 8 解：∵ 90MOB A∠ = ∠ = °， ABE∠ 是公共角， ∴ BOM BAE ∽ ， ∴ : :OM AE BO BA= ， ∵ 4AB = ， 3AE = ， ∴ 2 2 5BE AB AE= + = ， ∵MN垂直平分 BE， ∴ 1 5 2 2 OB BE= = ， ∴ 5: 3 : 4 2 OM = ， ∴ 15 8 OM = ， ∵四边形 ABCD为正方形， ∴ AB AD AB CD= ， ∥ ， 作MF CD⊥ 于点 F， 第5页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 则四边形 AMFD为矩形， ∴ 90MFD MFN∠ = ∠ = °， ∴ AD MF= ， ∴ AB MF= ， ∵ BE的垂直平分线交 AB于点 M，交CD于点 N， ∴ 90 90MFN BAE FMN BMO BMO MBO∠ = ∠ = ° ∠ +∠ = ∠ +∠ = °， ， ∴ FMN MBO∠ = ∠ ， 在 ABE 和 FMN 中， A MFN AB MF ABO FMN ∠ = ∠  = ∠ = ∠ ， ∴ ( )ASAABE FMN ≌ ， ∴ 5NM BE= = ， ∴ 25 8 ON MN MO= − = ． 故答案为： 25 8 ． 13. 【答案】 10 3 ## 13 3 解：取 AB的中点H ，连接CH ，过点 B作 AE的垂线，垂足为点G，如图， ∵ 90ACB∠ = °， 2 3AC = ， 6CB = ， ∴ 2 2 4 3AB AC CB= + = ， ∵D为 AC中点， ∴ 1 3 2 CD AC= = ， ∴ 2 2 39BD CD BC= + = ， 第6页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 1 2 3 2 CH AH AB AC= = = = ， ∴ ACH 是等边三角形， ∴ 60CAB∠ = °， ∴ 30 1 3CBA∠ = ° = ∠ +∠ ， ∵ 30AFD∠ = °， ∴ 2 3 30∠ +∠ = °， ∴ 1 2∠ = ∠ ， ∵ 90DCB BGA∠ = ∠ = °， ∴ DCB BGA∽△ △ ， ∴ CD BD BG AB = ，即 3 39 4 3BG = ， 解得 4 39 13 BG = ， 设CE x= ， 6BE x= − ， 2 2 212AE AC CE x= + = + ， ∵ AEC BEG∠ = ∠ ， 90ACE BGE∠ = ∠ = °， ∴ AEC BEG∽△ △ ， ∴ AC AE BG BE = ，即 22 3 12 64 39 13 x x + = − ， 整理得 23 52 140 0x x− + = ， 解得 10 3 x = 或 14x = ， 经检验 10 3 x = 或 14x = 都是原方程的解，但 14x = 不符合题意，舍去， ∴ 10 3 CE = ， 故答案为： 10 3 ． 三、解答题： 14. 【答案】（1） 1 2 2 14 2 14 2 2 x x− + − −= =， ；（2） 12 16 20a b c= = =， ， 第7页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：（1）∵ 22 4 5 0x x+ − = ， ∴ 2 4 5a b c= = = −， ， ， ∴ ( )24 4 2 5 56 0∆ = − × × − = > ， ∴ 2 4 4 2 14 2 4 b b acx a − ± − − ± = = ， 解得 1 2 2 14 2 14 2 2 x x− + − −= =， ； （2）设 ( )3 4 5 0a k b k c k k= = = >， ， ， ∵ 48a b c+ + = ， ∴3 4 5 48k k k+ + = ， ∴ 4k = ， ∴ 12 16 20a b c= = =， ， ． 15. 【详解】解：如图(1)所示， DEF 即为所求； ∵ 1AB = ， 2 21 1 2BC = + = ， 2 21 2 5AC = + = ， 2DE = ， 2 22 2 2 2EF = + = ， 2 22 4 2 5DF = + = ， ∴ 2DE DF EF AB AC BC = = = ， ∴ DEF ABC∽△ △ ， ∴ DEF 即为所求； 如图(2)所示， DEF 即为所求； ∵ 1AB = ， 2 21 1 2BC = + = ， 2 21 2 5AC = + = ， 2 21 1 2DE = + = ， 2EF = ， 2 21 3 10DF = + = ， 第8页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2DE DF EF AB AC BC = = = ， ∴ DEF ABC∽△ △ ， ∴ DEF 即为所求． 16.解：（1）设车间 4 月份到 6 月份生产数量的平均增长率 x， 由题意得 2100(1 ) 144x+ = ， 解得 0.2 20%x = = 或 2.2x = − （舍去）． 答：该车间 4 月份到 6 月份生产数量的平均增长率20% ； （2）设该零件的实际售价 m元， 由题意得 ( ) ( )30 600 10 40 10000m m − − − =  ， 整理得 2 130 4000 0m m− + = ， 解得 50m = 或 80m = ． ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴ 50m = ． 答：该零件的实际售价应定为 50 元． 17. 【小问 1 详解】 BAD CAB∠ = ∠ ， ABD ACB∠ = ∠ ， ABD ACB∴ ∽ ； 【小问 2 详解】 ABD ACB∽ ， AB AC AD AB ∴ = ， 得 6 4 6 AC = ， 解得 9AC = ， 5AD AC AD∴ = − = ， 即 5CD = ． 18. 【小问 1 详解】 证明：∵四边形 ABCD是矩形， 90D B∴∠ =∠ = °， 第9页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 AD CB= ， ∵点 E、F同时分别从 D，B两点出发，以1cm/s的速度沿DC BA、 向终点 C、A运动， DE BF∴ = ， 在 ADE 和 CBF 中， AD CB D B DE BF = ∠ = ∠  = ， ( )ADE CBF SAS∴ ≌ ， ∴ AE CF= ， DEA EAF CFB∠ = ∠ = ∠ ， 点 G、H分别为 AE CF、 的中点， GE HF∴  ，且GE HF= ， ∴四边形EGFH 平行四边形； 【小问 2 详解】 解：①连接EF， ∵四边形EGFH 是菱形，点 G是 AE的中点， ∴ 1= = = 2 FG GE GA AE， ∴ EF AB⊥ ， ∴DE AF= ， ∴ 13t t= − ， ∴ 13 2 t = ， 故答案为： 13 2 ； ②∵四边形EGFH 是矩形， ∴ 90D EHC AEH∠ = ∠ = ∠ = °， ∴ 90AED HEC ECH HEC∠ +∠ = ∠ +∠ = °， ∴ AED ECH∠ = ∠ ， ∴ ADE EHC ∽ ， ∴ AE DE EC CH = ， 是 第10页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 2 2 2 4 113 4 2 t t t t + = − + ， 解得 1 = 8t ， 2 2= 3t ， 故答案为：8 或 2 3 ． 19. 【答案】（1） ( )7, 4− ，(3,4) （2） ( )0, 2− （3） ( )3,4− 或 ( )1,0− （4） ( )2, 4− 或 5 ,3 2  −    【解析】 【小问 1 详解】 解：∵ AB x∥ 轴， 6AB = ，点 A的坐标为 ( )1, 4− ， ∴ ( )7, 4B − ， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ 6CD AB AB CD x= = ， ∥ ∥ 轴， ∵D的坐标为 ( )3,4− ， ∴ ( )3,4C ， 故答案为： ( )7, 4− ，(3,4)； 【小问 2 详解】 解：设直线 AD的解析式为 y kx b= + ， 把 ( )1, 4A − ， ( )3,4D − 带入 y kx b= + 中得 4 4 3 k b k b − = +  = − + ， 解得 2 2 k b = −  = − ， 第11页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 ∴直线𝐴𝐴𝐴𝐴的解析式为 2 2y x= − − ， 在 2 2y x= − − 中，当 0x = 时， 2y = − ， ∴点 G的坐标为 ( )0, 2− ； 【小问 3 详解】 解：设 ( ), 2 2P a a− − ，且 3 1a− ≤ ≤ ， 若点 P关于 x轴的对称点 ( )1 , 2 2Q a a + 在直线 1y x= − 上， ∴ 2 2 1a a+ = − ， 解得 3a = − ， 此时 ( )3, 4P − ． 若点 P关于 y轴的对称点 ( )2 , 2 2Q a a− − − 在直线 1y x= − 上时， ∴ 2 2 1a a− − = − ，解得 1a = − ， 此时 ( )1,0P − 综上所述，点 P的坐标为 ( )3,4− 或 ( )1,0− ． 【小问 4 详解】 解：当点 P在 AB上时，如解图 1 由折叠的性质可得 MGP MGP′=∠ ，GM GM PM PM′ ′= =， ， ∵GM x∥ 轴，PM y∥ 轴， ∴ 90MGM ′ = °∠ ， 90M∠ = °， ∴ 45MGP MGP′= = °∠ ， ∴ GMP△ 是等腰直角三角形， ∴GM PM GM PM′ ′= = = ， 第12页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 ∴四边形GM PM′ 是正方形， ∴GM PM′ ′⊥ ，即PM x′∥ 轴， ∴M A B′、 、 三点共线， ∴ ( )2 4 2PM GM= = − − −′ =′ ， ∴ ( )2, 4P − ． 当点 P在DA上时，设直线𝐴𝐴𝐴𝐴的解析式为 2 2y x= − − 与 x轴交点为K，则 ( )1,0K − ， 如解图 2，点M ′落在 x轴上， 由折叠 性质可得GM GM ′= ， MKG MKG′= ∠∠ ， ∵GM x∥ 轴， ∴ MGK MKG′=∠ ∠ ∴ MGK MKG∠ =∠ ， ∴GM KM= ， 设点 ( ), 2M a − 且 3 0a− ≤ < ，则 ( ), 2 2P a a− − ， ∵ ( )0, 2G − ， ( )1,0K − ， ∴ 2 2 2 22 ( 1 ) ( )KM a a= + − − = − ， 解得： 5 2 a = − ， ∴点 5 ,3 2 P  −    综上所述：点 P的坐标 ( )2, 4− 或 5 ,3 2  −    的 第13页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 20. 【答案】（1） PEC DPA△ ∽△ （2）① 147 128PEC S =△ ；② AP 值等于 4 或 7 4 ；③ AP的值等于 8 3 或 16 3 ． 【解析】 【小问 1 详解】 证明：在菱形 ABCD中，DA DC= ， ∴ DAC DCA∠ = ∠ ． ∵DP DQ= ， ∴ DPQ DQP∠ = ∠ ， ∵ QDP CDA∠ = ∠ ， ∴180 2 180 2DPQ DAC° − ∠ = °− ∠ ， ∴ DPQ DAC∠ = ∠ ， ∵ 180QPC DPQ DPA∠ = ° −∠ −∠ ， 180ADP DAP DPA∠ = ° −∠ −∠ ， ∴ EPC ADP∠ = ∠ ． ∵ DAC DCA∠ = ∠ ， ∴ PEC DPA△ ∽△ ； 【小问 2 详解】 解：①如图 2，连接BD，在菱形 ABCD中，BD与 AC互相垂直平分， ∴ 1 4 2 AO CO AC= = = ， ∵ 2 2 2+DO AO AD= ∴ 3DO = ， 的 第14页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 ∵DP AD⊥ ， ∴ ADP AOD△ ∽△ ， ∴ D AO AO P AD AP AD DO AD = =， ， 得 15 25 4 4 DP AP= =， ， ∴ 1 15 75 25 75 8 2 4 8 4 4ADP S CP= × × = = − =△ ， ． ∵ PEC DPA△ ∽△ ， ∴ 2 PEC DPA S CP S AD  =       ， ∴ 275 7 147 8 20 128PEC S  = × =     ； ②如下图所示, 当 90QEC∠ = °时， 90QEC PEC∠ = ° = ∠ ， ∵ PDQ ADC∠ = ∠ ， ∴ QDC PDA∠ = ∠ ， ∵QD PD CD AD= =， ， ∴ CQD APD△ ≌△ ， ∴CQ AP QCD DAC DCA= ∠ = ∠ = ∠， ， ∵ QCD PCD CE CE∠ = ∠ =， ， 90QEC PEC∠ = ° = ∠ ， ∴ CQE CPE△ ≌△ ， ∴CQ CP= ． ∵CQ AP= 第15页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 1 1 8 4 2 2 AP CP AC= = = × = ． 如下图所示，当 90EQC∠ = °时，延长DP交 AB于 H， 设 AP x= ，则 8CQ x CP x= = −， ． ∵ APH ABO△ ∽△ ∴ 4 5 AH x= ． ∵ PQC DHA CPQ ADH∠ = ∠ ∠ = ∠， ∴ PCQ DAH△ ∽△ ， ∴ PC CQ AD AH = ∴ 8 45 5 x x x − = 解得 7 4 x = ∵DQ DP DC= < 当 90ECQ∠ = °时DQ DC> ∴ 90ECQ∠ = °的情况不存在 综上所述， AP的值等于 4 或 7 4 ； ③∵ AD CD= ， PD QD= ， ADC PDQ∠ = ∠ ， ∴ DCA Q∠ = ∠ ， ∴ DAC DPQ∽△ △ ， 第16页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ PQ DP AC AD = ， ∵ DCA Q DAP∠ = ∠ = ∠ ， QDE PDQ PDE ADC PDE PDA∠ = ∠ −∠ = ∠ −∠ = ∠ ， ∴ DEQ DPA∽△ △ ， ∴ QE DQ AP AD = ，即 QE DP AP AD = ， ∴ QE QP AP AC = ， 当 2DEP DEQS S=△ △ 时， 1 3 QE PQ= ， ∴ 1 8 3 3 AP AC= = ； 当 1 2DEP DEQ S S=△ △ 时， 2 3 QE PQ= ， ∴ 2 16 3 3 AP AC= = ； 综上所述， AP的值等于 8 3 或 16 3 ．