3.2.2双曲线的简单几何性质 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

数学 必修第一册 舒城一中　　高二（7） *3.2.2 双典线的简单几何性质 2024/11/3 第三章 圆锥曲线的方程 （第1课时） 制作：文老师 1 温故知新 一般地，我们把平面内与两定点 ，的距离的差的绝对值等于非零常数 (小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 2.双曲线的标准方程 1.双曲线的定义 焦点在轴上的双曲线方程为 焦点在轴上的双曲线方程为 化成标准形式，焦点跟着正项走. 定义 图形 方程 焦点 a,b,c 的关系 | |MF1|-|MF2| | =2a (0 < 2a<|F1F2|) F1(-c, 0),F2(c, 0) 由方程定焦点：椭圆看大小, 双曲线看正项. F1(0,-c),F2(0,c) 化成标准形式，焦点跟着正项走. 复习引入 3 问题1：如何研究双曲线的简单几何性质？ 新知探究 类比研究椭圆的简单几何性质的方法，分别从“形”的角度和“数”的角度研究范围，对称性，顶点，离心率等。 问题2：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 追问：有没有双曲线所特有的性质？ 椭圆 顶点 对称性 离心率 双曲线 ? 对称性 离心率 顶点 范围 范围 新知探究 双曲线的简单几何性质 （1）范围 “形”的角度：观察双曲线： O y 双曲线上的点的横坐标的范围是或，纵坐标的范围是. “数”的角度验证： 双曲线上的点的横坐标的范围是或，纵坐标的范围是. 双曲线上的点的横坐标的范围是或，纵坐标的范围是. 新知探究 新知探究 （2）对称性 o “形”的角度： 双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称。原点（0，0）为双曲线的中心。 将双曲线上的点等分别代入方程，均满足。 “数”的角度： 所以双曲线关于坐标轴、原点对称。 与椭圆不同 （3）顶点 新知探究 “形”的角度： 1、双曲线与轴有两个交点 o 2、双曲线与轴没有交点. “数”的角度： 令，得到或 所以和 令,,没有实数解，则双曲线与y轴没有公共点. 追问1：能否把画在轴上？ 新知探究 F1 F2 O • • A1 • A2 • B1 • 2a 2b y 实轴：线段 虚轴：线段 追问1：虚轴有什么作用呢？ 矩形的对角线后来成了双曲线的渐近线 线段A1A2，B1B2分别叫作双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为2a和2b．双曲线的中心O分别将实轴、虚轴等分，a和b分别叫作实半轴长和虚半轴长． 特别地，实轴与虚轴等长的双曲线，称为等轴双曲线． 1.已知双曲线方程为 x²-8y2=32，则( ) A.实轴长为4，虚轴长为2 B.实轴长为，虚轴长为4 . C.实轴长为2，虚轴长为4. D.实轴长为4，虚轴长为8. 课堂练习 10 新知探究 （4）渐近线 在双曲线,位于第一象限的直线上画一点，测量点的横坐标以及它到直线,的距离 d，向右拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么？ 可以发现，点的横坐标越来越大， 越来越小，但是始终不等于0. 实际上，经过两点，作轴的平行线，经过两点作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是.可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交. 新知探究 双曲线 在无限延伸的过程中无限接近两条直线,这两条直线称为双曲线的渐近线．渐近线斜率为： 双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。 对于双曲线 和它的渐近线 ， 将方程中的x 与y 互换，就得到双曲线 即 ． 的渐近线方程 ， 利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 新知探究 13 y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • 等轴双曲线 新知探究 或 2.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=x的是（ ） A. B. C. D. 3.思维辨析（对的画"√"，错的画“×”） （1）双曲线=1与=1(a>0,b>0)的形状相同.( ) （2）双曲线=1的渐近线与=1的渐近线(a>0,b>0)相同.( ) 课堂练习 16 （5）离心率 新知探究 与椭圆类似，双曲线的半焦距与实半轴长的比叫作双曲线的离心率． o 因为c > a > 0 ，所以双曲线的离心率：>1 ∵ ∴ 追问：等轴双曲线的离心率为多少？ 新知探究 o 反映双曲线“张口”的大小 越大 “张口”越大 越小 “张口”越小 方程 图形 顶点 对称 范围 焦点 离心率 渐近线 (±a , 0 ) (±c , 0 ) ( 0, ±a ) ( 0, ±c ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） | x | ≥ a | y | ≥ a y o x x y o 归纳小结 例1、求双曲线 =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程, 并画出双曲线草图. 解： 3 -3 4 -4 x y O • • F1(0,-5) F2(0,5) 典例分析 注意！运用性质时一定要注意焦点位置。 例2 、求适合下列条件的双曲线的标准方程： 典例分析 （1）焦点在轴上，实轴长是10，虚轴长是8； 解：设双曲线的标准方程为： 双曲线的标准方程为： 由题意可知， 双曲线的标准方程为： （2）焦点在轴上，焦距是10，虚轴长是8； 典例分析 例2 、求适合下列条件的双曲线的标准方程： 解：设双曲线的标准方程为： 由题意可知， 所以 22 课堂练习 （ （ 典例分析 例3、当为何值时，方程表示下列曲线： （1）圆 （2）椭圆 （3）双曲线 解：（1）当时，为圆。 （2）当时为椭圆，焦点在轴上； 当时为椭圆，且焦点在y轴上。 （3）当 1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程. 解： 课后作业 P124 25 1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程. 解： 课后作业 26 解： 课后作业 27 练习1 解： 课外作业 结论：双曲线的焦点到渐近线的距离恒等于b. 练习2 x y O F1 F2 • • 课外作业 1. 根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2) 以双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程可设为　 (1) 渐近线方程为 的双曲线方程可设为　 2. 巧设双曲线方程的技巧 课后小结 课后小结 课后小结 32 1.“共渐近线”的双曲线的应用: 表示焦点在x轴上的双曲线；表示焦点在y轴上的双曲线. 2.若已知渐近线方程为,双曲线方程可设为=) 课后拓展 33 (3)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ＞0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． (4)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)． 3.求双曲线离心率的方法 1.若可求得a，c，则直接利用e＝eq \f(c,a)得解． 2.若已知a，b，可直接利用e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))得解． 3.若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数， 且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． $$