第25章 概率初步 单元训练卷2024～2025学年人教版数学九年级上册

2024~2025学年度第一学期人教版九年级数学 第25章（概率初步）单元训练卷（含答案） 一．选择题（共10小题） 1．下列成语描述的事件为随机事件的是　　 A．守株待兔 B．种豆得豆 C．水中捞月 D．水涨船高 2．下列事件是必然事件的是　　 A．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 B．打开电视机正在播放广告 C．任意一个一元二次方程都有实数根 D．明年元旦是晴天 3．象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为　　 A． B． C． D． 4．一个布袋中装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是白球的概率是　　 A． B． C． D． 5．物理某一实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，，为能正常发光的灯泡．任意闭合开关，，中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为　　 A． B． C． D． 6．某人做抛硬币实验，连续抛了9次都是正面向上，当她抛第10次时，抛得反面向上是　　 A．确定性事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．必然事件 7．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球　　 A．24个 B．20个 C．25个 D．30个 8．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为　　 A． B． C． D． 9．圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是　　 A． B． C． D． 10．据《史记》记载，战国时期，齐威王和他的大臣田忌赛马，齐威王和田忌各有上，中，下三匹马，约定每匹马只能出战一次，三局两胜．记齐威王的三匹马分别为，，，田忌的三匹马分别为，，，已知马的速度，若齐威王的马按，，的顺序出战，田忌的马随机出战，则田忌获胜的概率为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 11．不透明袋子中装有5个黄球、4个黑球和3个红球，这些球除颜色外无其它差别，小明从袋子中随机取出1个小球，则它是红球的概率是 　　． 12．在4张分别写有，0，3.14，的卡片中随机抽取一张，抽到无理数的概率是　　． 13．从初中数学6本书中随机抽取1本，则抽到的那本为九年级的概率为 　　． 14．为了准备学校艺术节展示活动，需要从3名男生和2名女生中随机抽取2名学生做主持人，抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 　　． 15．如图所示的是一个电路图，当随机闭合开关，，中的两个时，小灯泡发光的概率为 　　． 16．某篮球运动员在同一条件下进行投篮训练，结果如下表： 投篮总次数 10 20 50 100 200 500 1000 投中次数 8 18 42 86 169 424 854 投中的频率 0.8 0.9 0.84 0.86 0.845 0.848 0.854 根据上表，该运动员投中的概率大约是 　　（结果精确到． 17．如图，是一块草坪，其中，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟随机落在这块草坪上，则小鸟落在阴影部分的概率为 　　． 18．“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指．指南针、．造纸术、．火药和．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“印刷术”的概率为 　　． 三．解答题（共6小题） 19．为迎接2024年“五一”国际劳动节，某市总工会组织了以“中国梦，劳动美”为主题的演讲比赛．某校两位语文老师小张和小李都想参加比赛，但每校只有一个参赛名额．该校工会主席准备了如图所示的写有“社会主义核心价值观”的12张卡片，这些卡片的背面完全相同，将这些卡片背面朝上洗匀，随机从中摸出一张卡片，若摸到的卡片属于国家层面，则小张去；若摸到的卡片属于社会层面，则小李去．请你判断该校工会主席的做法对小张和小李是否公平，并说明理由． 20．数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是 　　 （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 21．有两个可以自由转动的均匀转盘、，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘与． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为0，王扬获胜；否则刘非获胜． （1）用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； （2）你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 22．据说扑克牌是由唐代天文学家张遂发明，最初称为“叶子戏”，是文字游戏发展而来的．下面请你尝试用数学知识解答下面的问题：把一幅普通扑克牌中的5张：梅花3，红心3，梅花5，黑桃6，方片7，洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）从中随机抽取一张牌是梅花的概率是 　　． （2）小明从5张牌中任意抽取两张．请用树状图或列表的方法求抽取的两张牌牌面数字之和为奇数的概率． 23．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求盒子中黑球的个数； （2）从中任意摸出一个球，摸出 　　球的概率最小； （3）能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． 24．某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．如表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到 转动转盘的次数 50 100 150 200 500 800 1000 2000 落在“减免20元券”区域的次数 19 39 55 81 318 403 800 落在“减免20元券”区域的频率为 0.390 0.367 0.405 0.39■ 0.398 0.403 0.400 请根据表格完成以下问题： （1）　　； （2）表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计的值是 　　（填写一个值）； （3）落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？ （4）请估计落在“减免20元券”区域的概率是 　　． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列成语描述的事件为随机事件的是　　 A．守株待兔 B．种豆得豆 C．水中捞月 D．水涨船高 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件；事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可． 【解答】解：守株待兔是随机事件，则符合题意； 种豆得豆是必然事件，则不符合题意； 水中捞月是不可能事件，则不符合题意； 水涨船高是必然事件，则不符合题意； 故选：． 2．下列事件是必然事件的是　　 A．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 B．打开电视机正在播放广告 C．任意一个一元二次方程都有实数根 D．明年元旦是晴天 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意； 、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意； 、任意一个一元二次方程都有实数根，是不可能事件，不符合题意； 、明年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意； 故选：． 3．象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为　　 A． B． C． D． 【分析】让“黑马”的总个数2除以棋子的总个数32即为所求的概率． 【解答】解：一幅中国象棋由红黑两色棋子共32个棋子组成，其中有2个“黑马”； 故从中随机摸出一枚棋子能摸到“黑马”的概率是． 故选：． 4．一个布袋中装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是白球的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意画树状图，然后求概率即可． 【解答】解：由题意画树状图如下； 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是白球共有4种等可能的结果， 两次摸出的球都是白球的概率是， 故选：． 5．物理某一实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，，为能正常发光的灯泡．任意闭合开关，，中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： 共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况， 能让两盏灯泡同时发光的概率为：． 故选：． 6．某人做抛硬币实验，连续抛了9次都是正面向上，当她抛第10次时，抛得反面向上是　　 A．确定性事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．必然事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【解答】解：某人做抛硬币实验，连续抛了9次都是正面向上，当她抛第10次时，可能是正面朝上，有可能反面向上，则反面向上是一件随机事件． 故选：． 7．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球　　 A．24个 B．20个 C．25个 D．30个 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解答】解：设有红球个， 根据题意得：， 解得：， 故选：． 8．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为　　 A． B． C． D． 【分析】根据在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”，进行计算即可得出答案． 【解答】解：在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”， 从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为， 故选：． 9．圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及其中至少有一幅是中国数学家的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记为甲、乙、丙、丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中其中至少有一幅是中国数学家的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙），共10种， 其中至少有一幅是中国数学家的概率为． 故选：． 10．据《史记》记载，战国时期，齐威王和他的大臣田忌赛马，齐威王和田忌各有上，中，下三匹马，约定每匹马只能出战一次，三局两胜．记齐威王的三匹马分别为，，，田忌的三匹马分别为，，，已知马的速度，若齐威王的马按，，的顺序出战，田忌的马随机出战，则田忌获胜的概率为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，列出表格，即可解答． 【解答】解：田忌的马所有可能的出战顺序如下： 田忌 ，， ，， ，， ，， ，， ，， 共有6种等可能情况，其中田忌获胜的有1种，即，，， 田忌获胜的概率为． 故选：． 二．填空题（共8小题） 11．不透明袋子中装有5个黄球、4个黑球和3个红球，这些球除颜色外无其它差别，小明从袋子中随机取出1个小球，则它是红球的概率是 　　． 【分析】由随机事件概率公式计算即可得出答案． 【解答】解：由题意可知：小明从袋子中随机取出1个小球，则它是红球的概率是， 故答案为：． 12．在4张分别写有，0，3.14，的卡片中随机抽取一张，抽到无理数的概率是　　． 【分析】直接利用无理数的定义结合概率求法得出答案． 【解答】解：个数字中，无理数是， 抽到无理数的概率是， 故答案为：． 13．从初中数学6本书中随机抽取1本，则抽到的那本为九年级的概率为 　　． 【分析】先得到九年级课本有2本，然后根据概率公式计算即可． 【解答】解：初中数学6本书中，九年级的数学书有2本， 抽到的那本为九年级的概率为， 故答案为：． 14．为了准备学校艺术节展示活动，需要从3名男生和2名女生中随机抽取2名学生做主持人，抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 　　． 【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有20种等可能的结果数，其中抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为12， 所以抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 故答案为． 15．如图所示的是一个电路图，当随机闭合开关，，中的两个时，小灯泡发光的概率为 　　． 【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图得： 共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合，，，，，，，， 能够让灯泡发光的概率为． 故答案为：． 16．某篮球运动员在同一条件下进行投篮训练，结果如下表： 投篮总次数 10 20 50 100 200 500 1000 投中次数 8 18 42 86 169 424 854 投中的频率 0.8 0.9 0.84 0.86 0.845 0.848 0.854 根据上表，该运动员投中的概率大约是 　0.85　（结果精确到． 【分析】利用频率估计概率结合表格中数据得出答案即可； 【解答】解：大量重复试验后投中的概率逐渐稳定到0.85左右， 所以去投篮一次，投中的概率大约是0.85， 故答案为：0.85． 17．如图，是一块草坪，其中，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟随机落在这块草坪上，则小鸟落在阴影部分的概率为 　　． 【分析】根据勾股定理得到，于是得到的内切圆半径，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论． 【解答】解：，，， ， 的内切圆半径， ，， 小鸟落在阴影部分的概率为． 故答案为：． 18．“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指．指南针、．造纸术、．火药和．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“印刷术”的概率为 　　． 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中小强和小刚两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“印刷术”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小强和小刚两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“印刷术”的结果有2种， 两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“印刷术”的概率为， 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 19．为迎接2024年“五一”国际劳动节，某市总工会组织了以“中国梦，劳动美”为主题的演讲比赛．某校两位语文老师小张和小李都想参加比赛，但每校只有一个参赛名额．该校工会主席准备了如图所示的写有“社会主义核心价值观”的12张卡片，这些卡片的背面完全相同，将这些卡片背面朝上洗匀，随机从中摸出一张卡片，若摸到的卡片属于国家层面，则小张去；若摸到的卡片属于社会层面，则小李去．请你判断该校工会主席的做法对小张和小李是否公平，并说明理由． 【分析】根据题意分别求出摸到的卡片属于国家层面的概率和摸到的卡片属于社会层面的概率，然后比较求解即可． 【解答】解：该校工会主席的做法对小张和小李公平． 理由：从写有“社会主义核心价值观”的12张卡片中随机摸出一张卡片，共有12种结果，每种结果出现的可能性相同， 其中出现国家层面的结果有4种，分别是“富强”、“民主”、“文明”、“和谐”， 出现社会层面的结果有4种，分别是“自由”、“平等”、“公正”、“法治”， ，， ， 该校工会主席的做法对小张和小李公平． 20．数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是 　　； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）共有4张卡片， 小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是， 故答案为：． （2）根据题意，画树状图如图， 由图可得，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的有6种， 抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为 21．有两个可以自由转动的均匀转盘、，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘与． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为0，王扬获胜；否则刘非获胜． （1）用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； （2）你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 【分析】（1）用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求解即可； （2）根据获胜概率的大小判断游戏规则不公平，新的游戏规则合理即可． 【解答】解：（1）列表如下： ╲ 0 0 0 0 2 2 1 0 3 3 2 共有12种等可能的结果，其中和为0的结果有3种， 王扬获胜的概率； （2）这个游戏对双方不公平，理由如下： 由（1）可知，王扬获胜的概率为，刘菲获胜的概率为，， 二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平， 新的游戏规则如下：①分别转动转盘与；②两个转盘停止转动后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；③如果和为，王扬获胜，和为2刘菲获胜． 22．据说扑克牌是由唐代天文学家张遂发明，最初称为“叶子戏”，是文字游戏发展而来的．下面请你尝试用数学知识解答下面的问题：把一幅普通扑克牌中的5张：梅花3，红心3，梅花5，黑桃6，方片7，洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）从中随机抽取一张牌是梅花的概率是 　　． （2）小明从5张牌中任意抽取两张．请用树状图或列表的方法求抽取的两张牌牌面数字之和为奇数的概率． 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到抽取的两张牌牌面数字之和为奇数的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：（1）一共有5张卡片，其中梅花卡片有2张且每张卡片被抽取的概率相同， 从中随机抽取一张牌是梅花的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由树状图可知，一共有20种等可能性的结果数，其中抽取的两张牌牌面数字之和为奇数的结果数有8种， 抽取的两张牌牌面数字之和为奇数的概率为． 23．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求盒子中黑球的个数； （2）从中任意摸出一个球，摸出 　红　球的概率最小； （3）能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． 【分析】（1）直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析得出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 【解答】解：（1）红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ， 故盒子中黑球的个数为：； （2）因为红球的数量最少，任意摸出一个球是红球的概率最小； 故答案为：红； （3）任意摸出一个球是红球的概率为， 可以将盒子中的黑球拿出5个． 24．某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．如表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到 转动转盘的次数 50 100 150 200 500 800 1000 2000 落在“减免20元券”区域的次数 19 39 55 81 318 403 800 落在“减免20元券”区域的频率为 0.390 0.367 0.405 0.39■ 0.398 0.403 0.400 请根据表格完成以下问题： （1）　0.380　； （2）表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计的值是 　　（填写一个值）； （3）落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？ （4）请估计落在“减免20元券”区域的概率是 　　． 【分析】（1）根据频率频数总数，计算即可得出答案； （2）由频数乘以频率即可得到答案； （3）利用频率估计概率求解即可． （4）由稳定的频率可得概率 【解答】解：（1）； （2）； （3）落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在0.40附近； （4）估计落在“减免20元券”区域的概率是0.40． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/3 22:53:29；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$