精品解析：2024—2025学年人教版九年级上册数学期末考试模拟试卷

模拟卷【人教版】2024—2025学年秋季 九年级上册数学期末考试模拟试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，整式的加减，完全平方公式，熟记计算法则和完全平方公式即可解题．根据去括号，单项式的乘法，合并同类项以及完全平方公式进行解答． 【详解】解：A、原式，故本选项错误； B、原式，故本选项正确； C、与不是同类项，无法合并，故本选项错误； D、原式，故本选项错误； 故选：B 3. 已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（　　） A. 二、三象限 B. 一、三象限 C. 三、四象限 D. 二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是反比例函数的图像与性质，根据点坐标P（﹣1，2）带入反比例函数y=中求出k值就可以判断图像的位置． 【详解】根据y=的图像经过点P（-1,2），代入可求的k=-2，因此可知k＜0，即图像经过二四象限. 故选D 【点睛】此题重点考查学生对于反比例函数图像和性质的掌握，把握其中的规律是解题的关键． 4. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为（ ） A. 275×104 B. 2.75×104 C. 2.75×1012 D. 27.5×1011 【答案】C 【解析】 【详解】解：将27500亿用科学记数法表示为：2.75×1012． 故选C． 【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数． 5. 下列几何体的左视图为长方形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：找到每个几何体从左边看所得到的图形即可得出结论． 详解：A．球的左视图是圆； B．圆台的左视图是梯形； C．圆柱的左视图是长方形； D．圆锥的左视图是三角形． 故选C． 点睛：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握每个几何体从左边看所得到的图形. 6. 分式方程=0的解是（　　） A. ﹣1 B. 1 C. ±1 D. 无解 【答案】B 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是分式方程的解，根据分式值为0，说明分子=0，分母≠0，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵=0， ∴x2-1=0，解x=±1, 但是x+1≠0,x≠-1, 综上x=1, 经检验x=1是原分式方程的解. 故选B 【点睛】此题重点考查学生对于分式方程的解得理解，掌握分式值等于0，说明分子等于0，分母不等于0是解本题的关键，还要注意解分式方程一定要检验． 7. 笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】由标有1﹣10的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，利用概率公式计算可得． 【详解】∵在标有1﹣10的号码的10支铅笔中， 标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况， ∴抽到编号是3的倍数的概率是， 故选C． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A. ﹣3 B. ﹣2 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】设方程的另一个根为t， 根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3， 即方程的另一个根是﹣3． 故选A． 9. 如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（　　）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质和中点定义得出，证明，根据相似三角形的面积等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可． 【详解】连接DC， ∵ ∴∠DOC=90°，OD=1， ∴∠DCO=30°， ∴∠OBD=30°， 故选B． 【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO=30°． 11. 如图，▱ABCD周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是平行四边形的性质．根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长． 【详解】解：∵▱ABCD的周长为36， ∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18． ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12， ∴OD=OB=BD=6． 又∵点E是CD的中点，DE=CD， ∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC， ∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15， 即△DOE的周长为15． 故选A 【点睛】此题重点考查学生对于平行四边形性质的理解，三角形的中位线，平行四边形的对角对边性质是解题的关键． 12. 如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E，将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（　　） A. △ADF≌△CGE B. △B′FG的周长是一个定值 C. 四边形FOEC的面积是一个定值 D. 四边形OGB'F的面积是一个定值 【答案】D 【解析】 【详解】分析：A、根据等边三角形ABC的外心的性质可知：AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD=CG，AF=CE，从而得△ADF≌△CGE； B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论； C、根据S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC=S△ABC（定值），可作判断； D、方法同C，将S四边形OGB'F=S△OAC-S△OFG，根据S△OFG=•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断． 详解：A、连接OA、OC， ∵点O是等边三角形ABC的外心， ∴AO平分∠BAC， ∴点O到AB、AC的距离相等， 由折叠得：DO平分∠BDB'， ∴点O到AB、DB'的距离相等， ∴点O到DB'、AC的距离相等， ∴FO平分∠DFG， ∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF）， 由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD）， ∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°， ∴∠DOF=60°， 同理可得∠EOG=60°， ∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG， ∴△DOF≌△GOF≌△GOE， ∴OD=OG，OE=OF， ∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB， ∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE， ∴AD=CG，AF=CE， ∴△ADF≌△CGE， 故选项A正确； B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE， ∴DF=GF=GE， ∴△ADF≌△B'GF≌△CGE， ∴B'G=AD， ∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值）， 故选项B正确； C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值）， 故选项C正确； D、S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+△ADF=S四边形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC-S△OFG， 过O作OH⊥AC于H， ∴S△OFG=•FG•OH， 由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化， 故选项D不一定正确； 故选D． 点睛：本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分） 13. 比较实数的大小：3_____（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是二次根式的性质，根据二次根式的性质，将3化成根号的形式即可比较出两实数的大小. 【详解】解：将3化成， 因为9>5， 所以3大于. 故答案为：＞． 【点睛】此题重点考查学生对二次根式的理解，熟练掌握二次根式的性质是本题解题的关键. 14. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____． 【答案】12 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称， ∴a=﹣4，b=﹣3， 则ab=12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键. 15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】∵∠ACB=90°，D为AB的中点， ∴CD=AB=×6=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 16. 若，，则代数式的值为__________． 【答案】-12 【解析】 【详解】分析：对所求代数式进行因式分解，把，，代入即可求解. 详解：，， ， 故答案为 点睛：考查代数式的求值，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键. 17. 已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值． 【详解】∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0， ∴a﹣7=0，b﹣1=0， 解得a=7，b=1， ∵7﹣1=6，7+1=8， ∴ 又∵c为奇数， ∴c=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系． 18. 如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称—最短路线问题，解题的关键是掌握菱形的性质和轴对称的性质．作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，与交于点，此时的最小值，其值为．根据、菱形的面积是与的乘积可得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ． 作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，与交于点，此时的最小值，其值为． ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根，特殊角三角函数，负整数与零指数幂等知识，掌握这些知识并正确计算是关键；依次计算算术平方根，特殊角三角函数，负整数与零指数幂，再计算减法即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简再求值：（a﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣． 【答案】； 【解析】 【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数代入进行计算即可． 【详解】解：原式= = =， 当a=1+，b=1时， 原式==． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键． 21. 为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用如图的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线） 依据折线统计图，得到下面表格： 射击次序（次） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩（环） 8 9 7 9 8 6 7 8 10 8 乙的成绩（环） 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10 （1）甲成绩的众数是_____环，平均数是_____环，乙成绩的中位数是_____环； （2）请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？ （3）该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出恰好选到1男1女的概率． 【答案】（1）8、8，7.5 （2）甲成绩更稳定 （3） 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．也考查了概率公式． （1）根据众数、平均数和中位数的定义可得； （2）求出甲乙两人成绩的方差，方差小者成绩稳定； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到一男一女的结果数，利用概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：甲射击成绩次数最多的是8环， 所以甲成绩的众数是8环， 甲成绩的平均数是（环）， 乙射击成绩重新排列为：6、7、7、7、7、8、9、9、10、10， 则乙成绩的中位数为环， 故答案为：8、8，7.5； 【小问2详解】 解：甲成绩的方差为（环， 乙成绩的平均数为（环， 所以乙成绩的方差为（环， 故甲成绩更稳定； 【小问3详解】 解：用、表示男生，用、表示女生，列表得： 共有12种等可能的结果，其中一男一女的有8种情况， 恰好选到1男1女的概率为． 22. 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里． （1）求出A与C距离（结果保留根号）． （2）已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，． 【答案】（1）与的距离为海里 （2）海监船沿前往处盘查，无触礁的危险 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中． （1）如图所示，过点作于点，可求得，，设，在与中，分别表示出、的长度，然后根据海里，代入、的式子，求出的值，继而可求出的长度； （2）如图所示，过点作于点，在中，根据的值，利用三角函数的知识求出的长度，然后与100比较，进行判断． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 可得，， 设， 在中，， 在中，， 海里， ， 解得：， 则， 答：与的距离为海里； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， 在中， ，， ， 故海监船沿前往处盘查，无触礁的危险． 23. 某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖．经过调查．获取信息如下： 购买数量低于5000块 购买数量不低于5000块 红色地砖 原价销售 以八折销售 蓝色地砖 原价销售 以九折销售 如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元． （1）红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元？ （2）经过测算，需要购置地砖12000块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000块，如何购买付款最少？请说明理由． 【答案】（1）红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元；（2）购买蓝色地砖5000块，红色地砖7000块，费用最少，最少费用为89800元． 【解析】 【详解】分析：（1）根据题意结合表格中数据，购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元，分别得出方程得出答案； （2）利用已知得出x的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案． 详解：（1）设红色地砖每块a元，蓝色地砖每块b元，由题意可得： 解得：， 答：红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元； （2）设购置蓝色地砖x块，则购置红色地砖（12000-x）块，所需的总费用为y元， 由题意可得：x≥（12000-x）， 解得：x≥4000， 又x≤6000， 所以蓝砖块数x的取值范围：4000≤x≤6000， 当4000≤x＜5000时， y=10x+8×0.8（12000-x） =76800+3.6x， 所以x=4000时，y有最小值91200， 当5000≤x≤6000时，y=0.9×10x+8×0.8（12000-x）=2.6x+76800， 所以x=5000时，y有最小值89800， ∵89800＜91200， ∴购买蓝色地砖5000块，红色地砖7000块，费用最少，最少费用为89800元． 点睛：此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 24. 如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD． （1）求证：PQ是⊙O的切线； （2）求证：BD2=AC•BQ； （3）若AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，且tan∠PCD=，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根据三角形的内角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据题意得到AC•BQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，由切线的性质得到OD⊥PQ，根据平行线的性质得到OD⊥AB，根据三角函数的定义得到BE=3DE，根据勾股定理得到BE的长，设OB=OD=R，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）证明：∵PQ∥AB， ∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD， ∵∠ACD=∠BCD， ∴∠BDQ=∠ACD， 如图1，连接OB，OD，交AB于E， 则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°， ∴2∠ODB+2∠O=180°， ∴∠ODB+∠O=90°， ∴PQ是⊙O的切线； （2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线， ∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD， ∴AD=BD， ∵∠DBQ=∠ACD， ∴△BDQ∽△ACD， ∴， ∴BD2=AC•BQ； （3）解：方程可化为x2﹣mx+4=0， ∵AC、BQ的长是关于x的方程的两实根， ∴AC•BQ=4， 由（2）得BD2=AC•BQ， ∴BD2=4， ∴BD=2， 由（1）知PQ是⊙O的切线， ∴OD⊥PQ， ∵PQ∥AB， ∴OD⊥AB， 由（1）得∠PCD=∠ABD， ∵tan∠PCD=， ∴tan∠ABD=， ∴BE=3DE， ∴DE2+（3DE）2=BD2=4， ∴DE=， ∴BE=， 设OB=OD=R， ∴OE=R﹣， ∵OB2=OE2+BE2， ∴R2=（R﹣）2+（）2， 解得：R=， ∴⊙O的半径为． 25. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是． （1）分别判断函数和是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界； （2）如果函数 的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围； （3）如果函数（其中）是以为上确界的有上界函数，当时，求实数的取值范围． 【答案】（1） 不是有上界函数；是有上界函数，函数的上确界为； （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据有上界函数函数的定义和上确界定义分析即可； （）根据函数的上确界和函数增减性得到，函数的最小值为，根据，函数的最小值不超过，列不等式求解集即可； （3）当时，，此时二次函数的对称轴为直线，且函数开口向下，可得当时，最大值为1；当时，函数的最大值即为；当时，最大值为；当时，，此时二次函数的对称轴为直线，且函数开口向下，当，即时，最大值为；当，即时，函数的最大值即为；当，最大值为；据此可得当时，函数（其中）的最大值为1，此时不满足函数是以为上确界的有上界函数；当时，函数的最大值为，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，函数的最大为，三种情况结合函数是以为上确界的有上界函数，且建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象经过第二象限，当时，的值随着的增大而增大， ∴函数值没有上确界， ∴ 不是有上界函数； ∵一次函数解析式为，， ∴的值随着的增大而增大， ∴时，函数值小于， ∴函数是有上界函数，函数的上确界为； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴函数的最大值为，最小值为， ∵函数 的上确界是， ∴， ∵这个函数的最小值不超过， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 综上所述，； 【小问3详解】 解：当时，， ∴此时二次函数的对称轴为直线，且函数开口向下， 当时，则当时，函数有最大值，最大值为1； 当时，函数的最大值即为； 当时，则当时，函数有最大值，最大值为； 当时，， ∴此时二次函数的对称轴为直线，且函数开口向下， 当，即时，则当时，函数有最大值，最大值为； 当，即时，函数的最大值即为； 当，即时，则当时，函数有最大值，最大值为； ∴当时，函数（其中）的最大值为1，此时不满足函数是以为上确界的有上界函数； 当时，函数的最大值为，函数的最大值也为， ∴， ∴或（舍去）， ∴此时； 当时，函数的最大值为，函数的最大值为， ∵， ∴当时，此时， ∴， 解得， ∴； 当时，函数的最大值为，函数的最大为， ∵， ∴， ∴， ∴ 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数的性质，求不等式组的解集，一次函数和反比例函数的增减性等等，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 26. 如图1，四边形OABC是矩形，点A坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒． （1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为_____； （2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值； （3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）(，2)；（2）或；（3）存在；D(﹣，)或(，)． 【解析】 【分析】（1）根据点P，Q的运动速度找出当t＝2时，点P，Q的坐标，再利用中点坐标公式即可求出此时线段PQ的中点坐标； （2）根据点P，Q的运动速度找出运动时间为t秒时，PA，QA，QB，CB的值，由∠B＝∠A＝90°，可得出当或时，△CBQ与△PAQ相似，代入各线段的值即可求出t值； （3）当t=1时，先求出P，Q的坐标，然后求出抛物线的解析式，配方求出顶点K的坐标．分两种情况讨论，利用相似三角形的判定与性质求出HQ、OQ的解析式，再和抛物线解析式联立解方程组即可得出结论． 【详解】（1）当t＝2时，点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（3，4），∴线段PQ的中点坐标为（），即（，2）． 故答案为（，2）． （2）当运动时间为t（0≤t≤3）秒时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（3，2t），∴PA＝3﹣t，QA＝2t，QB＝6﹣2t，CB＝3． ∵∠B＝∠A＝90°，∴当或时，△CBQ与△PAQ相似． ①当时，，解得：t1，t2（不合题意，舍去）； ②当时，，解得：t或t=3（舍去）． 综上所述：t的值为或． （3）当t=1时，P（1，0），Q（3，2），把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线：y=x2﹣3x+2=，∴顶点K（，）． ∵Q（3，2），M（0，2），∴MQ∥x轴． 作抛物线对称轴，交MQ于E，∴KM=KQ，KE⊥MQ，∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ． 如图2，∠MQD=∠MKQ=∠QKE，设DQ交y轴于H． ∵∠HMQ=∠QEK=90°，∴△KEQ∽△QMH，∴，∴，∴MH=2，∴H（0，4），易得HQ的解析式为：，则，x2﹣3x+2=，解得：x1=3（舍），x2=，∴D（，）； 同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM=∠MKQ=∠QKE． 由对称性得：H（0，0），易得OQ的解析式：，则，x2﹣3x+2=，解得：x1=3（舍），x2=，∴D（，）． 综上所述：点D的坐标为：D（，）或（，）． 【点睛】本题是二次函数综合题．考查了线段的中点坐标、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、平行线的性质．解题的关键是：（1）根据点P，Q的速度找出当t＝2时点P，Q的坐标；（2）利用相似三角形的判定找出关于t的方程；（3）求出点H的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模拟卷【人教版】2024—2025学年秋季 九年级上册数学期末考试模拟试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. -2绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（　　） A. 二、三象限 B. 一、三象限 C. 三、四象限 D. 二、四象限 4. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为（ ） A. 275×104 B. 2.75×104 C. 2.75×1012 D. 27.5×1011 5. 下列几何体的左视图为长方形的是（　　） A. B. C. D. 6. 分式方程=0的解是（　　） A. ﹣1 B. 1 C. ±1 D. 无解 7. 笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（　　） A B. C. D. 8. 已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A ﹣3 B. ﹣2 C. 3 D. 6 9. 如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（　　）     A. B. C. D. 10. 如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 11. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　） A 15 B. 18 C. 21 D. 24 12. 如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E，将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（　　） A. △ADF≌△CGE B. △B′FG的周长是一个定值 C. 四边形FOEC的面积是一个定值 D. 四边形OGB'F的面积是一个定值 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分） 13. 比较实数的大小：3_____（填“＞”、“＜”或“=”）． 14. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____． 15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=_____． 16. 若，，则代数式的值为__________． 17. 已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____． 18. 如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是______． 三、解答题 19. 计算：． 20. 先化简再求值：（a﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣． 21. 为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用如图的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线） 依据折线统计图，得到下面的表格： 射击次序（次） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩（环） 8 9 7 9 8 6 7 8 10 8 乙的成绩（环） 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10 （1）甲成绩的众数是_____环，平均数是_____环，乙成绩的中位数是_____环； （2）请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？ （3）该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出恰好选到1男1女的概率． 22. 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里． （1）求出A与C距离（结果保留根号）． （2）已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，． 23. 某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖．经过调查．获取信息如下： 购买数量低于5000块 购买数量不低于5000块 红色地砖 原价销售 以八折销售 蓝色地砖 原价销售 以九折销售 如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元． （1）红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元？ （2）经过测算，需要购置地砖12000块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000块，如何购买付款最少？请说明理由． 24. 如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD． （1）求证：PQ是⊙O的切线； （2）求证：BD2=AC•BQ； （3）若AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，且tan∠PCD=，求⊙O的半径． 25. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是． （1）分别判断函数和是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界； （2）如果函数 的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围； （3）如果函数（其中）是以为上确界的有上界函数，当时，求实数的取值范围． 26. 如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒． （1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为_____； （2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值； （3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$