北京市第三十一中学2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷

北京市第三十一中学2024-2025学年度第一学期 九年级数学期中考试 试题 2024.10 （考试时间120分钟 试卷满分100分） 一、选择题（本题共16分，每题2分） 在每题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读卡”第1-8题的相应位置上． 1. 随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 4. 如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且，则的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 70° D. 90° 5. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(　　) A. (54+10) cm B. (54+10) cm C. 64 cm D. 54cm 8. 如图，抛物线经过点．下面有四个结论：①；②；③；④关于的不等式的解集为．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 10. 在平面直角坐标系中，的半径为5，则点在______．(填“内”、“上”或“外”) 11. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是______． 12. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为_____． 13. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=____°． 14. 已知将抛物线沿轴向左或向右平移后经过点，则平移后抛物线的解析式是__________． 15. 某工厂2022年生产某种机械5000台，研发生产技术后．预计2024年生产该种机械6600台．设生产该种机械的年平均增长率为，根据题意，可列方程为__________． 16. 如图，点C为线段的中点，E为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为时，则_________． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，四边形内接于． （1）求点O到的距离； （2）直接写出弦所对的圆周角的度数． 19. 已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB． 求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=． 作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵CD∥AB， ∴∠ABP= ． ∵AB=AC， ∴点B在⊙A上． 又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据） ∴∠ABP=∠BAC 20. 已知关于的方程． （1）求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）如果该方程的两个实数根均为正数，求的最小整数值． 21. 某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求水流喷出的最大高度． 22. 已知二次函数自变量的部分取值及对应的函数值如下表所示： … 0 1 2 … … 3 2 3 6 11 … （1）写出此二次函数图象的对称轴； （2）求此二次函数的表达式； （3）当时，直接写出的取值范围． 23. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：△AEB ≌△ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数． 24. 如图，是半圆的直径，点在半圆外，与半圆交于点和E点． （1）利用现有已知条件请只用无刻度的直尺作出的两条高线，不必写出作法； （2）若，连接，求证：． 25. 小明利用函数与不等式的关系，对形如(为正整数)的不等式的解法进行了探究． (1)下面是小明的探究过程，请补充完整： ①对于不等式，观察函数的图象可以得到如表格： 的范围 的符号 + ﹣ 由表格可知不等式的解集为． ②对于不等式，观察函数的图象可以得到如表表格： 的范围 的符号 + ﹣ + 由表格可知不等式的解集为 ． ③对于不等式，请根据已描出的点画出函数(x+1)的图象； 观察函数的图象补全下面的表格： 的范围 的符号 + ﹣ 　 　 　 　 由表格可知不等式的解集为 ． …… 小明将上述探究过程总结如下：对于解形如(为正整数)的不等式，先将按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集． (2)请你参考小明的方法，解决下列问题： ①不等式的解集为 ． ②不等式的解集为 ． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴为直线． （1）若，，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 27. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E为线段AB上一动点（不与点A，B重合），连接CE，将∠ACE的两边CE，CA分别绕点C顺时针旋转90°，得到射线CE，，CA，，过点A作AB的垂线AD，分别交射线CE，，CA，于点F，G. （1）依题意补全图形； （2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段AE，AF与BC之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，旋转角满足，对图形与图形给出定义：将图形绕原点逆时针旋转得到图形，点为图形上任意一点，点为图形上的任意一点，称长度的最小值为图形与图形的“转后距”．已知点，点，点． （1）当时，记线段为图形． ①画出图形； ②若点为图形，则“转后距”为__________； ③若线段为图形，求“转后距”； （2）已知点在点的左侧，点，记线段为图，线段为图形，对任意旋转角，“转后距”大于，直接写出的取值范围． 北京市第三十一中学2024-2025学年度第一学期 九年级数学期中考试 试题 2024.10 （考试时间120分钟 试卷满分100分） 一、选择题（本题共16分，每题2分） 在每题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读卡”第1-8题的相应位置上． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（本题共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】1 【10题答案】 【答案】上 【11题答案】 【答案】（答案不唯一） 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】45 【14题答案】 【答案】或 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】2 三、解答题（共68分，第17题8分，第18-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）点O到的距离为 （2）弦所对的圆周角的度数为或 【19题答案】 【答案】 （1）作图如下： （2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 【20题答案】 【答案】 （1）由题意，得△=， ∴无论m取任何实数时，方程总有两个实数根． （2）3 【21题答案】 【答案】（1）（2）水流喷出的最大高度为2米 【22题答案】 【答案】（1）直线 （2） （3） 【23题答案】 【答案】 （1）证明：是等边三角形， ，． 线段AD绕点A顺时针旋转，得到线段AE， ，． ． ． 在△EAB和△DAC中， ， ≌． （2）45° 【24题答案】 【答案】（1）如图， （2） 证明：如图，连接，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【25题答案】 【答案】(1)②或；③+; -; 或 ；(2)①或或；②或且. 【26题答案】 【答案】（1） （2）或 【27题答案】 【答案】 （1）补全的图形如图所示. (2)∠AFC =α+45°； （3）AE，AF与BC之间的数量关系为 证明：由（2）可知∠DAC=∠AGC=45° ∴CA=CG ∵∠ACE =∠GCF，∠CAE =∠CGF ∴△ACE ≌△GCF ∴AE =FG. 在Rt△ACG中， ∴ ∴ ∵ ∴ 【28题答案】 【答案】（1） ①线段即为图形即为所作； ②；③ （2）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $