第四章 一次函数中的存在性问题 讲义 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

一次函数中的存在性问题 【学习目标】 能够解决一次函数背景下直角三角形的存在性问题和等腰（直角）三角形的存在性问题． 【教学重难点】 1．根据题意进行分类讨论，画出每种情况下的图形，不漏解； 2．求出每种情况下点的坐标． 一次函数存在性问题的解题策略： 一次函数的存在性问题主要是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形，解决的方法是画出符合题意的图形，构造全等，用勾股定理，注意分类讨论（等腰三角形根据底边或腰进行分类讨论；直角三角形根据直角顶点进行分类讨论）． 考点1：直角三角形的存在性问题 【例】等腰直角三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠ACB＝90°，点A在y轴正半轴上，点B在第二象限，横坐标为－4，点C的坐标为（－1，0）． （1）求BC所在直线的函数表达式；y x O C A B y＝－2x＋4 （2）在直线y＝－2x＋4上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（－4，4），点B（4，0）． （1）求直线AB的解析式； （2）点M是y轴上一点，使得△ABM是直角三角形，求点M的坐标； （3）以点A为直角顶点作∠CAD＝90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC－OD的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．y x O A C B D 考点2：等腰三角形的存在性问题 【例】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B（a，b），线段BA⊥y轴于A，线段BC⊥x轴于C，且( a＋4 )2＋＝0． （1）求A、C两点的坐标； （2）若点D是AB的中点，点E是线段OD上一动点，设点E的横坐标为m，△ACE的面积为S，求S关于m的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当点E运动到OD的中点时，请在y轴上确定一点P，使得△AEP为等腰三角形，直接写出点P的坐标． x C O A y B D E 【变式1】如图在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1） AB的长为 __________；点D的坐标是________ ； 点C的坐标是________ ；； （2） 点M是y轴上一动点，若S△MAB= S△OCD，求出点M的坐标； （3）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=10，点E在边BC上，点N的坐标为（6，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为OE． （1） 求点G的坐标，并求直线OG的解析式； （2）若直线l：y=mx+n平行于直线OG，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围； （3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点3：等腰直角三角形的存在性问题 【例】如图，直线y＝kx＋k分别交x轴、y轴于点A、C，直线BC过点C，交x轴于点B，且OC＝3OA，∠CBA＝45°． （1）求直线BC的解析式； （2）动点P从B点出发沿射线BC方向匀速运动，速度为每秒个单位长度，连接AP，设△PAC的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式； （3）点Q是直线AC上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当△BMQ为等腰直角三角形时，求点Q和点M的坐标． y C O A B x 【变式1】如图1，平面直角坐标系xOy中，点C的坐标为（－8，4），作CA⊥x轴于点A，CB⊥y轴于点B，将△AOB沿AB所在直线翻折，得到△APB，AP与BC交于点E． （1）求点E的坐标，判断△ABE的形状并说明理由； （2）求直线CP的解析式； （3）如图2，作直线OC，点D是x轴负半轴上一点，过点D作y轴平行线分别交直线OC、CP于点M、N。问：y轴上是否存在一点F，使△FMN为等腰直角三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．y B x A O C P 备用图 y B x A O D C P M N 图2 y E B x A O C P 图1 【变式2】如图，一次函数y=x+1的图象交x轴于A点，交y轴于C点，以A，O，C三点为顶点作矩形ABCO，将矩形ABCO绕O点顺时针旋转90°，得到矩形ODEF，直线AC交直线DF于点M． （1） 求直线DF的解析式； （2） 求证：MO是∠AMD的角平分线； （3）在角平分线MO上，是否存在点N，使得以M，N，A为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 考点4：等边三角形的存在性问题 【例】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋b交y轴于点A（0，4），交x轴于点B． （1）求直线AB的表达式和点B的坐标； （2）直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，设点P的纵坐标为m，△ABP的面积为S． ①求S关于m的函数关系式； ②当S＝4－4时，以PB为边作等边△PBC，求点C的坐标． x y O l P A B D E x y O l A B D E 备用图 【学习评估】 1． 如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为8，BC长为10的矩形纸片ABCD，使得BC、AB所在直线分别与x、y轴重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F． （1） 求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标； （2） 如图2，过D作DG⊥AF，求DG的长度； （3）将矩形ABCD水平向右移动n个单位，则点B坐标为（n,0），其中n＞0．如图3所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，试求点B的坐标． 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（0，b），且a、b满足( a－2 )2＋＝0，点C是直线y＝kx（k＞0）上一动点．O A x y＝kx B y C （1）求直线AB的解析式； （2）当k＝1时，设点C的横坐标为m，△ABC的面积为S，求S关于m的函数关系式； （3）当△ABC是等腰直角三角形时，求k的值． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，直线y＝3x－6与x轴交于点D，与l1交于点C． （1）求点D的坐标；x C y P D O A （2）在y轴上有一点E，使S△ACE ＝S△ACD，求点E的坐标； （3）点P（1，m）是直线AC上一点，点F是平面内一点，若以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等，求点F的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－3x－3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（－3，0）． （1）直接写出A、B两点的坐标； （2）点D为x轴正半轴上的一点，且AD＝BD，求直线BD的解析式； （3）动点P从原点出发沿x轴正方向运动，连接BP，过点C作直线BP的垂线交y轴于点E，在直线BD上是否存在点F，使△PEF是等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． x y O A C P B D E 1 学科网（北京）股份有限公司 $$