福建省泉州市福建师范大学泉州附属中学2024-2025学年高一上学期数学周练05

福建师范大学泉州附属中学 2024级校本作业 第 1页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 福建师范大学泉州附属中学 2024级高一数学周练 05 范围：第一章——第二章 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集  1,3,5,7,9U  ，  4M x x  且 }, {3,7,9}x U N  ，则  UM N  ð （ ） A. {1,5} B. {5} C. {1,3,5} D. {3,5} 2.命题“ 0x  ， 2 3 1 0x x   ”的否定是（ ） A. 0x  ， 2 3 1 0x x   B. 0x  ， 2 3 1 0x x   C. 0x  ， 2 3 1 0x x   D. 0x  ， 2 3 1 0x x   3. 1x  是 2 1 0x   的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知集合    , 1|2,1A B x ax    ，若 B A ，则由实数 a的所有可能的取值组成的集合为（ ） A. 1 ,1 2      B. 11, 2      C. 1 ,0,1 2      D. 11,0, 2      5.若实数 a，b满足1 5, 1 3a b a b       ，则3 2a b 的最小值为（ ） A. 6 B. 2 C. 10 D. 14 6.不等式 2 0cx ax b   的解集为 11 2 x x       ，则函数 2y ax bx c   的图象大致为（ ） A. B. C. D. 福建师范大学泉州附属中学 2024级校本作业 第 2页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 7.同时满足：①  1,2,3,4,5M  ，② a M ，则6 a M  的非空集合 M有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 15个 D. 16个 8.无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或 定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段 AB上的点， 且 AC a ，CB b ，O为 AB的中点，以 AB为直径做半圆．过点 C作 AB的垂线交半圆于 D．连结 OD， AD，BD．过点 C作 OD的垂线，垂足为 E．则下面可由CD DE 进行无字证明的不等式为（ ） A.  2 0, 0abab a b a b     B.  0, 0 2 a b ab a b    C.  2 2 2 0, 0a b ab a b    D.   2 2 0, 0 2 2 a b a b a b    二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.图中阴影部分用集合表示正确的是（ ） A. A B B.   A UC A BC C.  UC A B D.    U UC A BC 10.若 0a b  ，则下列不等式成立的是（ ） A. b a a b  B. 2ab b C. 1 1 b b a a    D. 1 1a b b a    11.已知 0, 0, 2 2a b a b    ，则下列结论正确的有（ ） A. ab的最大值 1 2 B. 2 2a b 的最小值为 1 C. 1 2 a b  的最小值 9 2 D. 1 3 2 3a b a b    的最小值 8 5 福建师范大学泉州附属中学 2024级校本作业 第 3页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分 12.已知集合    20, 2 , 0,A m B m   ，且 A B ，则实数 m的值为______． 13.命题“ x R  ，使得不等式 2 1 0mx mx   ”是真命题，则 m的取值范围是________. 14.若存在正实数 x，y满足4 0x y xy   ，且使不等式 2 3 0 4 yx m m    有解，则实数 m的取值范 围是________ 四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知集合  |1 4A x x   ，集合  | 2 1B x m x m     ． （1）当 1m  时，求 A B ； （2）若 A B   ，求实数m的取值范围． 16.已知命题 p：“ 2, 4 0x x ax    R ”为假命题，设实数 a的所有取值构成的集合为A． （1）求集合 A； （2）设集合  1 2 1|B x m x m     ，若 t B 是 t A 的充分不必要条件，求实数 m的取值范围． 17.如图所示，将一个矩形花坛 ABCD扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 M在射线 AB上，N在射线 AD上，且对角线 MN过点 C，已知 AB长为 4米，AD长为 3米，设 AN x 米． （1）要使矩形花坛 AMPN的面积大于 54平方米，则 AN的长应在什么范围内； （2）要使矩形花坛 AMPN的扩建部分铺上大理石，则 AN的长度是多少时，用料最省？ 福建师范大学泉州附属中学 2024级校本作业 第 4页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 18.设  2 1 2( )y ax a x a a     R ． （1）当� = 2 时，解关于 x的不等式 1y  ； （2）解关于 x的不等式 1y a  ； （3）若关于 x的不等式 2y   在 1x  时有解，求实数 a的取值范围． 19.已知   1,2, , 3nS n n  ，   1 2, , , 2kA a a a k L 是 nS 的子集，定义集合  * ,i j i j i jA a a a a A a a   且 ，若  * nA n S ，则称集合 A是 nS 的恰当子集．用 X 表示有限集 合 X的元素个数． （1）若 5n  ，  1,2,3,5A  ，求 *A 并判断集合 A是否为 5S 的恰当子集； （2）已知   1, , ,7A a b a b  是 7S 的恰当子集，求 a，b的值并说明理由； （3）若存在 A是 nS 的恰当子集，并且 5A  ，求 n的最大值． 福建师范大学泉州附属中学 2024级校本作业 第 5页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 福建师范大学泉州附属中学 2024级高一数学周练 05答案解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B A A C B B B A AB BCD ACD 5.【答案】B 【详解】 设        3 2a b x a b y a b x y a x y b         ， 则 3 2 x y x y       ，解得 1 5, 2 2 x y  ，所以    1 53 2 2 2 a b a b a b     ， 由于1 5, 1 3a b a b       ，所以    1 1 5 5 5 15, 2 2 2 2 2 2 a b a b       ， 所以 2 3 2 10a b    ，最小值为 2 . 6.【答案】B 【详解】由题意得 0c  ， 11, 2  为 2 0cx ax b   的两个根， 故 1 11 , 1 2 2 a b c c        ，即 1 10, 0 2 2 a c b c     ， 2y ax bx c   开口向下，对称轴为 bx 0 2a    ，与 y 轴交点纵坐标为 0c  7. 【答案】B 【详解】 1a  时， 6 5a  ； 2a  时， 6 4a  ； 3a  时， 6 3a  ； 4a  时，6 2a  ； 5a  ，6 1a  ， ∴非空集合 M为 3 ， 1,5 ， 2,4 ， 1,3,5 ， 2,3,4 ， 1,2,4,5 ， 1,2,3,4,5 ，共 7个． 8.【答案】A 【详解】由于 AB是圆O的直径，所以 90ADB  ，圆O的半径为 2 a b ， 而CD AB ，由射影定理得 2 ,CD AC BC ab CD ab    . 在直角三角形 ACD中，CD OD ，由射影定理得 2 2 2, = 2 CD ab abCD DE OD DE a bOD a b       ， 由CD DE ，所以 2abab a b   . 11.【答案】ACD 【详解】A选项， 21 1 2 12 2 2 2 2 a bab a b           ， 当且仅当 2 1a b  时等号成立，所以 A选项正确. B选项，由 0, 0, 2 2a b a b    ，得 2 2 0a b   ，则0 1b  ， 所以  22 2 2 22 2 8 8 4a b b b b b       ，对称轴为 8 1 2 8 2 b     ， 福建师范大学泉州附属中学 2024级校本作业 第 6页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 所以当 1 2 b  时， 2 2a b 取得最小值为 21 18 8 4 2 2 2          ，所以 B选项错误. C选项，  1 2 1 1 2 1 2 22 5 2 2 b aa b a b a b a b                  1 2 2 95 2 2 2 b a a b           ， 当且仅当 2 2 2, 3 b a a b a b    时等号成立，所以 C选项正确. D选项，设        2 2 3 2 3a b x a b y a b x y a x y b         ， 则 2 1 3 2 x y x y      ，解得 1 5 3 5 x y       ，所以    1 32 3 2 5 5 a b a b    ，则    1 32 3 1 10 10 a b a b    ， 所以    1 3 1 3 1 32 3 2 3 2 3 10 10 a b a b a b a b a b a b                   3 3 3 2 3 3 2 81 1 2 10 2 10 3 10 2 3 5 a b a b a b a b a b a b a b a b                   ， 当且仅当 3 2 ,2 3 , 2 1 2 3 a b a b a b a b a b a b a b           时等号成立，所以 D选项正确. 14.【答案】 ( , 1) (4, )   【详解】由4 0x y xy   ， , 0x y  ，可得 4 1 1 y x   ， 所以 4 1 4 4 y yx x y x              4 42 2 2 4 4 4 x y x y y x y x        ， 当且仅当 4 4 x y y x  ，即 4 8y x  时等号成立．因为不等式 2 3 0 4 yx m m    有解, 所以�2 − 3� > 4,�2 − 3� − 4 = � − 4 � + 1 > 0，解得 1m   或 4m  ， 所以实数m的取值范围是    , 1 4,     ． 15.【小问 1详解】当 1m  时，  | 1 2   B x x ，所以  |1 2A B x x    . 【小问 2详解】由于 2 1m m   恒成立，所以集合 B不是空集， 由 A B   得 1 1m  或 2 4m   ，解得 0m  或 6m  ，所以m的取值范围是    ,0 6,  . 16.【小问 1详解】依题意，命题 p：“ 2, 4 0x x ax    R ”为假命题， 所以    2Δ 16 4 4 0a a a      ，解得 4 4a   ，所以  | 4 4A a a    . 【小问 2详解】由于 t B 是 t A 的充分不必要条件，所以 B A， 当 1 2 1m m   ，即 0m  时， B ，满足 B A . 福建师范大学泉州附属中学 2024级校本作业 第 7页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 当 1 2 1m m   ，即 0m  时，要使 B A，则需 1 4 2 1 4 m m       且两个等号不能同时成立，解得 30 2 m  ， 所以m的取值范围是 3| 2 m m     . 17.【小问 1详解】解：由 / /DC AM ，可得 DN DC AN AM  ，则 3 4x x AM   ，则 4 3 xAM x   ， 花坛 AMPN面积等于 24 54 3 xAM AN x     ， 由题意 3x  ，可得 22 27 81 0x x   ，即    2 9 9 0x x   ， 解得 93 2 x  或 9x  ，所以 AN的长应在  93, 9, 2        范围内. 【小问 2详解】解：根据题以，可得扩建部分面积 24 12 3 xS x    ， 令 3 0t x   ，可得     24 3 912 4 6 12 4 2 9 6 12 t S t t t               ， 当且仅当 9t t  时，即 3t  时，等号成立，即 6AN x  米时，用料最省． 18.【小问 1详解】当� = 2 时，由 2 12y x x   ，得   1 2 1 0x x   ， 解得 1 1 2 x   ，所以不等式的解集为 1 ,1 2      . 【小问 2详解】  2 1 2 1y ax a x a a       整理得  2 1 1 0ax a x    ，即   1 1 0x ax   当 =0a 时，不等式的解集为 | 1x x  当 0a  时，   11 0x x a        ，原不等式的解集为 1| 1x x a        当 0a  时，即   11 0x x a        ， 当 1 0a   ，即 1 1 a   时，原不等式的解集为 | 1x x  或� >− 1 � ； 当 1a   时，原不等式的解集为 | 1x x  ； 福建师范大学泉州附属中学 2024级校本作业 第 8页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 当 1a   时，原不等式的解集为 1|x x a     或 1x  . 【小问 3详解】依题意，关于 x的不等式  2 1 2 2y ax a x a       在 1x  时有解， 即  2 1a x x x    在 1x  时有解，由于 2 2 1 31 0 2 4 x x x          ， 所以 2 1 11 1 xa x x x x         在区间  1, 上能成立， 所以 1 1 11 2 11x x        ，所以 a的取值范围是 1,  . 19.【小问 1详解】若 5n  ，有  5 1,2,3,4,5S  ，由  1,2,3,5A  ，则  * 1,2,3,4A  ， 满足   5* 5A S ，集合 A是 5S 的恰当子集； 【小问 2详解】   1, , ,7A a b a b  是 7S 的恰当子集，则  * 1,2,3,4,5,6A  ， *7 1 6 A   ，由 *5 A 则7 5a  或 1 5b  ， 7 5a  时， 2a  ，此时 5b  ，  1,2,5,7A  ，满足题意； 1 5b  时， 6b  ，此时 3a  ，  1,3,6,7A  ，满足题意； 2a  ， 5b  或 3a  ， 6b  . 【小问 3详解】若存在 A是 nS 的恰当子集，并且 5A  ， 当 10n  时，  1,2,3,7,10A  ，有  * 1,2,3,4,5,6,7,8,9A  ，满足   0* 110A S ， 所以  1,2,3,7,10A  是 10S 的恰当子集， 当 11n  时，若存在 A是 11S 的恰当子集，并且 5A  ，则需满足  * 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A  ，由 *10 A ， 则有1 A 且11 A ；由 *9 A ，则有 2 A 或10 A ， 2 A 时，设   1,2, , ,11 3 10A a b a b    ，经检验没有这样的 ,a b满足  * 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A  ； 当10 A 时，设   1, , ,10,11 2 9A a b a b    ，经检验没有这样的 ,a b满  * 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A  ；， 因此不存在 A是 11S 的恰当子集，并且 5A  ， 所以存在 A是 nS 的恰当子集，并且 5A  ，n的最大值为 10.