14.2.2 完全平方公式 课件 2024--2025学年人教版八年级数学上册

第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式 14.2.2 完全平方公式 学习目标 3.能够灵活应用完全平方公式进行相关计算.（难点） 1.理解并掌握完全平方公式 2.掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何意义.（重点） 复习回顾 1.合并同类项：ab+ba＝　　　； 2xy-5xy+xy＝　　　　. 2.多项式乘多项式： (a+b)(m+n)＝　　　　　　　. 3.根据乘方的定义，我们知道：a2＝a·a，那么(a+b)2 可以写成怎样的形式呢？ (a+b)2＝　　　　　　. 2ab -2xy am+an+bm+bn (a+b)(a+b) 小明在网上订购了两个半径分别为a和b的两个披萨，不久后店员告知售罄，小明又说换成半径为（a+b）的大披萨，但是却被店员拒绝了，这是为什么呢？（披萨近似看成圆） 大披萨面积：S = . 小披萨面积之和：S = . 情境引入 (1) ( p + 1 )2 = = . 探究 1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (2) ( m + 2 )2 = = . p2 + p + p + 12 m2 + 2m + 2m + 22 两数的___的平方 和 两数____的和， 平方 加上它们积的__倍 2 p2 + 2p + 1 m2 + 4m + 4 探究新知 总结猜想 规律：两个数的和的平方，等于这两个数平方的和，加上它们的积的2倍. 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ ∵(a＋b)2 = (a＋b)(a＋b) = a2＋2ab＋b2. = a2 ＋ ab ＋ ab ＋ b2 ∴上述结果仍成立. 思路一： 你能用几何的形式证明公式成立吗? a a b 思路二： b b a a b 合作探究 合作探究 a a b b b a a b 问题2：怎样从几何角度求去探究验证边长为 (a + b) 的正方形的面积呢？ a2 ab a a b b b2 ab 合作探究 整体求：总面积 部分求：面积和 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 问题2：怎样从几何角度求去探究验证边长为 (a + b) 的正方形的面积呢？ 【例】 运用完全平方公式计算： (1) (4m + n)2； 学以致用 2、运用完全平方公式计算： (1) ( x + 6 )2 解：原式= x2+2·x·6+62 = x2+12x+36 针对训练 (3) ( p－ 1 )2 = ( p － 1 )( p －1 ) = . p2 － 2p + 1 (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2 ) = . m2－4m + 4 探究 2：结合探究1填空，你能总结出规律并验证吗？ 规律：两个数的差的平方，等于这两个数平方的和，减去它们的积的2 倍. 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ 探究新知 (a－b)2 = (a－b)(a－b) = a2－2ab+b2. = a2 － ab － ab + b2 思路一： 几何方法验证(a－b)2 = a2－2ab+b2 的成立 思路三： 思路二： (a－b)2 = [a+(－b)]2 = a2+2·a·(－b)+(－b)2 = a2－2ab+b2. 探究新知 (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 1.整体求：总面积 = (a − b)2. 2.部分求： 面积差 = a2 − ab − b(a−b) = a2 − ab − ab + b2. a−b a a b b a−b ab (a − b)2 b(a−b) 合作探讨 问题2：怎样从几何角度求去探究验证边长为 (a − b) 的正方形的面积？ 解： = y2 - 2 · y · + ( )2 = y2 - y + (a - b)2 = a2 - 2 · a · b + b2 (2) . 学以致用 【例】 运用完全平方公式计算： (2) ( y - 5 )2 针对训练 解：原式= y2-2·y·5+52 = y2-10y+25 (a＋b)2=a2＋2ab＋b2，（a－b）2=a2－2ab＋b2. 可以合写成 (a ± b)2 = a2 ± 2ab ＋ b2 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. (口诀：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”) (首项±尾项)2 = 首平方 +尾平方 ± 积的2倍 新知梳理 学以致用 1.想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确,应当怎样改正？ (1)(a + b)2 =a2 + b2 (2)(x-y)2=x2-y2 (4)(2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 (3)(x+y)2 =x+2xy +y 分组PK： 【A组】 【B组】 (1) ( a + 3 )2 (1)(2x－5)2 (2) (－a－3)2 (2)(－2x + 5)2 针对训练 归纳总结： 通过上面计算大家发现 (a + b)2 (－a－b)2 、 (a－b)2 (－a + b)2 = = 完全平方公式(a ± b)2 = a2 ±2ab ＋b2 (口诀：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”) 课堂小结 公式特征： 左边是两数和（或差）的平方； 右边是两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍 (1) 1022； 解：原式 = (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404. (2) 992. 解：原式 = (100 – 1)2 = 10000 - 200 + 1 = 9801. 1.运用完全平方公式计算： 拓展应用 2、先化简，再求值：(2a＋1)2－4a(a－1)，其中a＝ 拓展应用 试一试： 已知x－y＝6，xy＝8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x＋y)2的值. 勇攀高峰 感 谢 聆 听！ $$