3.6 二元一次方程组的解法 课件-2025-2026学年湘教版数学七年级上册

第1课时 代入消元法 第3章 一次方程（组） 3.6 二元一次方程组的解法 湘教版数学七年级上册 1 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔? 解：设免有 x 只，则鸡有 (35－x) 只. 4x + 2(35－x) = 94. 解：设兔有 x 只，鸡有 y 只. 4x＋2y＝94 x＋y＝35 还有其他的方法解二元一次方程组吗？ 用代入法解二元一次方程组 1 观察下面两种列方程的方式，你能找出更简单的解二元一次方程组的办法吗？ 设一个未知数 设两个未知数 兔 x x 鸡 35 - x y 等量关系式 4x + 2(35 - x) = 94 x＋y＝35， 4x＋2y＝94. 合作探究 ∠1 = ∠2 4x + 2y = 94 y = 35 - x ， 2(35 - x ) 4x+2(15 - x)=94 ① ② x = 12 y = 23 将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做消元思想. 转化 ∴ 方程组 的解是 x = 12， y = 23. 总结 x＋y＝35， 4x＋2y＝94 典例精析 转化 代入 求解 回代 写解 把 y 用 1代入③式，得 x = 2. 两边都除以 2，得 x = 2y. ③ 解：将方程①移项，得 2x = 4y ， 2x－4y＝0 ， 5x－7y = 3. ① ② 例1 解二元一次方程组： 解得 y = 1. 注意：检验方程组的解. 把③式代入方程②中，得 5×2y－7y = 3. x = 2， y = －1 因此， 是原二元一次方程组的解 做一做 2x－4y＝0 ， 5x－7y = 3. ① ② 例1 解二元一次方程组： 两边都除以 4，得 y = x. ③ 解：将方程①移项，得 2x = 4y ， 把 x 用 2代入③式，得 y = 1. 解得 x = 2 . 用消去未知数 y 的方法能否求出例 1 中方程组的解? 动手试一试. x = 2， y = －1 因此， 是原二元一次方程组的解. 思考：把③代入①可以得解吗？ 把③式代入方程②中，得 5x－7× x = 3. 2x－3y＝－1 ， 3x＋2y = 18. ① ② 例2 解二元一次方程组： 把 y 用 3 代入③式，得 x = 4. 解得 y = 3. 因此， 是原二元一次方程组的解. x = 4， y = 3 解：将方程①移项、两边都除以 2，得 x = y－. ③ 把③式代入方程②中，得 3( y－)＋2y = 18 代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 转化 代入 求解 回代 写解 检验 由①得 y=35-x③ 将③代入② 4x+2(35-x) = 94 解得x=12 x＋y = 35，① 4x＋2y = 94 ② 将x=12代入①，得y=23 举例： 方法总结 练一练 所以这个方程组的解为 解：将方程①移项、两边都除以 3，得 ，③ 把③式代入方程②中，得 , 解得 y = 1. 把 y 用 3 代入③式，得 . 1. 解二元一次方程组：(1) （2） 把 代入①，得 . 解：把①整体代入②，得 ， 解这个方程，得 . 所以这个方程组的解是 2. 解方程组： 解：将原方程组整理，得 由①，得 ，③ 把③代入②，得 ，解得 . 把 代入③，得 . 所以原方程组的解为 做一做 若方程 5x2m+n + 4y3m-2n = 9 是关于 x、y 的二元一次方程，求 m 、n 的值. 解： 由题意可列方程组 2m + n = 1 3m - 2n = 1 ① ② 由①得 把③代入②得 n = 1 - 2m. ③ 3m – 2(1 – 2m) = 1. 把 m 代入 ③，得 最终思想 消元——解二元一次方程组 代入消元法的步骤 代入消元法的常用解题技巧 将两个未知数变成一个未知数求解---____ 转化→代入→求解→ ____→写解→____ 回代 检验 消元 转化 整体代入 基础练习 y = 2x，　　 x + y = 12；　 (1) (2) 2x = y - 5， 4x + 3y = 65. x = 4， y = 8. 答案： (1) 1.用代入消元法解下列方程组. (2) x = 5， y = 15. （3） 解：将原方程组整理，得 由①，得 ，③ 把③代入②，得 ，解得 . 把 代入③，得 . 所以原方程组的解为 2.[邯郸汉光中学期中]若 与 是同类项， 则 的值为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 因为 与 是同类项（同类项中，相同字母的指数相同），所以 解得 所以 . 3. 先阅读材料，然后解方程组. 材料：解方程组 在本题中，先将 x + y 看作一个整体，将①整体代入②，得 3×4 + y = 14. 解得 y = 2. 把 y = 2 代入①，得 x = 2. ∴方程组的解为 这种解法称为“整体代入法” 请用这种方法解方程组 解：把①代入②，得 4 - y = 5. 解得 y = -1. 把 y = -1 代入①，得 x = 0， ∴方程组的解为 北师大 数学 一年级 上册 第2课时 加减消元法 第3章 一次方程（组） 3.6 二元一次方程组的解法 湘教版数学七年级上册 19 问题 1：消元法的基本思路？ 问题 2：说一说代入消元法的主要步骤. 二元 一元 代入消元： (4) 回带 再把求出的未知数的值代入前面的代数式 (3) 求解 求出该未知数的值 (2) 代入 把这个代数式代入另一个方程中 (1) 转化 把其中一个未知数用含有另一个未知数的 代数式表示 (5) 写解 (6) 检验 用加减消元法解二元一次方程组 1 下面二元一次方程组中未知数 y 的系数有什么特点?这对解方程组有什么启发? 7x＋3y＝1， 2x－3y＝8. 7x＋3y＝1， 2x－3y＝8. 合作探究 + 3y 和 –3y 互为相反数， ①+②试试！ 按照这个思路，你能消去一个未知数吗？ ① ② ①左边＋ ②左边 ＝ ①右边＋②右边 7x + 3y + 2x－3y ＝ 9 9x ＝ 9 (7x＋3y) ＋ (2x－3y) ＝ 1 ＋ 8 合作探究 解方程： 解：由 ① + ② 得 把 x 用 1 代入方程①，得 7×1 + 3y = 1， 解得 y = －2. 9x = 9， 两边都除以 9，得 x = 1. 7x＋3y＝1， 2x－3y＝8. ① ② 因此， 是原二元一次方程组的解. x = 1， y = －2 例1 解二元一次方程组： 2x＋3y＝－1， 2x－5y＝7. ① ② 解：由 ①－② 得 把 y 用 －1 代入方程①，得 3x＋3×(－1)＝－1， 解得 x＝1. 8y＝－8， 两边都除以 8，得 y＝－1. 因此， 是原二元一次方程组的解. x＝1， y＝－1 典例精析 1.同一未知数的系数互为相反数时， 把两个方程的两边分别 . 相加 2.同一未知数的系数相等时， 把两个方程的两边分别 . 相减 方法总结 3x + 5y = 21， ① 2x – 5y = -11. ② 1.解方程： 解： 由 ① + ② 得 将 x = 2 代入①得 6 + 5y = 21， 解得 y = 3. 所以原方程组的解是 x = 2， y = 3. 5x = 10， 两边都除以 5，得 x = 2. 练一练 x + 3y = 8, ① 5x + 3y = 16. ② 2. 请用加减法解二元一次方程组： 解：由②－① 得 4x = 8， 解得 y = 2. 所以原方程组的解为 x = 2， y = 2. 将 x 用 2 代入①得 2 + 3y = 8， 两边都除以 4，得 x = 2. 议一议 例2 解二元一次方程组： 2x＋3y＝－11， 6x－5y＝9. 2x+3y＝-11, 6x-5y＝9. 6x+9y＝-33， 6x-5y＝9. 如何消去某个未知数，使其转化为一个一元一方程 14y＝-42 ① ② ①×3 ③-② ③ ② 2x+3y＝-11, 6x-5y＝9. 10x+15y＝-55, 18x-15y＝27. 28x＝-28 ① ② ③ ④ ①×5 ②×3 ③+④ 消 x 消 y 例2 解二元一次方程组： 2x＋3y＝－11， 6x－5y＝9. 解：①×3 得 (6x＋9y)－(6x－5y)＝－33－9， 解得 x＝－1. 6x＋9y＝－33 ③ ③-②，得 因此， 是原二元一次方程组的解. x＝－1， y＝－3 去括号，得 6x＋9y－6x＋5y＝－33－9， 合并同类项，得 14y＝－42， 两边都除以14，得 y＝－3， 把 y 用－3代入方程①，得 2x＋3×(－3)＝－ll， 练一练 3. 用加减法解方程组： ① ② 解：①×3 得 所以原方程组的解是 ③ - ④ 得 y = 2. 把 y＝2 代入 ①， 解得 x＝3. ②×2 得 6x + 9y = 36. ③ 6x + 8y = 34. ④ 3.同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，可利用等式的性质变形，使得某一未知数的系数 ，再运用加减消元法求解. 相等或互为相反数 找系数的最小公倍数 方法总结 由 ① - ② 得 y = -1. 把 y 用 -1 代入② 解得 所以原方程组的解是 4. 用加减消元法解方程组： 解：将原方程组整理为： 2x＋3y＝4， 2x－y＝8. ② ① 最终思想 消元——解二元一次方程组 将两个未知数变成一个未知数求解---____ 加减消元法的步骤 变形→加减→求解→ ____→写解→____ 回代 检验 消元 加减消元法的解题技巧 方程组中同一个未知数的系数的绝对值____或__________ 相等 成整数倍 解：①×2得 6x + 4y = 16. ③ ③ - ②得 9y = 63， 解得 y = 7. 把 y = 7 代入①得 3x + 2×7 = 8， 解得 x = -2. 因此原方程组的解是 1. 用加减消元法解下列方程组： (1) ① ② 基础练习 解：①×4得 12x + 16y = 44. ③ ②×3得 12x - 15y = -111. ④ ③-④得 31y = 155， 解得 y = 5. 把 y = 5 代入① 得 3x + 4×5 = 11， 解得 x = -3. 因此原方程组的解是 (2) ① ② 解：①×5 得 10x - 25y = 120. ③ ②×2得 10x + 4y = 62 . ④ ③-④得 -29y = 58， 解得 y = -2. 把 y = -2 代入 ① 得 2x - 5×(-2) = 24， 解得 x = 7. 因此原方程组的一个解是 (3) ① ② 1. 若 ，则 x + 2y = ____. 2. 已知 2ayb3x+1 与 -3ax-2b2-2y 是同类项，则 x = ， y =____. -3 1 -1 的解，求 m 与 n 的值. 3. 已知 是方程组 能力提升 谢谢聆听 38 $$