3.1.2椭圆的简单几何性质(第1课时)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质 （第1课时） 第三章 圆锥曲线的方程 问题引入 思考1：前面我们已经得到了椭圆的标准方程，类比前面研究思路，下面我们需要研究什么问题呢？ 研究椭圆的 几何性质（范围、形状、大小、对称性和特殊点等）. 下面我们用椭圆方程来研究椭圆的几何性质. 新知探究 问题1：观察直角坐标系中的椭圆，你能从图上看出它的范围吗？你能利用它的方程给出证明吗？ 容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内．为确定其具体的边界，我们利用方程（代数方法）进行研究． 由方程，可知 ∴ 即. 同理有，即. 说明椭圆位于直线围成的矩形框里. 1.范围： 椭圆的图形给人们以视觉上的美感，请同学们思考这种美来自于什么呢？ 新知探究 新知探究 问题2：它具有怎样的对称性？观察椭圆的形状，椭圆是关于什么对称的？ 椭圆关于轴、轴、原点都对称（轴对称、中心对称） 追问1：在直角坐标系中，要证明一个图形关于坐标轴或原点对称，就是要证明什么？ 新知探究 追问2：你能利用椭圆的方程证明它的对称性吗？ 2.对称性： 在椭圆的标准方程中，以代，方程不变．这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称． y x O P(x, y) P2 (-x, y) P3(-x, -y) P1 (x, -y) 所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心， 椭圆的对称中心(即原点)叫做椭圆的中心. 问题3:同学们根据自己绘制椭圆的过程，你认为如何画比较准确，椭圆上哪些点比较特殊，应该要先绘制出来呢？ 椭圆与坐标轴的交点. 追问1:你能通过椭圆方程确定这四个顶点的坐标吗？ 令 ,得 椭圆与 x轴的交点为 ， 令 ,得 椭圆与 y轴的交点为 . (a，0) (- a，0) (0，- b) (0，b) 3.顶点： A1(－a,0), A2(a,0). B1(0 ,－b), B2(0,b). 椭圆与它的对称轴有四个交点, 这四个交点叫做椭圆的顶点. 线段A1A2， 线段B1B2， 长轴 短轴 |A1A2|=2a |B1B2|=2b a 椭圆的长半轴长 b 椭圆的短半轴长 长轴长: 短轴长: 追问2:现在你能说说的几何意义吗？ c 椭圆的半焦距长 y x O 新知探究 1 2 3 -1 -2 -3 y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x A1 B1 A2 B2 A2 A1 新知探究 B2 B1 我们利用椭圆的范围、对称性及顶点就可以画出一个椭圆得草图，例如： 辨析1：画出下列椭圆的草图： （1）； （2） 问题4：两个椭圆扁平程度不同，而扁平程度是椭圆的重要形状特征，有什么量可以用来刻画椭圆的扁平程度吗？ 同学们不难发现椭圆的扁平程度与短轴和长轴之比，即与 有关． 我们也能发现椭圆的扁平程度与焦距和长轴之比，即与 有关． 追问1:那这两个比值是否都可以刻画椭圆的扁平程度呢？ 我们最终会选择哪个量呢？ 新知探究 4.椭圆的离心率： 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用表示，即 (1) 离心率的取值范围： ① 越接近 ， 就越接近 ，从而 就越小，椭圆就越扁； ② 越接近 ， 就越接近 ，从而 就越大，椭圆就越圆； 结论：离心率越小，椭圆越圆，离心率越大，椭圆越扁. ③ 特例：e = 0，则 a = b，则 c = 0，两个焦点重合，椭圆变成圆. 说明： (2) 离心率对椭圆形状的影响： 因为，所以. 追问2:那么与，的关系是什么？ 新知探究 解：（1）把化为标准方程为， 于是 因此，椭圆的离心率， 椭圆的 因此，椭圆的离心率 ∵，∴椭圆更接近圆 练习巩固 辨析2：比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ （1）与； （2）与； 解：（2）把化为标准方程为， 于是 因此，椭圆的离心率， 椭圆的 因此，椭圆的离心率 ∵，∴椭圆更接近圆 新知探究 练习1-1：已知椭圆方程为，则 它的长轴长是： ；短轴长是： ；焦距是： ；离心率等于： ；焦点坐标是： ；顶点坐标是： ；外切矩形的面积等于： ； 10 8 6 80 解题步骤： 1、将椭圆方程转化为标准方程求： 2、确定焦点的位置和长轴的位置. 练习巩固 练习1-2：求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) , , 焦点在轴上. (2) 离心率 , 焦距为. (3) 长轴是短轴的倍, 且过点 (4)在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为. (5)短轴长为，离心率 练习巩固 或 A 练习巩固 练习2:已知椭圆的左焦点,​​​​ 是两个顶点, 如果到直线的距离为 , 求椭圆的离心率 . 练习巩固 大册P68例3(2） 变式2-1:从椭圆上一点向轴作垂线,垂足为焦点,若椭圆长轴一个端点为​​,短轴一个端点为,且(如图),求离心率  解1： x F1 F2 M O y A B • • 练习巩固 大册P69变式训练3 椭圆的通径是通过焦点的最短的弦(最短焦点弦) 焦点在轴或轴上，通径长都为 (椭圆的通径长公式不必死记，可以通过椭圆的方程推导得出.) 新知探究 拓展1：椭圆的通径: 椭圆的通径: 若过椭圆 的其中一个焦点且垂直于焦点所在坐标轴的直线与椭圆交于两点, 则被椭圆截得的弦叫做椭圆的通径 y O F1 F2 x P Q • • 通径 (小题可用，大题不可用) 变式2-1:从椭圆上一点向轴作垂线,垂足为焦点,若椭圆长轴一个端点为​​,短轴一个端点为,且(如图),求离心率  x F1 F2 M O y A B • • 练习巩固 解2： ​​​​变式2-2:在中，若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率为_______. 练习巩固 求椭圆的离心率通常有两种方法 ①若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定、，求出 的值，利用公式直接求解； ②若椭圆的方程未知，则根据条件建立 满足的关系式，化为关于 的齐次方程，再将方程两边同除以 的最高次幂，得到 的方程，解方程求得 ． 练习巩固 练习巩固 小结