专题1.1 解直角三角形（4大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.1 解直角三角形（4大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【方法梳理与题型目录】 【知识点1】锐角三角函数 正弦： sinA＝＝ ； 余弦： cosA＝＝； 正切： tanA＝＝. 【知识点2】特殊的三角函数值 度数 三角函数 30° 45° 60° 1 【知识点3】解直角三角形的常用关系 （1）三边之间的关系：； （2）锐角之间的关系：； （3）边角之间的关系：，，. 【知识点4】解直角三角形的应用 （1） 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． （2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有. （3）方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角. （4）解直角三角形实际应用的一般步骤： a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【考点一】锐角三角函数 【题型1】正弦、余弦、正切的概念的辨析......................................2 【题型2】求角的正弦、余弦、正切值..........................................3 【题型3】已知正弦、余弦、正切值求边长......................................4 【考点二】锐角三角函数的计算 【题型4】特殊三角形的三角函数..............................................5 【题型5】特殊角的三角函数判断三角形状......................................6 【题型6】特殊角的三角函数值求角度..........................................6 【题型7】特殊角三角函数的混合运算..........................................7 【题型8】三角函数综合......................................................7 【考点三】解直角三角形 【题型9】解直角三角形......................................................8 【题型10】解非直角三角形...................................................8 【考点四】解直角三角形的应用 【题型11】仰角、俯角问题...................................................9 【题型12】方位角问题......................................................10 【题型13】坡度、坡比问题..................................................11 【题型14】其他问题........................................................12 【题型15】拓展延伸........................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】锐角三角函数 【题型1】正弦、余弦、正切的概念的辨析 【例1】（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 【变式1】（2023·山东淄博·一模）如图，线段是的直径，C，D为上两点，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·辽宁盘锦·二模）如图，反比例函数的图象上有一动点A，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则 ．    【题型2】求角的正弦、余弦、正切值 【例2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点． (1)求的长． (2)的值为___________． 【变式1】（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，矩形，，，将矩形绕点A顺时针旋转得矩形，连接、，则 ． 【题型3】已知正弦、余弦、正切值求边长 【例3】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图是以的边为直径的半圆，点恰好在半圆上，过作交于点.已知，，求的长． 【变式1】（2024·安徽合肥·二模）如图，已知正方形中，，点E是边上的点（不与点B，C重合），等腰直角的斜边与边交于点Q，连接，则的最小值等于（    ）    A．1 B．2 C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为 ． 【考点二】锐角三角函数的计算 【题型4】特殊三角形的三角函数 【例4】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在矩形中，，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，设旋转角为α，此时点恰好落在边上，连接． (1)当恰好是的中点时，求旋转角α的大小； (2)若，求的长． 【变式1】（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）如图，是上的不同的四个点，是的直径，弦、相交于点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是 ． 【题型5】特殊角的三角函数判断三角形状 【例5】．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值． 【变式1】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【题型6】特殊角的三角函数值求角度 【例6】（22-23九年级上·全国·单元测试）在锐角中，若，满足，求的度数． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的边的中点，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若关于x方程有两个相等实数根，则锐角度数为 ． 【题型7】特殊角三角函数的混合运算 【例7】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【变式1】（23-24九年级下·全国·期末）的值是（   ） A． B． C．1 D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆北碚·阶段练习） 【题型8】三角函数综合 【例8】（2023·吉林长春·模拟预测）在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，四边形的面积为 ． 【变式1】（2023·浙江温州·一模）如图，一个钟摆的摆长为米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（2023·上海普陀·三模）如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 【考点三】解直角三角形 【题型9】解直角三角形 【例9】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【变式1】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点B，交边于点E，点A落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其他线段．当图中存在角时，的长为 cm． 【题型10】解非直角三角形 【例10】（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积；(2)求的值；(3)求的值． 【变式1】（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【变式2】（2023·天津河北·二模）如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    【考点四】解直角三角形的应用 【题型11】仰角、俯角问题 【例11】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 【变式1】（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为，那么塔高约为 ． 【题型12】方位角问题 【例12】（24-25九年级上·四川巴中·期末） 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：，，） 【题型13】坡度、坡比问题 【例13】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，小华站在长江大堤上的点E处，看见江中有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角，若小华的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长为5米，点A，B，C，D，F，E在同一平面上，则此时小船C到岸边的距离的长是 米．（结果保留根号） 【题型14】其他问题 【例14】（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度米，拱高米，其中C为的中点，D为弧的中点．（参考数据：，结果保留） (1)求该圆弧所在圆的半径；(2)求弧的长． 【变式1】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为（   ）．（参考数据：，，） A．189.5 B．147 C．167 D．158 【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 【题型15】拓展延伸 【例15】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，将第一象限的抛物线沿翻折，翻折后的抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）已知正方形的边长为4，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边分别与边的延长线交于点，连接．当是直角三角形时， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 解直角三角形（4大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【方法梳理与题型目录】 【知识点1】锐角三角函数 正弦： sinA＝＝ ； 余弦： cosA＝＝； 正切： tanA＝＝. 【知识点2】特殊的三角函数值 度数 三角函数 30° 45° 60° 1 【知识点3】解直角三角形的常用关系 （1）三边之间的关系：； （2）锐角之间的关系：； （3）边角之间的关系：，，. 【知识点4】解直角三角形的应用 （1） 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． （2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有. （3）方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角. （4）解直角三角形实际应用的一般步骤： a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点一】锐角三角函数 【题型1】正弦、余弦、正切的概念的辨析.......................................2 【题型2】求角的正弦、余弦、正切值...........................................5 【题型3】已知正弦、余弦、正切值求边长.......................................9 【考点二】锐角三角函数的计算 【题型4】特殊三角形的三角函数..............................................12 【题型5】特殊角的三角函数判断三角形状......................................14 【题型6】特殊角的三角函数值求角度..........................................17 【题型7】特殊角三角函数的混合运算..........................................19 【题型8】三角函数综合......................................................20 【考点三】解直角三角形 【题型9】解直角三角形......................................................23 【题型10】解非直角三角形...................................................26 【考点四】解直角三角形的应用 【题型11】仰角、俯角问题...................................................29 【题型12】方位角问题.......................................................33 【题型13】坡度、坡比问题...................................................36 【题型14】其他问题.........................................................39 【题型15】拓展延伸.........................................................43 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】锐角三角函数 【题型1】正弦、余弦、正切的概念的辨析 【例1】（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】本题考查了勾股定理和三角函数，熟练掌握相关知识即可解题． （1）运用余弦定义得到求得的长，再运用勾股定理即可求得的长； （2）运用，，再结合（1）结论运用勾股定理即可求得的长，从而求得的值． 解：（1）， ， 又，， ， ， ； （2）由（1）可知：， ， ， ， ， ． 【变式1】（2023·山东淄博·一模）如图，线段是的直径，C，D为上两点，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，构造直角三角形，利用已知边的长度结合锐角三角函数的定义求得的度数，最后利用圆周角定理确定的度数即可． 解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故选：B． 【点拨】考查了圆周角定理的知识，解题的关键是能够作出半径构造直角三角形． 【变式2】（2023·辽宁盘锦·二模）如图，反比例函数的图象上有一动点A，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义和反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质．正切函数的定义，连接，作轴于点M，轴于点N，根据题意可得，从而表达出的值，再证明，得到两个三角形的面积之比，根据k的几何意义得出k的值即可． 解：连接，作轴于点M，轴于点N，如图，    由题意可知，点A、点B关于原点对称， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 而， ∴， ∵， 而， ∴ 故答案为：. 【题型2】求角的正弦、余弦、正切值 【例2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点． (1)求的长． (2)的值为___________． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、菱形的性质及三角函数，熟练掌握菱形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后根据正切的定义可进行求解． 解：（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为4． 【变式1】（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键． 设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果． 解：设宽为， ∵宽与长的比是， ∴长为：， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 变形得：， ，， ∴， 故选A． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，矩形，，，将矩形绕点A顺时针旋转得矩形，连接、，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，求解锐角的正切，掌握基础知识是解本题的关键． 如图，连接，证明，，可得，，，从而可得结论． 解：如图，连接， ∵，，将矩形绕点A顺时针旋转得矩形， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ， ， ， ∴． 故答案为：1． 【题型3】已知正弦、余弦、正切值求边长 【例3】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图是以的边为直径的半圆，点恰好在半圆上，过作交于点.已知，，求的长． 【答案】的长为 【分析】由是直径，可得，由，可得，则，，求，然后由勾股定理得，，计算求解即可． 解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点拨】本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角的两锐角互余，余弦，勾股定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，直角的两锐角互余，余弦，勾股定理是解题的关键． 【变式1】（2024·安徽合肥·二模）如图，已知正方形中，，点E是边上的点（不与点B，C重合），等腰直角的斜边与边交于点Q，连接，则的最小值等于（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】如图，过作的延长线于，证明，则，由，可得，则，如图，连接，作的延长线于，则是等腰直角三角形，，，在与夹角为的直线上运动，则的最小值为，根据，计算求解即可． 解：如图，过作的延长线于，    由题意知，，， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接，作的延长线于， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴在与夹角为的直线上运动， ∴的最小值为， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂线段最短，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂线段最短，正弦是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，正切函数的定义．利用等角的余角相等求得，推出，求得，根据的面积计算即可求解． 解：作，垂足为点F， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【考点二】锐角三角函数的计算 【题型4】特殊三角形的三角函数 【例4】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在矩形中，，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，设旋转角为α，此时点恰好落在边上，连接． (1)当恰好是的中点时，求旋转角α的大小； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，含30度直角三角形的性质，特殊角三角函数等知识，掌握这些知识是关键． （1）由已知得，则由正弦函数关系可得，从而得； （2）由矩形的性质及旋转的性质得，从而求得，由含30度直角三角形性质求得，从而求解． 解：（1）解：在矩形中，，则，， 由旋转的性质得：，； 是的中点， ， 即， ， ， ， ； （2）解：在矩形中，，； ； 旋转的性质得：， ， ； ， ， ． 【变式1】（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）如图，是上的不同的四个点，是的直径，弦、相交于点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理、特殊角的三角函数值，先根据圆周角定理求出，再根据特殊角的三角函数值计算即可得到答案．熟记：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解决问题的关键． 解： 由圆周角定理得， ， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是 ． 【答案】/150度 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，解题的关键是证明三角形． 证明，得出，根据，得出，即可求解． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5】特殊角的三角函数判断三角形状 【例5】．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值． 【答案】 【分析】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案． 解：如图，取，连接，作，于交轴于， ，， ，，，， ， ， ，， ， 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为． 【点拨】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键． 【变式1】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 【变式2】（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 【题型6】特殊角的三角函数值求角度 【例6】（22-23九年级上·全国·单元测试）在锐角中，若，满足，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，三角形内角和定理，根据特殊角三角函数值求角的度数，先根据非负数的性质得到，则，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的边的中点，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，求角的正弦值，延长 至点，使，连接，，可证明四边形是平行四边形，得到，则当最大时，最小；过点A作 交的延长线于点，由于，则最大为30度，据此可得答案． 解：如图，延长 至点，使，连接，． 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， 当最大时，最小． 过点A作 交的延长线于点， ∴， 当且仅当 时等号成立，此时最大，， 的最小值为， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若关于x方程有两个相等实数根，则锐角度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，从而可求出α的余弦值，然后根据特殊角的三角函数值确定α的度数． 解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型7】特殊角三角函数的混合运算 【例7】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入求解； （2）先算乘方，然后将特殊角的三角函数值代入计算，最后算加减即可． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（23-24九年级下·全国·期末）的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值进行计算即可． 解： ． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·重庆北碚·阶段练习） 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，零指数幂及绝对值，熟记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键．先计算出特殊角的三角函数值和零指数幂，再根据实数的混合运算法则计算即可． 解： ， 故答案为：． 【题型8】三角函数综合 【例8】（2023·吉林长春·模拟预测）在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，四边形的面积为 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证，再证，得，即可得出结论； （2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出进而得出答案． 解：（1）证明：， ，， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：在中，， 设，则， 由勾股定理得： ， 解得：或（舍去）， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得： 或（舍去）， 即， ∴四边形的面积， 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式1】（2023·浙江温州·一模）如图，一个钟摆的摆长为米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】由题可知，秋千摆到最低点时，点为弧的中心 ，由垂径定理知，．再根据锐角三角函数解三角形求得即可． 解：∵点为弧的中点，为圆心， 由垂径定理知，，， ∵， ∴， ∵， 在中，由三角函数可得， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查了垂径定理和锐角三角函数，根据题意将实际问题抽象为几何问题，再利用垂径定理和锐角三角函数解三角形是解此题的关键． 【变式2】（2023·上海普陀·三模）如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，作于点，根据直角三角形性质得到，利用解直角三角形得到，最后根据三角函数即可解题． 解：是等边三角形， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点拨】本题考查了等边三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，三角函数综合，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 【考点三】解直角三角形 【题型9】解直角三角形 【例9】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)6； (2). 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． （1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设，在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点拨】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键． 求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 解：，，， ，， ， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点B，交边于点E，点A落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其他线段．当图中存在角时，的长为 cm． 【答案】或或 【分析】根据翻折可得，分3种情况讨论：当时或当时或当时求的长． 解：①当时，（厘米）； ②当时，（厘米）； ③时，，延长交于，如图所示， ∴， 设，则，， （厘米）， ， ， 厘米． 故答案为：或或． 【点拨】本题考查了翻折变换、矩形的性质及三角函数，解决本题的关键是掌握矩形性质． 【题型10】解非直角三角形 【例10】（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积；(2)求的值；(3)求的值． 【答案】(1); (2); (3). 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． （1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点拨】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 【变式1】（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点拨】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 【变式2】（2023·天津河北·二模）如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    【答案】/ 【分析】过点D作，由平分可得是等腰直角三角形，再根据矩形性质和勾股定理易求对角线长，进而解三角形求出、即可解答． 解：过点D作，如图：    ∵平分， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作构造是等腰直角三角形，再解三角形． 【考点四】解直角三角形的应用 【题型11】仰角、俯角问题 【例11】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 【答案】(1)两楼的间距符合规定，理由见解析 (2)37.5米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰角的问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． （1）过点作于点，在中，由得到，比较与即可； （2）延长，交于，由，可得，由正切函数可求得，设，则，，列方程可求得结论． （1）解：过点作于点， 在中， ， ，，米，米， ∴， 两楼的间距符合规定； （2）解：延长，交于， 则，（米）， ， ， （米）， 设，则， ， ， 解得，即米， （米， 楼的高度为37.5米． 【变式1】（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 解：如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 【变式2】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为，那么塔高约为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是借助仰角找出直角三角形各边之间的联系及熟练掌握特殊角的三角函数值．由题意可知：，再在中，根据，即可求解． 解：由题意知，， ∴， ∴， 在中， ∴ 故答案为：． 【题型12】方位角问题 【例12】（24-25九年级上·四川巴中·期末） 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 (2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． （1）解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系即可得出答案，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，过点作，交的延长线于，则， 由题意可知，，海里 ， ∴海里，， ∵， ∴， ∴， ∴海里， ∵ ， ∴， ∴海里， 故选：． 【变式2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：，，） 【答案】58 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，根据题意可得：海里，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求的长． 解：由题意得：（海里）， 在中，海里， ∴（海里） （海里）， 在中，， ∴（海里）， （海里）， 即乙船向正东方向航行了58海里， 故答案为：58 【题型13】坡度、坡比问题 【例13】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 【答案】(1); (2). 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理、坡度的定义（是指地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，即坡角的正切值），熟记特殊角的三角函数值和坡度的定义是解题关键． （1）分别过、作下底的垂线，设垂足为、．在中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度的值，也就得到了的长；以为底，为高即可求出的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积． （2）在中，由勾股定理求的长，即可得到的长；中，根据、的长即可求得坡角的正切值，即坡面的坡度． 解：（1）过点作于，过点作于， ∴． 在中，（米）， ∴（米）． ∴（平方米）． ∴需要填土石方体积为：． （2）在中，， ∴． ∴加固后大坝背水坡面的坡度． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，作于， 根据矩形的性质得到，根据坡度的概念和勾股定理求出，根据正切的概念求出，计算即可. 解：作于，则四边形为矩形， ∴，设米， 则米， 由勾股定理得 解得， ， 即米， ∴米， 在中， 即米， ∴(米) ， 故选： A. 【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，小华站在长江大堤上的点E处，看见江中有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角，若小华的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长为5米，点A，B，C，D，F，E在同一平面上，则此时小船C到岸边的距离的长是 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 把和都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点和点到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得长度即为长度. 解：过点作于点， 延长交于点， 得和矩形. 米， 米， 米， 米， 米， (米)， (米)， 在中， 米， 米， 又， 即 (米)， 故答案为： 【题型14】其他问题 【例14】（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度米，拱高米，其中C为的中点，D为弧的中点．（参考数据：，结果保留） (1)求该圆弧所在圆的半径；(2)求弧的长． 【答案】(1)20米; (2)米. 【分析】（1）设该圆弧的圆心为O，连接，根据垂径定理得到，则三点共线，设该圆弧所在圆的半径为r米，则米，米，米，据此在中利用勾股定理求解即可； （2）解得到，则，进而得到，则，据此利用弧长公式求解即可． 解：（1）解：设该圆弧的圆心为O，连接， ∵C为的中点，D为弧的中点， ∴， ∴三点共线， 设该圆弧所在圆的半径为r米，则米， ∵跨度米，拱高米， ∴米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴该圆弧所在圆的半径为20米； （2）解：如图所示，连接， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为米． 【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求弧长，三角形内角和定理，熟知垂径定理是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为（   ）．（参考数据：，，） A．189.5 B．147 C．167 D．158 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，分别解，，求出的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 解：过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，则：四边形为矩形，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的高度为， ∵矩形底座的高为， ∴点到底面的高度约为． 故选：A． 【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，作辅助线，构造直角三角形是解本题的关键．过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解． 解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E， 在中，，， ∵ ∴(cm)， 在中，，， ∵， ∴(cm)， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴(cm)． 点与桌面的距离约为， 故答案为：． 【题型15】拓展延伸 【例15】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，将第一象限的抛物线沿翻折，翻折后的抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线解析式，求出，，再利用特殊角的正切值，得到，根据轴对称的性质，作点关于的对称点，则点在抛物线上，连接，过点作于点，证明是等边三角形，进而得到，，设，则，利用特殊角的三角函数值，求出，则，根据点的纵坐标；列一元二次方程，求出，从而得到，即可得解． 解：抛物线， 令，则，解得：，， 点A是抛物线与x轴正半轴交点， ， ， 令，则， ， ， 在中，， ， 由题意可知，第一象限的抛物线沿翻折，翻折后的抛物线与y轴交于点C， 作点关于的对称点，则点在抛物线上，连接，过点作于点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 设，则， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ， ， 点C的坐标为，故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形的应用，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）已知正方形的边长为4，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边分别与边的延长线交于点，连接．当是直角三角形时， ． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况讨论：①当时；②当时；得出是等腰直角三角形，利用正方形的性质及全等三角形的判定和性质即可得出结果． 解：①当时，如图所示， 即 ∵ ∴是等腰直角三角形    ∴ ∵四边形是正方形   ∴， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴； ②当时，如图所示： 方法如①，同理可得， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当是直角三角形时，或． 故答案为：或． 【点拨】题目主要考查求角的正切值，正方形的性质及全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点进行分类讨论是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$