3.1.2椭圆的简单几何性质课件(第2课时)-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

复习导入 3.1.2椭圆的简单几何性质 （第2课时） 第三章 圆锥曲线的方程 练习巩固 例5：如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，.试建立适当的平面直角坐标系，求截口所在椭圆的方程(精确到). 解：建立如图直角坐标系，设所求椭圆方程为. 在中， 由椭圆的性质知， 所以；. 所以，所求椭圆的方程为. 练习巩固 变式5-1：某月球探测器发射后顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，近月点与月球表面的距离为，远月点与月球表面的距离为.已知月球的直径约为，则该椭圆形轨道的离心率约为( ) B 例6: 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹. O x y M H F l • d 解： 练习巩固 证明： O x y M H F l • d l′ F′ • 拓展2：椭圆的第二定义(课本117页)： 新知探究 (小题可用，大题不可用) 平面内的动点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹是椭圆. 对于椭圆  ,​​​相应于焦点的准线方程是  相应于焦点的准线方程是  O x y M H F l • d l′ F′ • 拓展2：椭圆的第二定义(课本117页)： 新知探究 定点是椭圆的焦点； 定直线 叫做椭圆的准线； 常数是椭圆的离心率. (小题可用，大题不可用) 平面内的动点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹是椭圆. 因为椭圆有两个焦点，所以椭圆有两条准线. 拓展2：椭圆的第二定义(课本117页)： 椭圆的两个定义从不同的角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用. ①一般地，如果遇到有关 动点到两定点距离的问题，那么应联想到椭圆的第一定义； ②如果遇到有关动点到一个定点及一条定直线距离的问题，那么应联想到椭圆的第二定义. 新知探究 (小题可用，大题不可用) 练习巩固 变式6-1：已知动点到点的距离与到定直线的距离之比为，则点的轨迹方程为 . 证明： 说明：, 称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式. 拓展3：焦半径公式： 已知椭圆的焦点为是椭圆上任一点,则，,其中是椭圆的离心率. y x F2 F1 O P • • • 椭圆的两焦点为 相应的准线方程分别为和 由椭圆第二定义得 新知探究 椭圆上的点与焦点的连线线段称为焦半径 (小题可用，大题不可用) 设点为椭圆上任意一点,则有 y x F2 F1 O P • • • y x F2 F1 O P • • • 同理,焦点在轴上的焦半径公式为 由焦半径公式可得, 椭圆上到焦点距离最大的点(远日点)和 到焦点距离最小的点(近日点)是长轴的两个端点. 即 拓展3：焦半径公式： 新知探究 (小题可用，大题不可用) 变式6-2：(高考题)把椭圆的长轴分成等分, 过每个分点作轴的垂线, 交椭圆的上半部于七个点, 是椭圆的一个焦点, 则 _________. O x y F • P1 B • • • • • • • A P2 P3 P4 P6 P5 P7 35 解1: 解2: F′ • 练习巩固 小册P36 T2 例7:如图示,已知直线和椭圆.问当为何值时,直线与椭圆(1)​​​有两个公共点？​​​​(2)​​​有且只有一个公共点？​​​​(3)​​​没有公共点？ O x y F2 l • F1 • 5.直线与椭圆的位置关系： 新知探究 解： 练习巩固 变式7-1:已知直线，椭圆.试问当取何值时， 直线与椭圆(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点. 方法总结：判断直线与椭圆的位置关系的方法 [注意]：方程组解的个数与直线与椭圆的公共点的个数之间是等价关系．　 方法总结 变式7-2: 求下列直线与椭圆的交点坐标: 练习巩固 变式7-3:已知椭圆直线椭圆上是否存在一点, 使得 (1) 它到直线的距离最小？最小距离是多少？ (2) 它到直线的距离最大？最大距离是多少？ O x y F2 l • F1 • l1 l2 练习巩固 课本P116 T13 O x y F2 l • F1 • P • 变式7-3:已知椭圆直线椭圆上是否存在一点, 使得 (1) 它到直线的距离最小？最小距离是多少？ (2) 它到直线的距离最大？最大距离是多少？ 练习巩固 课本P116 T13 如图示，若直线与椭圆交于两点，将直线方程与椭圆方程联立消元，得到关于(或)的一元二次方程，然后运用两点间距离公式及根与系数的关系，即可求弦长，具体公式为： 其中为直线的斜率,是方程组消元后的一元二次方程的二次项系数,是判别式. 6.弦长公式： O x y F2 l • F1 • A B 新知探究 练习巩固 例8:已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点. (1)当直线的斜率为时，求线段的长度；(弦长问题) (2)当点恰好为线段的中点时，求的方程.(中点弦问题) 练习巩固 例8:已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点. (1)当直线的斜率为时，求线段的长度；(弦长问题) (2)当点恰好为线段的中点时，求的方程.(中点弦问题) 弦长公式 练习巩固 例8:已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点. (1)当直线的斜率为时，求线段的长度；(弦长问题) (2)当点恰好为线段的中点时，求的方程.(中点弦问题) 练习巩固 例8:已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点. (1)当直线的斜率为时，求线段的长度；(弦长问题) (2)当点恰好为线段的中点时，求的方程.(中点弦问题) ​​​​​​​​​​​​​​​​在处理与弦的中点有关的问题时,常采用“点差法”,即若椭圆方程为直线与椭圆交于点，且的中点为,则有 若椭圆方程为,直线与椭圆交于点且的中点为,则有 O x y F2 l • F1 • P • B A 7.中点弦问题：(点差法) 椭圆的垂径定理: 中点弦斜率公式 方法总结 (小题可用，大题不可用) 拓展3：椭圆的第三定义(课本108页)： 新知探究 (小题可用，大题不可用) 平面内的动点两个定点连线的斜率之积等于常数的点的轨迹是椭圆(除去两个定点). 椭圆第三定义的推论: 为椭圆长轴的两个端点，若存在， 则 为椭圆上关于原点对称的两点，若存在， 则 O x y P B • A • O x y P B • A • • • O x y B M • A • • 为椭圆上任意两点，是的中点，若存在， 则 变8-1:过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，则这条弦所在直线的方程为__________________. 解: 练习巩固 变8-2:(新课标全国卷I)已知椭圆的右焦点为, 过点的直线交于两点. 若的中点坐标为, 则的方程为(　　) D 练习巩固 变8-3:经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求线段的长. 解： 练习巩固 变式7-4:若直线与曲线有两个不同的交点, 则的取值范围是__________. O x y l A(0,1) 解： 练习巩固 变8-4:椭圆 ，过点作圆的切线交椭圆于两点. (1) 求椭圆的焦点坐标和离心率；(2) 为坐标原点, 求的面积． 解： 练习巩固 变式7-5:已知椭圆的方程为, 在椭圆上找一点, 使到直线的距离最小, 并求出这个最小距离． O x y F2 x－y＋2＝0 • F1 • P • 解: 练习巩固 2. 焦点三角形面积公式: 椭圆上除长轴端点外任意一点与两个焦点F1, F2构成的三角形PF1F2叫焦点三角形, 且 1. 通径: 若过椭圆 的其中一个焦点垂直于焦点所在坐标轴的直线与椭圆交于P, Q两点, 则| PQ|叫做椭圆的通径, 且 几个常用结论： 3. 弦长公式: 若直线 与椭圆 交于A(x1, y1), B(x2, y2)两点, 则 4. 中点弦斜率公式: 若直线 与椭圆 交于A(x1, y1), B(x2, y2)两点, 且AB的中点为M(x0, y0), 则 课堂小结 设直线 l与椭圆C 相交于A( x1 ，y1) ，B( x2，y2 )，则 |AB|＝ , 其中 k 是直线的斜率 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 相交 处理弦中点问题：“点差法”、“韦达定理” 1.椭圆的第二定义 2.直线与椭圆的位置关系 3.弦长公式 4.中点弦问题(点差法)： 5.焦半径公式： 垂径定理 课堂小结