5.3 复数的三角表示同步练习-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

*§3　复数的三角表示 A组 1.复数z=sin 15°+icos 15°的三角形式是(　　). A.cos 195°+isin 195° B.sin 75°+icos 75° C.cos 15°+isin 15° D.cos 75°+isin 75° 2.复数sin 50°-isin 140°的辐角的主值是(　　). A.150° B.40° C.-40° D.320° 3.若复数z=(a+i)2的辐角是,则实数a的值是(　　). A.1 B.-1 C.- D.- 4.若复数cos θ+isin θ和sin θ+icos θ相等,则θ的值为(　　). A. B. C.2kπ+(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) 5.如果θ∈,那么复数(1+i)(cos θ-isin θ)的三角形式是(　　). A.[cos+isin] B.[cos(2π-θ)+isin(2π-θ)] C.[cos+isin] D.[cos+isin] 6.已知z=cos +isin,则arg z2=　　　　　.  7.把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转,所得到的向量对应的复数是　　　　　.  8.设复数z1=1+i,z2=+i,则的辐角的主值是　　　　　.  9.已知z1=,z2=6(cos +isin ),计算z1z2,并说明其几何意义. B组 1.设π<θ<,则复数的辐角的主值为(　　). A.2π-3θ B.3θ-2π C.3θ D.3θ-π 2.复数z=tan θ+i的三角形式是(　　). A.(sin θ+icos θ) B.(cos θ+isin θ) C.-[cos(-θ)+isin(-θ)] D.-[cos(+θ)+isin(+θ)] 3.(多选题)已知z1,z2是复数,则下列说法正确的是(　　). A.若>0,则>- B.若>-,则>0 C.若=0,则z1=z2=0 D.若<0,则z1,z2至少有一个是虚数 4.已知复数z满足z2+2z+4=0,且arg z∈,则z的三角形式为　　　　　　.  5.将复数1+i所表示的向量绕原点O按逆时针方向旋转θ角(0<θ<2π)所得的向量对应的复数为-2,则θ=　　　　　.  6.设O为复平面的原点,A,B为单位圆上两点,A,B所对应的复数分别为z1,z2,z1,z2的辐角的主值分别为α,β.若△AOB的重心G对应的复数为i,求tan(α+β)的值. 7.设复数z1=+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z2∈(0,π),求z2的代数形式. 答案 A组 1.D　z=sin 15°+icos 15°=cos 75°+isin 75°,故选D. 2.D　sin 50°-isin 140°=cos(270°+50°)+isin(180°+140°)=cos 320°+isin 320°. 3.B　∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,arg z=, ∴∴a=-1,故选B. 4.D　因为cos θ+isin θ=sin θ+icos θ,所以cos θ=sin θ,即tan θ=1,所以θ=+kπ(k∈Z). 5.A　因为1+i=, cos θ-isin θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ), 所以(1+i)(cos θ-isin θ)=[cos+isin] =. 6.　因为arg z=,所以arg z2=2arg z=2×. 7.1-i　(1+i) = =[cos()+isin()] =[cos(-)+isin] =1-i. 8.　由题知,z1=2,z2=2(cos +isin ),所以的辐角的主值为. 9.解 z1z2=×6×[cos+isin()]=3=3i. 首先作复数z1对应的向量,然后将绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应的向量. B组 1.B　=cos 3θ+isin 3θ. 因为π<θ<,所以3π<3θ<,所以π<3θ-2π<,因而所求辐角的主值为3θ-2π.故选B. 2.C　z=tan θ+i=+i=(sin θ+icos θ), ∵<θ<π,∴<0,∴z=-(-sin θ-icos θ)=-[cos(-θ)+isin(-θ)]. 3.BD　若=i,=1-i,显然满足>0,但是不满足>-,故A不正确.当>-成立时,显然有∈R,-∈R,故B正确.当z1=1,z2=i时,显然满足=0,但是z1=z2=0不成立,故C不正确.当<0成立时,假设z1,z2都不是虚数,则它们是实数,显然<0不成立,假设不成立,则z1,z2至少有一个是虚数,故D正确.故选BD. 4.z=2　由z2+2z+4=0,得z=(-2±2i)=-1±i. 因为arg z∈,所以z=-1-i应舍去, 所以z=-1+i=2. 5.　由题意知,(1+i)(cos θ+isin θ)=-2, 即2(cos θ+isin θ)=2[cos(+θ)+isin]=-2, 所以cos=-1,sin=0, 又0<θ<2π,所以+θ<, 则+θ=π,于是θ=. 6.解 由题意可设z1=cos α+isin α,z2=cos β+isin β. 因为△AOB的重心G对应的复数为i, 所以i,即z1+z2=1+i, 于是有 所以tan ,故tan(α+β)=. 7.解 因为z1=2,设z2=2(cos α+isin α),α∈(0,π), 所以z1=8[cos+isin]. 由题设知2α+=2kπ+(k∈Z),所以α=kπ+(k∈Z). 又α∈(0,π),所以α=,所以z2=2=-1+i. 学科网（北京）股份有限公司 $$