北京市第五十五中学2024～2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

北京市第五十五中学2024－2025学年度第一学期 期中调研试卷 初三数学 本试卷共8页，共100分，调研时长120分钟 第一部分（选择题 共16分） 一、单选题（共16分，每题2分） 1. 2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 4. 如图，将绕点逆时针方向旋转得，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（ ） A. 1 B. C. D. 4 6. 小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的y与x 的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在 2 与 3 之间 8. 如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ） A. 3 B. C. D. 2 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 10. 已知关于x的一元二次方程的一个根是1，则a的值为______． 11. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件100件，第三天揽件144件．设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，可列方程为__________． 12. 若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是__________．（结果保留π） 13. 将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线解析式为______． 14. 若点，都在抛物线上，请将按从小到大的顺序用“”连接：______． 15. 如图，是的内接四边形，为直径，，则的度数为_____． 图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． 16. （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为______； 17. （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度______． 三、解答题（共68分，17题6分，18－24题每题5分，25题6分，26－28题每题7分） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，5)，B(1，1)，C(4，3)． （1）画出ABC关于原点O成中心对称的图形A1B1C1． （2）求A1B1C1的面积． 20. 已知二次函数的图象经过点和． （1）求此函数解析式； （2）求出该抛物线顶点C的坐标，并求出 的面积． 21. 已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 22. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： … 0 2 … … 5 … （1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，y的取值范围是 ． 24. 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：点A在上． 求作：直线PA和相切． 作法：如图， ①连接AO； ②以A为圆心，AO长为半径作弧，与的一个交点为B； ③连接BO； ④以B为圆心，BO长为半径作圆； ⑤作的直径OP； ⑥作直线PA． 所以直线PA就是所求作的的切线． 根据小亮设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：在中，连接BA． ∵，， ∴． ∴点A在上． ∵OP是的直径， ∴（______）（填推理的依据）． ∴． 又∵点A在上， ∴PA是的切线（______）（填推理的依据）． 25. 如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是圆O的切线； （2）若为等边三角形，，求圆半径的长． 26. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且与天头长的比为，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 27. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）抛物线上两点，，且，． ①当时，直接写出，的大小关系； ②若对于，都有，直接写出的取值范围． 28. 如图，在中，，，点E在射线上（不与点B，点C重合），点D为线段的中点，连接．将射线绕点A逆时针旋转得到射线，过点D作交射线于点F． （1）如图1，点E在线段上，求证：． （2）如图2，，点E在线段的延长线上，点D在线段上，连接，． ①依题意补全图形； ②写出线段与之间是数量关系，并证明． 29. 给出如下定义：在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形 上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形，之间的距离． 已知，在平面直角坐标系中，点 （1）若点 ①点到线段 的距离为 ，点 到以线段为直径的圆的距离为 ； ②当线段绕中点旋转时，则点到线段距离的取值范围为 ； ③以为边，在轴下方做矩形，其中平行轴，，当矩形绕着点旋转时，则点到矩形 的距离 的取值范围为 ； （2）当点在圆心，半径为的圆上运动时，求点到线段的距离的取值范围？ 北京市第五十五中学2024－2025学年度第一学期 期中调研试卷 初三数学 本试卷共8页，共100分，调研时长120分钟 第一部分（选择题 共16分） 一、单选题（共16分，每题2分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】2 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】##20度 【16~17题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（共68分，17题6分，18－24题每题5分，25题6分，26－28题每题7分） 【18题答案】 【答案】（1）， （2）， 【19题答案】 【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）5． 【20题答案】 【答案】（1） （2）2 【21题答案】 【答案】（1） 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2） 【22题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； （2） 【23题答案】 【答案】（1）， （2） 【24题答案】 【答案】（1） 补全的图形如图所示； （2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【25题答案】 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）2 【26题答案】 【答案】 【27题答案】 【答案】（1）对称轴为直线 （2）①；② 或 【28题答案】 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） ①如图所示， ②，证明如下： 过点作于点G，过点F作于点H，则， ∴， ∵，则，， ∴，即：是等腰直角三角形， ∴， 又∵，则， ∴是等腰直角三角形，则，， ∴， ∴， ∴，，则 ∵是的中点， ∴，则， ∴， 又∵，即：， ∴， ∴， 由勾股定理可得：，即：， ∴． 【29题答案】 【答案】（1）①，；②；③； （2）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $