2025届新高考数学一轮复习-等比数列导学案

新高考数学一轮复习 第六章　数列 第三节　　等比数列 一、课标要求 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 4.体会等比数列与指数函数的关系． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分 【备考策略】1.理解等比数列的概念 2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题 4.熟练掌握等比数列通项公式与前n项和的性质 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n项和。需综合复习 本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查．属于中档题． 三、知识梳理 1．等比数列有关的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an＝a1qn－1. (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m. (3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列的常用性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 4．等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的公比q≠－1, 前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 常用结论 1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)． 3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn. (2)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (3)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q 四、课堂考点突破 考点一　等比数列的基本量的运算 [例1]　（2022·全国乙卷）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝（　　） A.14　 B.12 C.6　　D.3 [答案]　D [解析]　法一：设{an}的公比为q， 则 得＝＝q（1－q）＝，4q2－4q＋1＝0，即（2q－1）2＝0，∴q＝，代入①得a1＝96，故a6＝a1q5＝96×＝3. 法二：设数列{an}的公比为q，前n项和为Sn. 由a2－a5＝42，得q≠1. 由题意得 得＝4，即4q2－4q＋1＝0， ∴（2q－1）2＝0，得q＝，代入①得a1＝96， ∴a6＝a1q5＝96×＝3. 变式训练 1.已知数列{an}为等比数列，a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝　　　　. 答案：3n或·3n＋1－ 解析：设数列{an}的公比为q，由题意知4a2＝3a1＋a3， 即4q＝3＋q2，解得q＝1或q＝3. 当q＝1时，Sn＝3n； 当q＝3时，Sn＝·3n＋1－. 考点二　等比数列的判定与证明 [例2]　在数列{an}中，＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5. （1）证明：数列{an＋1}是等比数列； （2）求数列{an}的前n项和Sn. （1）[证明]　因为＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2， 所以（an＋1＋1）2＝（an＋1）（an＋2＋1）， 即＝. 因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6， 所以＝2， 所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列. （2）[解]　由（1）知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1， 所以Sn＝－n＝3·2n－n－3. 变式训练 2.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. （1）设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. （1）证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2， 所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3. 又 ①－②，得an＋1＝4an－4an－1（n≥2）， 所以an＋1－2an＝2（an－2an－1）（n≥2）. 因为bn＝an＋1－2an， 所以bn＝2bn－1（n≥2）， 故{bn}是首项为3，公比为2的等比数列. （2）解：由（1）知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， 所以－＝，故是首项为，公差为的等差数列， 所以＝＋（n－1）·＝， 故an＝（3n－1）·2n－2. 考点三　等比数列的性质及应用 题型一 等比数列项的性质及应用 [例3]　（1）在等比数列中，a2，a6是方程x2－8x＋m＝0的两个实数根，若a3a5＝3a4，则m的值为（　　） A.3　　　B.9 C.－9　　D.－3 （2）在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，则a1a13的最大值是（　　） A.25　　 B. C.5　　　D. [答案]　（1）B　（2）B [解析]　（1）因为a2，a6是方程x2－8x＋m＝0的两个实数根， 所以a2＋a6＝8，a2a6＝m，Δ＝64－4m＞0，即m＜16. 在等比数列中，a2a6＝a3a5＝，又a3a5＝3a4， 所以＝3a4.因为a4≠0，所以a4＝3，所以m＝＝9. （2）∵{an}是等比数列，且a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25， ∴＋2a6a8＋＝（a6＋a8）2＝25. 又∵an＞0，∴a6＋a8＝5， ∴a1a13＝a6a8≤＝，当且仅当a6＝a8＝时取等号. 题型二　等比数列前n项和的性质 [例4]　（1）等比数列{an}的前n项和为Sn.若S10＝1，S30＝7，则S40＝（　　） A.5　　　B.10 C.15　　 D.－20 （2）设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＝3，S99＝52，则a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝　　　　. [答案]　（1）C　（2）36 [解析]　（1）易知等比数列{an}的前n项和Sn满足S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30，…成等比数列.设{an}的公比为q，则＝q10＞0，故S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30，…均大于0. 故（S20－S10）2＝S10·（S30－S20），即（S20－1）2＝1·（7－S20）⇒－S20－6＝0.因为S20＞0，所以S20＝3. 又（S30－S20）2＝（S20－S10）（S40－S30）， 所以（7－3）2＝（3－1）（S40－7），故S40＝15. （2）设a1＋a4＋a7＋…＋a94＋a97＝S，因为公比q＝3， 所以a2＋a5＋a8＋…＋a95＋a98＝3a1＋3a4＋3a7＋…＋3a94＋3a97＝3S， 同理a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝9S.又S99＝52，故S＋3S＋9S＝52，解得S＝4，故a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝9S＝36. 变式训练 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1a2＜0，S1＝6a3＋27a5，则的值为（　　） A.－　 B. C.　　　D.或－ 答案：A 解析：设{an}的公比为q.∵a1a2＜0，∴q＜0. ∵S1＝6a3＋27a5， ∴a1＝6a1q2＋27a1q4，解得q2＝. 又q＜0，∴q＝－， ∴＝＝＝q3＝－. 4.（2021·全国甲卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝（　　） A.7　　　B.8 C.9　　　D.10 答案：A 解析：法一：因为S2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1，所以由等比数列的前n项和公式，得 两式相除，得q2＝，所以 或所以S6＝＝7. 法二：易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2（S6－S4）＝（S4－S2）2， 即4（S6－6）＝22，所以S6＝7. 五、课后作业 一、单项选择题 1．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q＝，且a3a4＝，则a6等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由a3a4＝， 得a1q2·a1q3＝， 即a·5＝， 所以a＝1. 又an>0， 所以a1＝1，a6＝a1q5＝1×5＝. 2．若1，a2，a3,4成等差数列；1，b2，b3，b4,4成等比数列，则等于(　　) A. B．－ C．± D. 答案　B 解析　由题意得a3－a2＝＝1， 设1，b2，b3，b4，4的公比为q， 则b3＝q2>0，b＝1×4＝4，解得b3＝2， ＝＝－. 3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　B 解析　∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 又Sn＝126， ∴＝126，解得n＝6. 4．已知等比数列{an}为递减数列，若a2a6＝6，a3＋a5＝5，则等于(　　) A. B. C. D．6 答案　A 解析　由{an}为等比数列， 得a2a6＝a3a5＝6， 又a3＋a5＝5， ∴a3，a5为方程x2－5x＋6＝0的两个根， 解得a3＝2，a5＝3或a3＝3，a5＝2， 由{an}为递减数列得an>an＋1， ∴a3＝3，a5＝2， ∴q2＝＝， 则＝＝. 5．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地．则此人后三天所走的里程数为(　　) A．6 B．12 C．18 D．42 答案　D 解析　设第n(n∈N*)天走an里，其中1≤n≤6， 由题意可知，数列{an}是公比为的等比数列， 所以＝a1＝378， 解得a1＝192， 所以此人后三天所走的里程数为 a4＋a5＋a6＝＝42. 6．(2023·新高考全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8等于(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 答案　C 解析　方法一　设等比数列{an}的公比为q，首项为a1， 若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，不符合题意， 所以q≠1. 由S4＝－5，S6＝21S2， 可得＝－5， ＝21×，① 由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4， 所以S8＝＝·(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85. 方法二　设等比数列{an}的公比为q， 因为S4＝－5，S6＝21S2， 所以q≠－1，否则S4＝0， 从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列， 所以(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)， 解得S2＝－1或S2＝， 当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6， 即为－1，－4，－16，S8＋21， 易知S8＋21＝－64，即S8＝－85； 当S2＝时， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0， 与S4＝－5矛盾，舍去． 综上，S8＝－85. 二、多项选择题 7．已知数列{an}是等比数列，以下结论正确的是(　　) A．{a}是等比数列 B．若a3＝2, a7＝32，则a5＝±8 C．若a1<a2<a3，则数列{an}是递增数列 D．若数列{an}的前n项和Sn＝3n＋r，则r＝－1 答案　ACD 解析　令等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1， 对于A，＝2＝q2，且a≠0，则{a}是等比数列，故A正确； 对于B，由a3＝2，a7＝32，得q4＝16，即q2＝4，所以a5＝a3q2＝2×4＝8，故B错误； 对于C，由a1<a2<a3知， 则 an＋1－an＝qn－1·a1(q－1)>0， 即∀n∈N*，an＋1>an，所以数列{an}是递增数列，故C正确； 对于D，显然q≠1，则Sn＝＝·qn－，而Sn＝3n＋r， 因此q＝3，＝1，r＝－＝－1，故D正确． 8．记等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足a1>1，a2 022>1，a2 023<1，则(　　) A．a2 022a2 024－1<0 B．S2 022＋1<S2 023 C．T2 022是数列{Tn}中的最大项 D．T4 045>1 答案　AC 解析　设数列{an}的公比为q. ∵a1>1，a2 023<1， ∴0<a2 023<1， 又a2 022>1，∴0<q<1. ∵a2 022a2 024＝a<1， ∴a2 022a2 024－1<0，故A正确； ∵a2 023<1， ∴a2 023＝S2 023－S2 022<1， 即S2 022＋1>S2 023，故B错误； ∵0<q<1，a1>1， ∴数列{an}是递减数列， ∵a2 022>1，a2 023<1， ∴T2 022是数列{Tn}中的最大项，故C正确； T4 045＝a1a2a3·…·a4 045 ＝a1(a1q)(a1q2)·…·(a1q4 044) ＝aq1＋2＋3＋…＋4 044 ＝aq2 022×4 045 ＝(a1q2 022)4 045＝a， ∵0<a2 023<1， ∴a<1， 即T4 045<1，故D错误． 三、填空题 9．(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________． 答案　－ 解析　若q＝1， 则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1， 则a1＝0，不符合题意． 所以q≠1. 当q≠1时，因为8S6＝7S3， 所以8·＝7·， 即8(1－q6)＝7(1－q3)， 即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)， 即8(1＋q3)＝7，解得q＝－. 10．设等比数列{an}共有3n项，它的前2n项的和为100，后2n项的和为200，则该等比数列中间n项的和等于________． 答案　 解析　设数列{an}的前n项和、中间n项和、后n项和依次为a，b，c.由题意知 a＋b＝100，b＋c＝200，b2＝ac， ∴b2＝(100－b)(200－b)， ∴b＝. 11．在等比数列{an}中，若a9＋a10＝4，a19＋a20＝24，则a59＋a60＝______. 答案　31 104 解析　设等比数列{an}的公比为q， 则an＝a1qn－1. 因为a9＋a10＝4，a19＋a20＝24， 所以a19＋a20＝(a9＋a10)q10＝24，解得q10＝6， 所以a59＋a60＝(a9＋a10)q50＝4×65＝31 104. 12．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝________，Tn＝________. 答案　　 解析　由题意得a1＝1－a1，故a1＝. 当n≥2时，由得an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1， 则＝， 故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， 故数列{an}的通项公式为an＝. 由等比数列的性质可得a1a3＝a，a3a5＝a，…，a2n－1a2n＋1＝a， 所以数列{a2n－1a2n＋1}是以a＝为首项，为公比的等比数列， 则Tn＝a＋a＋…＋a＝＝. 四、解答题 13．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋2. (1)证明数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}落入区间(10,2 023)的所有项的和． 解　(1)由an＋1＝2an＋2， 得an＋1＋2＝2(an＋2)， 又a1＋2＝3， 所以＝2， 所以{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列， 所以an＋2＝3×2n－1， an＝3×2n－1－2. (2)由10<an<2 023， 得10<3×2n－1－2<2 023， 即4<2n－1<675，即4≤n≤10， 故{an}落入区间(10,2 023)的项为a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10， 所以其和S＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10 ＝3×(23＋24＋…＋29)－2×7 ＝3×－14 ＝3 034. 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn＋1，n∈N*. (1)求{an}通项公式； (2)设bn＝，在数列{bn}中是否存在三项bm，bk，bp(其中2k＝m＋p)成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由． 解　(1)由题意知，在数列{an}中， an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1，n≥2， 两式相减可得，an＋1－an＝3an，an＋1＝4an，n≥2， 由条件知，a2＝3a1＋1＝4a1，符合上式， 故an＋1＝4an，n∈N*. ∴{an}是以1为首项，4为公比的等比数列． ∴an＝4n－1，n∈N*. (2)由题意及(1)得， 在数列{an}中，an＝4n－1，n∈N*， 在数列{bn}中，bn＝， 如果满足条件的bm，bk，bp存在， 则b＝bmbp，其中2k＝m＋p， ∴＝·， ∵2k＝m＋p， ∴(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，解得k2＝mp， ∴k＝m＝p，与已知矛盾， ∴不存在满足条件的三项． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第六章　数列 第三节　　等比数列 一、课标要求 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 4.体会等比数列与指数函数的关系． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分 【备考策略】1.理解等比数列的概念 2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题 4.熟练掌握等比数列通项公式与前n项和的性质 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n项和。需综合复习 本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查．属于中档题． 三、知识梳理 1．等比数列有关的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an＝a1qn－1. (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m. (3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列的常用性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 4．等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的公比q≠－1, 前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 常用结论 1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)． 3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn. (2)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (3)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q 四、课堂考点突破 考点一　等比数列的基本量的运算 [例1]　（2022·全国乙卷）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝（　　） A.14　 B.12 C.6　　D.3 变式训练 1.已知数列{an}为等比数列，a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝　　　　. 考点二　等比数列的判定与证明 [例2]　在数列{an}中，＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5. （1）证明：数列{an＋1}是等比数列； （2）求数列{an}的前n项和Sn. 变式训练 2.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. （1）设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. 考点三　等比数列的性质及应用 题型一 等比数列项的性质及应用 [例3]　（1）在等比数列中，a2，a6是方程x2－8x＋m＝0的两个实数根，若a3a5＝3a4，则m的值为（　　） A.3　　　B.9 C.－9　　D.－3 （2）在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，则a1a13的最大值是（　　） A.25　　 B. C.5　　　D. 题型二　等比数列前n项和的性质 [例4]　（1）等比数列{an}的前n项和为Sn.若S10＝1，S30＝7，则S40＝（　　） A.5　　　B.10 C.15　　 D.－20 （2）设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＝3，S99＝52，则a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝　　　　. 变式训练 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1a2＜0，S1＝6a3＋27a5，则的值为（　　） A.－　 B. C.　　　D.或－ 4.（2021·全国甲卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝（　　） A.7　　　B.8 C.9　　　D.10 五、课后作业 一、单项选择题 1．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q＝，且a3a4＝，则a6等于(　　) A. B. C. D. 2．若1，a2，a3,4成等差数列；1，b2，b3，b4,4成等比数列，则等于(　　) A. B．－ C．± D. 3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知等比数列{an}为递减数列，若a2a6＝6，a3＋a5＝5，则等于(　　) A. B. C. D．6 5．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地．则此人后三天所走的里程数为(　　) A．6 B．12 C．18 D．42 6．(2023·新高考全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8等于(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 二、多项选择题 7．已知数列{an}是等比数列，以下结论正确的是(　　) A．{a}是等比数列 B．若a3＝2, a7＝32，则a5＝±8 C．若a1<a2<a3，则数列{an}是递增数列 D．若数列{an}的前n项和Sn＝3n＋r，则r＝－1 8．记等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足a1>1，a2 022>1，a2 023<1，则(　　) A．a2 022a2 024－1<0 B．S2 022＋1<S2 023 C．T2 022是数列{Tn}中的最大项 D．T4 045>1 三、填空题 9．(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________． 10．设等比数列{an}共有3n项，它的前2n项的和为100，后2n项的和为200，则该等比数列中间n项的和等于________． 11．在等比数列{an}中，若a9＋a10＝4，a19＋a20＝24，则a59＋a60＝______. 12．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝________，Tn＝________. 四、解答题 13．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋2. (1)证明数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}落入区间(10,2 023)的所有项的和． 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn＋1，n∈N*. (1)求{an}通项公式； (2)设bn＝，在数列{bn}中是否存在三项bm，bk，bp(其中2k＝m＋p)成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$