精品解析：北京市回民学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

北京市回民学校 2024-2025学年度第一学期期中练习（11月） 初三数学 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 一张薄纸，一双巧手，在一剪一刻间幻化出千姿百态的美丽图案，令人叹为观止，这就是剪纸艺术．剪纸作品形式多样，以下剪纸作品中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐一判断即可. 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 若抛物线经过点，则b的值是（ ） A. －1 B. －2 C. －3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把代入后解方程求出b的值. 【详解】解：把代入得， 解得 故选：C 3. 下列关于抛物线的说法正确的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 在对称轴的右侧，随的增大而增大 C. 顶点坐标为 D. 当，有最大值是2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故A选项错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为轴，且抛物线的开口向下， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，故B选项错误，不符合题意； 抛物线的顶点坐标为，故 C选项错误，不符合题意； ∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口向下， ∴当，有最大值是2，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4. .车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（ ） A. 圆上各点到圆心的距离相等 B. 直径是圆中最长的弦 C. 同弧所对的圆周角相等 D. 圆是中心对称图形 【答案】A 【解析】 【分析】根据车轮的特点和功能进行解答. 【详解】车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变， 是利用了圆上各点到圆心的距离相等. 故选：. 【点睛】本题考查了对圆的基本认识，即墨经所说：圆，一中同长也，属于基础知识，难度较小. 5. 某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为，根据题意得方程（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据该快递公司今年一月份及第一季度完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：10＋10（1＋x）＋10（1＋x）2＝33.1． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，如图所示，由对顶角性质、邻补角定义得到，再由同弧所对的圆心角相等及等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理求出角度即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， 点是劣弧的中点， ，则， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及对顶角性质、邻补角定义、同弧所对圆心角相等、圆的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和等知识，熟记相关几何性质，数形结合找准各个角度之间的关系是解决问题的关键． 7. 小明将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由题意依据每次旋转相同角度，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°进行分析即可得出答案. 【详解】解：因为每次旋转相同角度，旋转了六次， 且旋转了六次刚好旋转了一周为360°， 所以每次旋转相同角度 . 故选：B. 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数． 8. 如图，抛物线与轴交于点，交y轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴与点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若点为对称轴上的动点，则有最大值，最大值为．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；由函数的图象可知，，再由可知；当时，函数有最大值得；由图象得一元二次方程有两个不相等的实数根；根据三角形三连关系可得． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点， ∴对称轴为直线， ∴，即 ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，开口向下， ∴时，y有最大值，最大值为， ∴（m为任意实数）， 即，故③错误； ∵抛物线开口向下，抛物线与轴交于点， 所以抛物线与直线有两个交点，如图， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； ∵对称轴交y轴的正半轴于点C， ∴， 由对称性可知， ∴，故⑤不正确； 综上，正确的结论是①②④，共3个， 故选：B． 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 【答案】x=±2 【解析】 【详解】移项得x2=4， ∴x=±2． 故答案是：x=±2． 11. 的半径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 _______． 【答案】点P在外 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为r，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为，， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故答案为：点P在外． 12. 若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程无解， ∵，，， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 13. 二次函数的对称轴为，则的值是___． 【答案】2 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴列出方程，求出的值即可． 【详解】解：的对称轴为， 对称轴为， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，准确解一元一次方程是解题的关键． 14. 如图，四边形内接于，为延长线上的一点．若．则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的内接四边形对角互补，掌握性质即可解题． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 马面裙(图1)叉名马面褶裙，是我国古代女子穿着的主要裙式之一．如图2，一条马面裙裙面可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A，D分别为，的中点，，则该马面裙裙面的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．根据等边三角形的判定和性质以及弧长公式进行计算即可． 【详解】解：，， 为等边三角形， ， ∵点A为的中点，点D为的中点， ∴， （）， （）， 该马面裙裙面的周长为， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，是矩形上方一个动点．且满足，连接，则的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、圆周角定理、三角形的三边关系、勾股定理，确定的最大值时点P的位置是本题的关键．由可知点P在以为直径的圆上，作辅助圆O，确定当P、O、D共线时，最大，最大值即为的长，先根据勾股定理计算的长，就是半径的长，可得的长． 【详解】解：∵， ∴点P在以为直径的圆上， 取的中点为O，画半圆，如图，连接，连接并延长交圆于， ∵在中，， ∴当P、O、D共线时，的长最大，最大值即为的长， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共68分） 17. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先找出a，b及c的值，再代入求根公式进行计算即可． 【详解】解：，， 所以，方程有两个不相等的实数根 ∴， 【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解． 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标． 【答案】（1） （2）将抛物线向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查二次函数一般式化为顶点式及二次函数图象的平移，掌握配方法的方法是解答的关键． （1）利用配方法将二次函数一般式化为顶点式即可； （2）根据二次函数的图象与x轴的交点坐标确定如何平移后经过原点，进而可得另一个交点坐标． 【小问1详解】 解：由得； 【小问2详解】 解：当时，由解得，， 则抛物线与x轴的交点坐标为，， ∴将抛物线向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． （1）在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； （2）判断与轴的位置关系： ． 【答案】（1） 解：如图所示，以为圆心，的长为半径的圆即为所求， 点坐标为 （2）相交 【解析】 【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法； （1）作、的垂直平分线交于点，则为圆心，的长为半径的圆即为所求； （2）确定圆的半径及圆心到轴的距离即可判断； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， 即：的半径， 点到轴的距离， ∵， ∴与轴相交， 故答案为：相交． 20. 已知抛物线经过点 （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）画出函数的图象 （3）当时，结合函数图象直接写的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） 描点、连线，如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟知二次函数图象上点的坐标特征，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解答的关键． （1）将已知点代入函数解析式中求得m值，然后将函数解析式化为顶点式即可求解； （2）利用列表、描点、连线的步骤作函数图象即可； （3）根据所画的图象即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：列表： x … 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … 【小问3详解】 解：由图象可知，该抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 21. 如图，是的直径，是的弦，直径过的中点．求证：． 【答案】 证明：连接， ∵，为中点， ∴， ∵过， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】连接OC，根据等腰三角形性质得出OE⊥BC，根据垂径定理求出，求出，即可得出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，熟练掌握相关定理是解题关键． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【答案】（1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立； （2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可． 本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 23. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕点O逆时针旋转后的； （2）在（1）的条件下，求线段扫过的面积(结果保留)． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，求扇形的面积： （1）依据旋转变换的性质画出图形即可； （2）依据图形面积的和差关系，可得扫过的面积扇形的面积扇形的面积，由此计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由勾股定理，得：， ∴线段扫过的面积为：． 24. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE ． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：连结OA． ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD． ∵DA平分∠BDE， ∴∠ODA＝∠EDA． ∴∠OAD＝∠EDA， ∴EC∥OA． ∵AE⊥CD， ∴OA⊥AE． ∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线． （2）5． 【解析】 【分析】（1）连接OA，根据等边对等角得出∠ODA＝∠OAD，进而得出∠OAD＝∠EDA，证得EC∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线； （2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF＝AE＝4cm，根据垂径定理得出DF＝CD＝3cm，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径． 【详解】（1）略 （2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F． ∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°， ∴四边形AOFE是矩形． ∴OF＝AE＝4cm． 又∵OF⊥CD， ∴DF＝CD＝3cm． 在Rt△ODF中，OD＝＝5cm， 即⊙O的半径为5cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A． （1）求抛物线的对称轴； （2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标； （3）已知点P(0，2)，Q，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）点B的坐标为；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解； （2）先求出点A的坐标，再求出其对称性即可求解； （3）根据题意作图，根据函数图象的性质即可求解． 【详解】解：（1）由抛物线，可知． ∴抛物线的对称轴为直线． （2）∵抛物线与y轴交于点A， 令x=0，y=1 ∴点A的坐标为． ∵点B是点A关于直线的对称点， ∴点B的坐标为． （3）∵点A ，点B ，点 P，点Q， ∴点 P在点A 的上方，点Q在直线上． ①当时，，点Q在点A的右侧． （i）如图1，当，即时，点Q在点B的左侧， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点； （ii）如图2，当，即时，点Q在点B的右侧，或与点B重合， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点 ②当时，，点Q在点B的左侧． （i）如图3，当，即时，点Q在点A的右侧，或与点A重合， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点； （ii）如图4，当，即时，点Q在点A的左侧， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点． 综上所述，a的取值范围是或． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意画图求解． 26. 利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 【答案】任务一：方案一、；方案二、 任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船不能顺利通过 【解析】 【分析】任务一：方案一，设圆心为O，连接，根据，得，结合，知直线过点O，根据，得，得，得是等边三角形，得；方案二，根据顶点C坐标为，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解； 任务二：方案一，连接，设交于I，根据矩形性质得，得，得，结合半径为10得到，得，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时，，即可判断． 【详解】解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接． ∵， ∴． ∵， ∴，直线过点O． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． 故半径为． 方案二， ∵顶点C坐标为， ∴设桥拱的函数解析式为． ∵， ∴． 代入得． 解得． 故函数解析式为． 任务二： 方案一， 如图，连接，设交于I． 由上知， ∵矩形中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故货船能顺利通过． 方案二， 如图，∵， ∴H横坐标为5． ∴． 故货船不能顺利通过． 【点睛】本题考查了二次函数和圆的实际应用．熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质，弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，矩形性质，是解题关键． 27. 在中，，，点是外一动点（点，点位于两侧），连接，． （1）如图1，点是的中点，连接，，当为等边三角形时，的度数是______； （2）如图2，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，是的外接圆，点在上，点为上一点，连接，，当，时，直接写出面积的最大值及此时线段的长． 【答案】（1） （2） 解：线段，，之间的数量关系为：，理由如下： 过点作交的延长线于点，如图所示： 则， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ； （3）面积的面积最大值为，此时， 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，，再由等边三角形的性质得，，然后求出，即可求解； （2）过点作交的延长线于点，证，得； （3）连接，由勾股定理得，过点作于，延长交圆于点，此时点到的距离最大，面积的面积最大，然后由三角形面积求出，则，即可求解三角形的面积最大值，最后用勾股定理借助（2）的结论求出，即可求出． 【小问1详解】 解：，，点是的中点， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， 是的外接圆， 是的中点， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 是定值， 点到的距离最大时，面积的面积最大， 是的直径， 过点作于，延长与的交点恰好是点时，点到的距离最大，面积的面积最大， ， ， ， ， 此时，在直角中，， 在直角中，， 在直角中，， 由（2）知，， ， ， ， 即面积的面积最大值为，此时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和圆周角定理． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦 (，分别是B，C的对应点)，则称线段是以直线l为轴的的“关联线段”．例如，图1中线段是以直线l为轴的的“关联线段”． （1）如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数． ① 在线段，，中，以直线：为轴的的“关联线段”是 ； ② 在线段，，中，存在以直线：为轴的的“关联线段”，求b的值； （2）已知直线：交x轴于点A．在中，，，若线段是以直线为轴的的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的的长． 【答案】（1）①；② 1或3 （2）m的最大值为，；m的最小值为，． 【解析】 【分析】（1）①根据题中定义即可画图得出；②通过判断直线，的最长的弦即直径为4，可排除，，所以成为的弦，根据圆的对称性，分两种情况讨论； （2）画与关于直线：对称，以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，画出图形即可求出m的最大值和最小值，通过勾股定理即可求出． 【小问1详解】 解：①如图所示： ∴以直线：为轴的的“关联线段”是 ； ② ∵直线：与x轴夹角为， ∴线段直线， ∴线段关于直线的对称线段还在直线上，不可能是的弦， ∵的最长的弦即直径为4， ， ∴线段的对称线段不可能是的弦； ∵线段直线，且， ∴线段的对称线段可以是的弦． 线段的对称线段， 且． 如图，平移线段使之成为的弦，有两种情况： (ⅰ) ，的坐标分别为，，此时； (ⅱ) ，的坐标分别为，，此时． 综上所述，或3． 【小问2详解】 解：画与关于直线：对称， ∵， 以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件， ∵与关于直线对称， 则与至少有一个交点，如图所示， 此时m取得最小值； 此时m取得最大值； 把代入直线：得：， ∴点A的坐标为， ∵与至少有一个交点， ∴， 解得：， ∴m的最大值为，m的最小值为； 连接、、，过点C作，如图所示， ∵，的半径为2， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 连接、、，过点C作如图所示， ∵，的半径为2， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了圆的几何问题，难度较大，正确理解新定义和考虑到以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市回民学校 2024-2025学年度第一学期期中练习（11月） 初三数学 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 一张薄纸，一双巧手，在一剪一刻间幻化出千姿百态的美丽图案，令人叹为观止，这就是剪纸艺术．剪纸作品形式多样，以下剪纸作品中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线经过点，则b的值是（ ） A. －1 B. －2 C. －3 D. 3 3. 下列关于抛物线的说法正确的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 在对称轴的右侧，随的增大而增大 C. 顶点坐标为 D. 当，有最大值是2 4. .车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（ ） A. 圆上各点到圆心的距离相等 B. 直径是圆中最长的弦 C. 同弧所对的圆周角相等 D. 圆是中心对称图形 5. 某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为，根据题意得方程（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 小明将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 8. 如图，抛物线与轴交于点，交y轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴与点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若点为对称轴上的动点，则有最大值，最大值为．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是____． 10. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 11. 的半径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 _______． 12. 若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________． 13. 二次函数的对称轴为，则的值是___． 14. 如图，四边形内接于，为延长线上的一点．若．则的度数是________． 15. 马面裙(图1)叉名马面褶裙，是我国古代女子穿着的主要裙式之一．如图2，一条马面裙裙面可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A，D分别为，的中点，，则该马面裙裙面的周长为________． 16. 如图，在矩形中，，，是矩形上方一个动点．且满足，连接，则的最大值是______． 三、解答题（共68分） 17. 解一元二次方程：． 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． （1）在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； （2）判断与轴的位置关系： ． 20. 已知抛物线经过点 （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）画出函数的图象 （3）当时，结合函数图象直接写的取值范围． 21. 如图，是的直径，是的弦，直径过的中点．求证：． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 23. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕点O逆时针旋转后的； （2）在（1）的条件下，求线段扫过的面积(结果保留)． 24. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE ． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 25. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A． （1）求抛物线的对称轴； （2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标； （3）已知点P(0，2)，Q，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 26. 利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 27. 在中，，，点是外一动点（点，点位于两侧），连接，． （1）如图1，点是的中点，连接，，当为等边三角形时，的度数是______； （2）如图2，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，是的外接圆，点在上，点为上一点，连接，，当，时，直接写出面积的最大值及此时线段的长． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦 (，分别是B，C的对应点)，则称线段是以直线l为轴的的“关联线段”．例如，图1中线段是以直线l为轴的的“关联线段”． （1）如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数． ① 在线段，，中，以直线：为轴的的“关联线段”是 ； ② 在线段，，中，存在以直线：为轴的的“关联线段”，求b的值； （2）已知直线：交x轴于点A．在中，，，若线段是以直线为轴的的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $