精品解析：吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第三中学2024-2025学年 上学期八年级数学期中检测试卷

前郭三中2024—2025学年度上学期八年级数学期中检试题 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾顺次连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A. 4，6，10 B. 3，5，9 C. 5，7，9 D. 1，6，8 3. 如图所示，在中，，平分，交于点D，，，DE⊥AB，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，点，分别在直线，上，连接，若为等边三角形，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，和关于直线1对称，下列结论：①；②；③垂直平分；④直线和的交点不一定在上．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_________． 8. 如图是西宁市某公园一段索道的示意图，已知、两点间的距离为30米，，则缆车从点到点过程中，上升的高度（的长）为_________米． 9. 如图，点在同一直线上，，要使，则只需添加一个适当的条件是_________（添加一个即可）． 10. 在中，，当_________度时，是等腰三角形． 11. 如图，五边形是轴对称图形，直线是对称轴，已知四边形的周长为11，，则五边形的周长为_________． 12. 将两个完全相同的正五边形按如图方式摆放，点在一条直线上，则_________度． 13. 如图，点C在上，，，，则的度数是_____． 14. 如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，，则直线与直线相交构成的锐角为_________度． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 一个多边形的内角和比它的外角和的倍少，这个多边形的边数是多少？ 16. 如图，已知，，，求证：． 17. 如图，在中，，垂直平分，的角平分线交于内一点P，连接．若，求的度数． 18. 如图，线段相交于点经过适当平移至的位置，连接、，当时，求证：是等边三角形． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在中，为边上一点，，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 20. 如图，∠A＝∠B＝90°，E是线段AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2 ． （1）求证：≌； （2）若CD＝10，求的面积． 21. 已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D． （1）如图1，若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数； （2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF． 22. 在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． （1）请你画出关于轴的对称图形，并写出顶点的坐标； （2）的面积为______； （3）请你在轴上找到一点，使得最小． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，边交于点． （1）如图①，求证：； （2）如图②，延长交于点，连接，请直接写出图②中的所有全等三角形． 24. （1）如图1，是等边三角形，点D、E分别在和的延长线上，且，当的度数确定时，的度数也随之确定． ①若，则 度； ②求证：； （2）如图2，是等边三角形，P是内一点，且，延长交于点D，延长交于点E，求证：． 六、解答题（每小题．10分，共20分） 25. 已知，D、A、E三点均在直线上，且． （1）如图①，若，则线段的长为_________； （2）如图②，判断之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，若将题中的“”变为“”，其他条件不变，且，请直接写出的长． 26. 如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线沿向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于，于．设点的运动时间为 （1）用含的代数式表示的长． （2）当点在边上时，求证：． （3）连结，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出值． （4）当与全等时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前郭三中2024—2025学年度上学期八年级数学期中检试题 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选：A． 2. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾顺次连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A. 4，6，10 B. 3，5，9 C. 5，7，9 D. 1，6，8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三条边的关系计算即可． 【详解】解：A．，故不能摆成三角形； B．，故不能摆成三角形； C．，故能摆成三角形； D．，故不能摆成三角形； 故选：C． 3. 如图所示，在中，，平分，交于点D，，，DE⊥AB，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的和差即可求得DC，再根据角平分线的性质即可得出DE=DC． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，平分，DE⊥AB， ∴DE=DC=6cm． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质．角平分线上的点到角两边距离相等． 4. 如图，，点，分别在直线，上，连接，若为等边三角形，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，由对顶角得到，根据平行线的性质即可得到的度数. 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 如图，和关于直线1对称，下列结论：①；②；③垂直平分；④直线和的交点不一定在上．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质求解． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴（1），正确． （2），正确． （3）直线l垂直平分，正确． （4）直线和的交点一定在直线l上，错误． 故选：B． 6. 某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，所以当增加时，和各增加，当增加时，减小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当增加时，和各增加， ∵， ∴当增加时，减小， 故选：D ． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题关键． 关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数． 根据关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数求解即可． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 8. 如图是西宁市某公园一段索道的示意图，已知、两点间的距离为30米，，则缆车从点到点过程中，上升的高度（的长）为_________米． 【答案】15 【解析】 【分析】本题含的直角三角形，根据含的直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半进行求解是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，米， 米， 故答案为：15． 9. 如图，点在同一直线上，，要使，则只需添加一个适当的条件是_________（添加一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．根据，推出，结合，则添加利用即可证明；或利用即可证明；或利用即可证明；选择一种即可． 【详解】解：添加， ， ， ，， ， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 在中，，当_________度时，是等腰三角形． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟知等角对等边是解题的关键． 【详解】解：在中，，是等腰三角形， 当为顶角时，则； 当为底角时，则，不存在这种情况； ∴当度时，是等腰三角形， 故答案为：． 11. 如图，五边形是轴对称图形，直线是对称轴，已知四边形的周长为11，，则五边形的周长为_________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据关于对称轴对称的对应线段相等，可得四边形的周长为11，再根据，由五边形的周长等于四边形的周长加上四边形的周长再减去计算即可得到结果． 【详解】解：五边形是轴对称图形，直线是对称轴，四边形的周长为11， 四边形的周长为11， ， 五边形的周长为 故答案为：． 12. 将两个完全相同的正五边形按如图方式摆放，点在一条直线上，则_________度． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，先根据多边形的内角和公式求出正五边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，进而可得答案． 【详解】解：∵在正五边形和正五边形中，， 点在一条直线上， ， 故答案为：． 13. 如图，点C在上，，，，则的度数是_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】由证出，得，再由三角形内角和定理即可推出结果． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14. 如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，，则直线与直线相交构成的锐角为_________度． 【答案】15 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形和等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理， 延长，交于点E，根据题意得到，，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图，延长，交于点E， ∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴直线与直线的夹角为． 故答案为：15． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 一个多边形的内角和比它的外角和的倍少，这个多边形的边数是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理和外角和性质；设这个多边形的边数为，然后根据多边形内角和定理、外角和性质以及题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得： ， 解得：． ∴该多边形的边数为． 16. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定．由易得，然后问题可求证． 【详解】略 17. 如图，在中，，垂直平分，的角平分线交于内一点P，连接．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的运用，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质，可得∠，根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，线段相交于点经过适当平移至的位置，连接、，当时，求证：是等边三角形． 【答案】 证明：根据平移前后对应线段平行且相等， ，， ， ， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质和等边三角形的判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得，，进而得到，再证明，即可得证． 【详解】略 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在中，为边上一点，，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用三角形内角和定理和等边对等角性质进行计算． （1）首先根据得到，由，进而得到，即可证明出是等腰三角形； （2）先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出，，由即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：由（1）知是等腰三角形， ∵， ∴， ， ∴， ∴． 20. 如图，∠A＝∠B＝90°，E是线段AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2 ． （1）求证：≌； （2）若CD＝10，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵∠A＝∠B＝90°， 在和中， ， ∴≌； （2）25 【解析】 【分析】（1）根据，∠A＝∠B＝90°，可得，和为直角三角形，利用“”即可证明≌； （2）根据（1）中≌，则，根据直角三角形的性质推出，则可得为直角，又因为∠1＝∠2，则可知为等腰直角三角形，进而通过等腰直角三角形的性质求出其面积． 【详解】（1）略 （2）∵≌， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴其斜边上的高为5， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 21. 已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D． （1）如图1，若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数； （2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF． 【答案】（1）； （2）证明：设∠B=α，则∠C=3α，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-4α， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=， ∵DF⊥AD， ∴∠ADF=90°， ∴∠AFD=90°-∠BAD=2α， ∵∠AFD=∠B+∠BDF， ∴∠BDF=α=∠B， ∴BF=DF． 【解析】 【分析】（1）先求解 根据角平分线的定义求解 再利用外角的性质求解 再利用垂直的定义解答即可； （2）设∠B=α，则∠C=3α，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-4α， 先求解∠BAD=∠BAC=， 再求解∠AFD=90°-∠BAD=2α， 再利用三角形的外角的性质证明∠BDF=α=∠B， 从而可得答案． 【详解】（1）解：∵∠C=3∠B，∠C=75°， ∴∠B=25°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=40°， ∴∠ADE=∠BAD+∠B=65°， ∵AE⊥BC， ∴∠AED=90°， ∴∠DAE=90°-∠ADE=90°-65°=25°； （2）略 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，灵活运用以上知识得到角与角之间的关系是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． （1）请你画出关于轴的对称图形，并写出顶点的坐标； （2）的面积为______； （3）请你在轴上找到一点，使得最小． 【答案】（1）如图所示，即为所求作三角形，顶点的坐标； （2）5 （3）如图所示点P为所求． 【解析】 【分析】（1）利用关于轴对称点的性质即可作出图形，再结合图形即可得出点的坐标； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）利用将军饮马模型解答：过点作关于轴对称的对称点，连接，与轴交于点，连接，此时的值最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积为：； 故答案为：5； 【小问3详解】 如图，过点作关于轴对称的对称点，连接，与轴交于点，连接， 由对称性可知，， ∴， 根据两点之间线段最短可得此时的值最小，则点为所求． 【点睛】本题考查作图——轴对称变换，图形与坐标，网格三角形求面积，轴对称最短路线问题，掌握网格三角形求面积的方法：割补法；利用轴对称解决某直线上动点与两定点的距离之和的最值，是解决问题的关键． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，边交于点． （1）如图①，求证：； （2）如图②，延长交于点，连接，请直接写出图②中的所有全等三角形． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴； （2），，，， 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）利用证明，即可证明； （2）先由全等三角形的性质得到，则可证明得到，，再证明得到，进而可证明，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴图中的全等三角形有，，，， 24. （1）如图1，是等边三角形，点D、E分别在和的延长线上，且，当的度数确定时，的度数也随之确定． ①若，则 度； ②求证：； （2）如图2，是等边三角形，P是内一点，且，延长交于点D，延长交于点E，求证：． 【答案】（1）； 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）证明：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①根据三角形的内角和定理即可得出答案； ②根据等边三角形的性质得到，由三角形外角的性质可得，由三角形的内角和定理可得，于是结论得证； （2）根据等边三角形的性质得到，，由三角形的内角和定理可得，由三角形外角的性质可得，于是可得，利用可证得，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）①解：，， ， 故答案为：； ②略 （2）略 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质，三角形外角的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形的内角和外角及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 六、解答题（每小题．10分，共20分） 25. 已知，D、A、E三点均在直线上，且． （1）如图①，若，则线段的长为_________； （2）如图②，判断之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，若将题中的“”变为“”，其他条件不变，且，请直接写出的长． 【答案】（1）5 （2） 解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴； （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，据此即可求解； （2）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，可得答案； （3）利用邻补角的定义得，再利用三角形的外角性质可得到，再利用证明，得，可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 26. 如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线沿向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于，于．设点的运动时间为 （1）用含的代数式表示的长． （2）当点在边上时，求证：． （3）连结，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出值． （4）当与全等时，直接写出的值． 【答案】（1）或 （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）t的值为或 （4）t的值为1或或 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）分两种情况情况，点在上，在上，由题意可得出答案； （2）由直角三角形的性质可得出结论； （3）当点在边上，且时，是等边三角形，当点Q在边上，时，是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案； （4）由全等三角形的性质列出方程可得出答案． 【小问1详解】 解：当点到点时， 当点到点时， 当时，在上，， ∴； 当时，点在上， ∵， ∴； ∴的长为或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， 当点在边上，且时，是等边三角形， 此时， ∴； 当点Q在边上，时，是等边三角形， 此时， ∴， 综上所述，当图中存在等边三角形时，t的值为或； 【小问4详解】 解：当点到点时， 当点到点时， 当时，点在边上，点Q在边上，，， 此时，，，则有， ∴， ∴ 解得：； 当时，点P，Q都在边上时，，， 点P，Q重合，此时， ∴， ∴， 解得：； 当时，点到终点停止不动，点P在边上此时两个三角形不全等； 当时，点到终点停止不动，点P在边上，，，此时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当与全等时，t的值为1或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $