精品解析：江苏省苏州市2024-2025学年上学期八年级数学期中模拟卷（四）

苏州市2024-2025学年第一学期八年级数学期中模拟卷（四） （范围：八上第2-5章+二次根式 时间：100分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题） 1. 游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 2. 如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　） A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 7.5 3. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 4. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，∠BAC＝84°，则∠BDC＝（ ） A. 84° B. 96° C. 100° D. 不能确定 5. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交AB的延长线于点E，于点F，现有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ） A. ①② B. ②④ C. ①②④ D. ①②③④ 6. 如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 下列各式中，正确的是（ ） A B. C. D. 9. 如果点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b=（　　） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5 10. 如图，点A是内一点，点E，F分别是点A关于的对称点，连接交于点B，C，连接．已知，则的周长为（ ） A. 9 B. 18 C. 24 D. 36 二．填空题（共10小题） 11. 如图，一个无盖的长方体盒子，底面是边长为2的正方形，高为4，一只蚂蚁从盒外的BC中点M，沿长方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是____________.° 12. 如图，为等边三角形．若以BC为直角边向外作等腰，，则______． 13. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为________． 14. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的角度为________． 15. 如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝6，则S1+S5＝_____．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积） 16. 如图，在中，．若D是边上的动点，则 的最小值是________． 17. 观察下列各式解决问题： 已知，，则_____． 已知，，则_____． 18. 的算术平方根与的和为______． 19. 若点在平面直角坐标系的轴上，则点M的坐标是______． 20. 如图，在中，，，点P是边上一动点，连接，在AP的上方作等边三角形，则周长的最小值为 _______． 三．解答题（共10小题） 21. 如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的． （1）利用网格线画，使它与关于直线对称； （2）在直线上作点，使的值最小，此时_______； （3）在直线上找一点，使点到、两边的距离相等． 22. 已知立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 23. 如图，点D是边上一点，，过B点作，且，连接交于点O，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 24. 如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 如图所示，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内．D为的中点． （1）写出点B的坐标__________． （2）P为边上的动点，当是腰长为5的等腰三角形时，求出点P的坐标． （3）在x轴上找一点Q，使最大，求点Q的坐标． 26. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义： 点P到X轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， 点Q到x轴、y轴的距离相等时， 称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为 ； （2）若点是“完美点”， 求a 的值； （3）若点长距为4，且点C 在第二象限内，点D的坐标为，试说明： 点 D 是“完美点”． 28. 在平面直角坐标系中，有一点． （1）当点在轴上时，求出的值并求出此时点的坐标； （2）已知点的坐标为，当直线轴时，求出的值并求出此时点的坐标． 29. 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且）．例如：点的“2阶智慧点”为点，即点． （1）点“3阶智慧点”的坐标为______． （2）若点B“4阶智慧点”为，求点B的坐标． （3）若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 30. 如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． （1）出发1秒后，求的周长． （2）问t为何值时，为等腰三角形？ （3）另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏州市2024-2025学年第一学期八年级数学期中模拟卷（四） （范围：八上第2-5章+二次根式 时间：100分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题） 1. 游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等， 凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：A． 2. 如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　） A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 7.5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由在等边三角形中，，可求得，则可求得的长，又由平分交于点，由三线合一的知识，即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 平分交于点， ， ． 故选：C． 3. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据小正方形的面积为5可得（a-b）2= a2-2ab+b2=5，再根据（a+b）2＝21可得a2+2ab+b2=21，从而可得大正方形的面积为a2+b2=13． 【详解】解：如图所示： ∵（a+b）2=21， ∴a2+2ab+b2=21①， ∵小正方形的面积为5， ∴（a-b）2= a2-2ab+b2=5②， ①+②得：2a2+2b2=26， ∴大正方形的面积为a2+b2=13， 故选：A． 【点睛】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，勾股定理．能正确表示大正方形和小正方形的面积是解题关键． 4. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，∠BAC＝84°，则∠BDC＝（ ） A. 84° B. 96° C. 100° D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质得到DE=DF，DB=DC，证明△DFB≌△DEC（SAS），得到∠BDF=∠CDE，根据四边形AFDE的内角和求出∠EDF=96°，由此得到∠BDC的度数． 【详解】解：过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F， ∵AD平分∠BAC， ∴DE=DF， ∵DP垂直平分BC， ∴DB=DC， ∵∠F=∠DEC=90°， ∴△DFB≌△DEC（SAS）， ∴∠BDF=∠CDE， ∵∠F+∠FAE+∠AED+∠EDF=360°， ∴∠BAC+∠EDF=180°， ∵∠BAC＝84°， ∴∠EDF=96°， ∴∠BDC=96°， 故选：B． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和，熟记角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 5. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交AB的延长线于点E，于点F，现有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ） A. ①② B. ②④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据角平分线的性质进行判断；②利用的直角三角形的性质，进行判断；③连接，，得到，进而得到，证明，得到，推出，进行判断；④由，得到，证明，得到，利用等量代换，即可得证． 【详解】解：∵平分，，， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴，即：；故②正确； 在和中： ， ∴， ∴， 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴不平分；故③错误； ∴；故④正确； 综上：正确的有：①②④； 故选C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，中垂线的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 6. 如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ． ②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP； ③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°； ④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论． 【详解】①在等边△ABC中，AB=BC． ∵点P、Q的速度都为1cm/s， ∴AP=BQ， ∴BP=CQ． 只有当CM=CQ时，BP=CM． 故①错误； ②∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA， 又∵点P、Q运动速度相同， ∴AP=BQ， 在△ABQ与△CAP中， ∵， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）． 故②正确； ③点P、Q在运动过程中，∠QMC不变． 理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ=∠ACP， ∵∠QMC=∠ACP+∠MAC， ∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°． 故③正确； ④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm， 当∠PQB=90°时， ∵∠B=60°， ∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=， 当∠BPQ=90°时， ∵∠B=60°， ∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=， ∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形． 故④正确． 正确的是②③④， 故选C． 【点睛】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0， 故点所在的象限是第四象限． 故选：D． 8. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根的定义和性质，立方根的定义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查开方运算，平方根的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 9. 如果点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b=（　　） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a、b的值，再计算a+b的值． 【详解】解：∵点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）， 又∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴a＝﹣2，b＝3． ∴a+b＝1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的性质，点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y），正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 10. 如图，点A是内一点，点E，F分别是点A关于的对称点，连接交于点B，C，连接．已知，则的周长为（ ） A. 9 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称得是解题关键． 【详解】解：∵点E，F分别是点A关于的对称点， ∴ ∵， ∴ 即：的周长为18 故选：B 二．填空题（共10小题） 11. 如图，一个无盖的长方体盒子，底面是边长为2的正方形，高为4，一只蚂蚁从盒外的BC中点M，沿长方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是____________.° 【答案】5 【解析】 【分析】分情况讨论，根据题意画出长方体的展开图，利用勾股定理分别计算即可. 【详解】解：分两种情况讨论， 当爬行路线如图①所示，由题意得：MC=1，CD1=4+2=6， 此时蚂蚁爬行的最短距离MD1＝； 当爬行路线如图②所示，由题意得：MD=2+1=3，DD1=4， 此时蚂蚁爬行的最短距离MD1＝， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是5， 故答案为5. 【点睛】本题考查了长方体的平面展开图、两点之间线段最短以及勾股定理，根据题意得到只需分两种情况进行计算比较是解题的关键. 12. 如图，为等边三角形．若以BC为直角边向外作等腰，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，进而可得，，问题随之解得． 【详解】∵为等边三角形， ∴，， ∵等腰，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，得出，，是解答本题的关键． 13. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据折叠可知，结合题意可知，再根据勾股定理得，求出，可得，再根据平行线的性质，进而得出，最后根据三角形的面积公式得出答案． 【详解】根据折叠可知，则， 在中，， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形中折叠问题，勾股定理，平行线的性质，等角对等边，勾股定理是求线段长的常用方法． 14. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM角度为________． 【答案】140° 【解析】 【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解． 【详解】如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N． ∵∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣110°＝70°，由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×70°＝140°． 故答案为140°． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用． 15. 如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝6，则S1+S5＝_____．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积） 【答案】6 【解析】 【分析】如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T,MN交EC于R．先证明△ABC≌△MBQ（SAS），推出∠ACB＝∠BQM＝90°，由∠PQB＝90°，推出M，P，Q共线，由四边形CGMP是矩形，推出MG＝PC＝BC，证明△MGR≌△BCT（AAS），推出MR＝BT，由MN＝BM，NR＝MT，可证△NRE≌MTP，推出S1+S5＝S3＝6. 【详解】如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于TMN交EC于R． ∵∠ABM＝∠CBQ＝90°， ∴∠ABC＝∠MBQ， ∵BA＝BM，BC＝BQ， 在△ABC和△MBQ， ， ∴△ABC≌△MBQ（SAS）， ∴∠ACB＝∠BQM＝90°， ∵∠PQB＝90°， ∴M，P，Q共线， ∵四边形CGMP是矩形， ∴MG＝PC＝BC， ∵∠BCT＝∠MGR＝90°，∠BTC+∠CBT＝90°，∠BRM+∠CBT＝90°， ∴∠MRG＝∠BTC， 在△MGR和△BCT中 ， ∴△MGR≌△BCT（AAS）， ∴MR＝BT， 又∵MN＝BM， ∴NR＝MT，， 在△NRE和MTP， ∴△NRE≌MTP（AAS）， ∴S1+S5＝S3＝6， 故答案是：6． 【点睛】考查了勾股定理和矩形的性质，解题关键是利用了分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积． 16. 如图，在中，．若D是边上的动点，则 的最小值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了正切，正弦，垂线段最短等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 由题意得，如图，作，使，过作于，过作于，则，，，可知当三点共线且时，最小，为，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 如图，作，使，过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴当三点共线且时，最小，为， ∴， 故答案为：6． 17. 观察下列各式解决问题： 已知，，则_____． 已知，，则_____． 【答案】 ①. ； ②. ； 【解析】 【分析】本题考查算术平方根与立方根的规律，根据算术平方根：被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍，立方根：被开方数扩大倍，立方根扩大倍直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：，． 18. 的算术平方根与的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的求解方法是解题关键． 根据算术平方根和立方根的定义得出的算术平方根是2，，然后求和解答即可． 【详解】解：，且， 的算术平方根是2， ， ∴的算术平方根与的和为： 故答案为：． 19. 若点在平面直角坐标系的轴上，则点M的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上的点纵坐标为0，求出m的值即可得到点M坐标． 【详解】解：∵点M在轴上， ∴点M的纵坐标等于0，即，解得， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查坐标轴上点坐标的特点，解题的关键是掌握轴上的点纵坐标为0这个特点． 20. 如图，在中，，，点P是边上一动点，连接，在AP的上方作等边三角形，则周长的最小值为 _______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的定义，垂线段最短，三角形的面积公式等知识．根据等边三角形的定义得到周长，过点A作于点，根据“垂线段最短”得到周长的最小值为，根据三角形面积公式得到，即可求出的最小值为30． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴周长， 过点A作于点， 则， ∴周长的最小值为， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为30． 故答案为：30 三．解答题（共10小题） 21. 如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的． （1）利用网格线画，使它与关于直线对称； （2）在直线上作点，使的值最小，此时_______； （3）在直线上找一点，使点到、两边的距离相等． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形、正方形的性质、等腰三角形的三线合一、角平分线的性质定理，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先分别画出点关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线的交点即为点，再根据正方形的性质即可得的度数； （3）连接，与直线的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图，即为所作． ． 【小问2详解】 解：如图，点即为所作． 由网格可知，是正方形两条对角线形成的夹角， 则， 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图，点即为所作． ． 22. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根和无理数的估算进行求解即可． 【详解】解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，平方根和无理数的估算，理解题意及正确地计算能力是解决问题的关键． 23. 如图，点D是边上一点，，过B点作，且，连接交于点O，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三线合一： （1）证明，得到，三线合一即可得出平分； （2）平行线的性质，求出的度数，等边对等角，得到的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析． （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如下图： ∵边上的垂直平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 设，则， ∴在中， ， 即 解得：， 则． 25. 如图所示，长方形中，O为平面直角坐标系原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内．D为的中点． （1）写出点B的坐标__________． （2）P为边上的动点，当是腰长为5的等腰三角形时，求出点P的坐标． （3）在x轴上找一点Q，使最大，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理： （1）根据长方形的性质，求出点坐标即可； （2）分，两种情况进行讨论求解即可； （3）延长交轴于点，点即为所求，证明，得到，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵A点的坐标为，C点的坐标为， ∴， ∵长方形， ∴； 【小问2详解】 ∵，为的中点， ∴， 当是腰长为5的等腰三角形时，分两种情况讨论： ①， ∵点在线段上， ∴在中，由勾股定理，得：， ∴； ②当时：如图，过点作，则四边形为长方形， ∴， 由勾股定理，得：， ∴或， ∴或； 综上：或或； 【小问3详解】 ∵， ∴当三点共线时，最大， 延长交轴于点，如图： ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 26. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）根据立方根解方程即可； （2）根据平方根解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∴， ∴或， ∴或． 27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义： 点P到X轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， 点Q到x轴、y轴的距离相等时， 称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为 ； （2）若点是“完美点”， 求a 的值； （3）若点的长距为4，且点C 在第二象限内，点D的坐标为，试说明： 点 D 是“完美点”． 【答案】（1）3 （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得点到轴的距离为3，到轴的距离为1， ∴点A的“长距”为3． 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； 【小问3详解】 解：∵点的长距为4，且点C 在第二象限内， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点 D 是“完美点”． 28. 在平面直角坐标系中，有一点． （1）当点在轴上时，求出的值并求出此时点的坐标； （2）已知点的坐标为，当直线轴时，求出的值并求出此时点的坐标． 【答案】（1）或，点P的坐标或； （2），点P的坐标． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，写出平面直角坐标系的点的坐标： （1）根据在x轴上的点的纵坐标为，进行列式计算，即可作答． （2）根据直线轴，则点与点的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵点在x轴上， ∴ ∴或， ∴或； 即点P的坐标或； 【小问2详解】 解：∵点Q的坐标为，，直线轴， ∴， 即， ∴ 即点P的坐标． 29. 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q坐标为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且）．例如：点的“2阶智慧点”为点，即点． （1）点的“3阶智慧点”的坐标为______． （2）若点B的“4阶智慧点”为，求点B的坐标． （3）若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 【答案】（1） （2）点B的坐标为； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是理解“a阶智慧点”的定义，灵活运用方程组来解决问题，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）依据“a阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论； （2）设点B的坐标为，根据题意即可得到关于的方程组，进而得解； （3）点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值． 【小问1详解】 解：点的“3阶智慧点”的坐标为， 即坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设点B的坐标为， ∵点B的“4阶智慧点”为， ∴， 解得， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点， ∴点C的“阶智慧点”为． ∵点C的“阶智慧点”到x轴的距离为1， ∴， ∴或． 解得或． 30. 如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． （1）出发1秒后，求的周长． （2）问t为何值时，为等腰三角形？ （3）另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】（1） （2）当为、、、时，为等腰三角形 （3）当为或秒时，直线把分成周长相等的两部分 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、一元一次方程的应用、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理可得，由题意得出，则，由勾股定理求出，即可得解； （2）分四种情况：若点在上；若点在边上时，有三种情况： 当时，当时，当时，分别求解即可； （3）分两种情况：当在上，在上时，当在上，在上时，分别根据题意建立一元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：如图， ∵，，， ∴， ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴出发1秒后，， ∴，， ∴的周长； 小问2详解】 解：如图，若点在上， 此时，故用的时间为； 如图，若点在边上时，有三种情况： 当时， 此时， ∴点的运动路程为，故用的时间为； 当时，作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动路程为，故用的时间为； 当时，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动路程为，故用的时间为； 综上所述，当为、、、时，为等腰三角形； 【小问3详解】 解：如图，当在上，在上时， 由题意得：，，则，， ∵直线把分成周长相等的两部分， ∴， ∴， 解得：； 如图，当在上，在上时， 由题意得：，， ∴，， ∴，， ∵直线把分成周长相等的两部分， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当为或秒时，直线把分成周长相等的两部分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$