精品解析：北京市昌平区阳坊学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第一学期昌平区阳坊学校 初二年级期中质量抽测 数学试卷 2024.10 本试卷共5页，三道大题，28个小题，满分100分．岁试时间120分钟．为生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 2. 4的算术平方根是( ) A. 2 B. -2 C. ±2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：∵22=4， ∴4的算术平方根是2． 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根的求解，解题的关键是掌握算术平方根是非负数． 3. 下列各式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答. 【详解】A、被开方数含分母，错误. B、满足条件，正确. C、被开方数含能开的尽方的因数或因式，错误. D、被开方数含能开的尽方的因数或因——错误. 所以选：B. 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键. 4. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，进行判断即可． 【详解】解：A、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； B、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形正确，符合题意； D、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如果实数a=，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】估计的大小，进而在数轴上找到相应的位置，即可得到答案. 【详解】 由被开方数越大算术平方根越大， 即 故选C. 【点睛】考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数的大小，解决本题的关键是估计的大小. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 是9的一个平方根 B. C. 的立方根是和 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，平方根和立方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根；对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：A、是9的一个平方根，原说法正确，符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、的立方根是，原说法错误，不符合题意； D、，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 7. 将公式（均不为零，且）变形成求的式子，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式的性质即可求出答案． 【详解】，所以． 故选：A． 【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，属于基础题型． 8. 某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带. 方案一如图甲所示，绿化带面积为S甲：方案二如图乙所示，绿化带面积为S乙. 设，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求S甲=2ab-b2，S乙=2ab，代入可求k的取值范围． 【详解】∵S甲=2ab-b2，S乙=2ab． ∴ ∵a＞b＞0 ∴＜k＜1 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，能用代数式正确表示阴影部分面积是本题的关键． 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 约分：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的约分，分子和分母同时除以即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 11. 若分式的值是0，则x的值为_______． 【答案】2. 【解析】 【分析】根据分式分子为0分母不为0的条件，要使分式的值为0，则必须，从而求解即可. 【详解】解：由题意可得： 解得： 故答案为：2. 【点睛】本题考查分式的值为零的条件，掌握分式值为零即分子为零且分母不为零是本题的解题关键． 12. 不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，_______ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10即可得到答案． 【详解】解：把分式的分子分母同时乘以10得， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若分式的值为正，则x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，且，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且； 故答案为：且． 14. 若实数满足，则代数式的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握非负数的性质，则，，求出，，进行计算，即可． 【详解】∵实数满足且，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 如果实数a在数轴上的位置如图所示，那么 =_____． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】由图可知：， ∴a-2<0,a-1>0 ∴. 故答案为1． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键． 解这类题时，首先要从数轴上获取各数的正、负信息和各数间的大小关系，再由此确定出需化简式子中被开方数中的底数的正负，这样即可根据= 将相关式子化简了． 16. 用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为_______个，请同学们写出一个真命题_______． 【答案】 ①. 3 ②. 如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件 为结论时，据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明． 【详解】解：当选取，作为条件，为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件，为结论时， ∵， ∴当时，则 ，即，符合题意； 当时，则 ，即，不符合题意； ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件 为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么． 故答案为：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么． 三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28思，每小题7分，共68分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，熟知同分母分式减法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式除法计算，先计算乘方，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 19. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】运用平方差公式进行因式分解 ，再根据异分母分式的运算法则进行通分，然后对分子进行合并同类项，再约分即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则和公式． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式，平方差公式的运用，先将括号里的式子通分化简，再将除法变为乘法约分化简即可． 【详解】解： ． 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内进行通分计算，再将除法变为乘法计算，由可得，整体代入即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ 因为，所以， 代入得． 【点睛】本题考查分式的化简求值，注意整体代入思想的应用． 23. 已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15． （1）求x的值； （2）求a+1的立方根． 【答案】（1）x＝2；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据正数a的两个平方根互为相反数列式求出x的值即可； （2）把（1）中求出的a的值代入a+1，然后再求立方根即可． 【详解】解：（1）∵一个正数a的两个平方根分别是x+5和4x﹣15， ∴（x+5）+（4x﹣15）＝0， ∴5x﹣10＝0，解得x＝2； （2）由（1）得x＝2， ∴a＝（2+5）2＝49． a+1＝×49+1＝7+1＝8， ∴a+1的立方根是：＝2． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质、立方根的性质等知识点，一个正数的两个平方根互为相反数；一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 24. 阅读材料，然后作答： 在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：；，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化： 例如：； 请仿照上述方法解决下面问题： (1)化简； (2)化简． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】根据题意即可求出答案． 【详解】解：（1）原式＝ = = （2）原式＝ = 【点睛】本题考查分母有理化，解题的关键是熟练运用平方差公式. 25. 列方程解决实际问题： 为了提高学生体育锻炼的意识和能力，丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，且用2250元购买甲种跳绳与用3000元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？ 【答案】甲种跳绳的单价为15元，则乙种跳绳的单价为20元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为元，再根据用2250元购买甲种跳绳与用3000元购买乙种跳绳的数量相同建立方程求解即可． 【详解】解：设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种跳绳的单价为15元，则乙种跳绳的单价为20元． 26. 阅读下面文字，解答问题． 是无理数．无理数是无限不循环小数，小明用表示它的小数部分，理由是：的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分， 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 参考小明的做法解答： （1）如果的整数部分为m，小数部分为n，则_______； （2）如果，其中x是整数，且，则_______． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算： （1）先估算出，再参照小明的做法求出m和n，代入计算即可； （2）先估算出，再参照小明的做法求出的整数部分和小数部分，即可求出，的值，将，的值代入中计算求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 的整数部分为， ∴小数部分为． ，， ， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：， ∴， 的整数部分为，小数部分为． ，即，其中是整数，且， ，； ∴ ， 故答案为：． 27. 信息1：我们已经学完了解分式方程，它的一般步骤为：确定最简公分母、化为整式方程、求出整式方程的解、进行检验（第一，代入最简公分母验证是否为零，第二代入分式方程的左右两边检验是否相等）、确定分式方程的解.其中代入最简公分母验证这一步也就是在验证所有分式在取此值时是否有意义； 信息2：遇到这种特征的题目，可以两边同时平方得到； 信息3：遇到这种特征的题目，可以将左边变形，得到，进而可以得到或. 结合上述信息解决下面的问题： 问题1：如果.可得：； 问题2：解关于b的方程：. 【答案】， 【解析】 【分析】问题1，根据信息2，方程两边同时平方求得a的值，再进行检验即可得解； 问题2，根据信息3，方程两边同时平方，再运用因式分解法解方程，最后再进行检验即可. 【详解】解：问题1：， 问题2： 两边同时平方得： 或 检验：当时，右边=﹣1，由于 ∴不符合题意（舍去） ∴. 【点睛】考查了无理方程的知识，解题的关键是了解无理方程可能产生增根，必须检验． 28. 我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式：________________； （2）若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； （3）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 【答案】（1） （2），或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； 【小问3详解】 解： ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期昌平区阳坊学校 初二年级期中质量抽测 数学试卷 2024.10 本试卷共5页，三道大题，28个小题，满分100分．岁试时间120分钟．为生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 4的算术平方根是( ) A. 2 B. -2 C. ±2 D. 4 3. 下列各式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 4. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果实数a=，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 是9的一个平方根 B. C. 的立方根是和 D. 7. 将公式（均不为零，且）变形成求的式子，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带. 方案一如图甲所示，绿化带面积为S甲：方案二如图乙所示，绿化带面积为S乙. 设，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 约分：_______． 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 11. 若分式的值是0，则x的值为_______． 12. 不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，_______ 13. 若分式的值为正，则x的取值范围是________． 14. 若实数满足，则代数式的值是_______． 15. 如果实数a在数轴上的位置如图所示，那么 =_____． 16. 用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为_______个，请同学们写出一个真命题_______． 三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28思，每小题7分，共68分） 17. 计算： 18. 计算： 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 解方程：． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15． （1）求x的值； （2）求a+1的立方根． 24. 阅读材料，然后作答： 在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：；，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化： 例如：； 请仿照上述方法解决下面问题： (1)化简； (2)化简． 25. 列方程解决实际问题： 为了提高学生体育锻炼的意识和能力，丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，且用2250元购买甲种跳绳与用3000元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？ 26. 阅读下面文字，解答问题． 是无理数．无理数是无限不循环小数，小明用表示它的小数部分，理由是：的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分， 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 参考小明的做法解答： （1）如果的整数部分为m，小数部分为n，则_______； （2）如果，其中x是整数，且，则_______． 27. 信息1：我们已经学完了解分式方程，它的一般步骤为：确定最简公分母、化为整式方程、求出整式方程的解、进行检验（第一，代入最简公分母验证是否为零，第二代入分式方程的左右两边检验是否相等）、确定分式方程的解.其中代入最简公分母验证这一步也就是在验证所有分式在取此值时是否有意义； 信息2：遇到这种特征的题目，可以两边同时平方得到； 信息3：遇到这种特征的题目，可以将左边变形，得到，进而可以得到或. 结合上述信息解决下面的问题： 问题1：如果.可得：； 问题2：解关于b的方程：. 28. 我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式：________________； （2）若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； （3）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $