3.2双曲线章节检测卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

双曲线章节检测卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．双曲线上一点到右焦点的距离为8，则点到左焦点的距离为 （    ） A．12或6 B．2或4 C．6或4 D．12或4 2．双曲线的离心率为，的离心率为，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．4 3．若双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线与椭圆共焦点，且双曲线与直线相切，则（    ） A． B． C． D．1 6．设双曲线的左右焦点分别为若在曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径为，圆心记为，又的重心为，满足,则双曲线的离心率为． A． B． C． D． 7．已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，若的面积为，则的焦距的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（     ）. A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于曲线，下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线C表示椭圆 B．当时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则D．曲线C只能表示椭圆和双曲线 10．过双曲线的右焦点作渐近线的垂线交轴于点，垂足为点，若，则（    ） A．直线与圆相切 B．与有相同的焦点 C．的渐近线方程为 D．的离心率为 11．已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线上一点到焦点的距离为，则到焦点的距离为 . 13．过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 . 14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了三种圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分， 已知高，底面圆的半径为为母线的中点，平面与底面的交线 ，则双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）求长轴长为12，离心率为，焦点在轴上的椭圆标准方程； （2）已知双曲线的渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程． 16．已知过点的双曲线C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线与双曲线C交于不同的两点A，B，线段的中点在圆上，求实数m的值. 17．已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为60°，且上的点到的距离的最小值为1． (1)求的方程； (2)设点，，动直线：与的右支相交于不同两点，，且，过点作，为垂足，证明：动点在定圆上，并求该圆的方程． 18．已知椭圆：的长轴顶点与双曲线的焦点重合，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，求点到轴的距离. 19．已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A D C C C BC ABD 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】由题知，利用双曲线的定义得，代入即可求解即可. 【详解】设双曲线的左右焦点分别为，由题知，所以，解得或4，故点到左焦点的距离为4或12. 故选：D. 2．C 【分析】根据双曲线离心率公式，由即可求解. 【详解】由题意可得双曲线的离心率， 的离心率为， 所以， 当且仅当时取等号，其最小值为. 故选：C 3．A 【分析】先由渐近线方程，得出，进而得到，再利用右焦点到渐近线的距离为，得出，写出双曲线方程即可. 【详解】由于双曲线的一条渐近线方程为， 即， 因为双曲线的渐近线方程为：， 可得：，即， 从而， 双曲线右焦点的坐标为， 则到渐近线的距离为：， 且到渐近线的距离为， 得，即，， 所以双曲线的方程为：， 故选：A. 4．A 【分析】先求得双曲线的渐近线，然后利用圆心到渐近线的距离小于圆的半径列不等式，由此求得双曲线离心率的取值范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，圆的方程可化为.若渐近线与圆有公共点，则，即，，，，离心率，，.又，. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，属于中档题. 5．D 【分析】根据椭圆与双曲线焦点的性质可，再联立直线与双曲线的方程，根据判别式为0得出等式，代入求解即可. 【详解】因为双曲线与椭圆共焦点，所以，即． 又双曲线与直线相切，由，化简得， 所以，即， 将代入方程化简得，即，，故，解得或（舍去）． 故选：D． 6．C 【分析】由，可得，则，由，结合双曲线的定义可求得，代入椭圆方程中化简可求出离心率 【详解】由轴得：，则， 所以， 又，得， 由，得 ， 化简得， 因此，代入椭圆方程得， 化简得， 所以离心率. 故选：C 7．C 【分析】根据已知条件以及几何关系先确定，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】根据题意双曲线的一条渐近线方程为，即，    设点到渐近线的距离为，则， 所以，因为，，所以， 所以，所以；的焦距为， 又，当且仅当时，等号成立. 故选：C 8．C 【分析】设，进而可得.可求得，进而求得的范围即可. 【详解】设， ，， .在△与△中：， 即：， ， 当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，， 当与轴重合时，取最小，此时， 经上述分析得：，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的焦点三角形问题，考查焦点三角形内切圆，解题的关键是根据双曲线的性和圆的切线的性质得到的范围，数形结合的思的应用. 9．BC 【分析】根据圆，椭圆和双曲线的方程判断. 【详解】解：若曲线C表示椭圆，则，解得且，故A错误； 曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故B正确； 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 当时，方程为，表示圆，故D错误； 故选：BC 10．ABD 【分析】作出图象，利用直角三角形全等易得焦点到渐近线的距离为,并得到进而在直角三角形中利用射影定理得到的关系，得到渐近线方程，离心率和椭圆的焦点坐标，从而对各选项作出判定. 【详解】过双曲线的右顶点作轴的垂线交渐近线于点,则, 不妨设在轴上方，则 ,，， ∴ ∴,， 由已知得, 由，得,∴,∴ ∴双曲线的渐近线为,故C错误； ， ∴，故D正确； ∵⊥直线,且,∴直线与圆相切，故A正确； 双曲线的焦点为,, ,即，为中心在原点焦点在轴上的椭圆， 半焦距,焦点坐标为,. ∴与有相同的焦点，故B正确. 故选:ABD. 11．AC 【分析】分点位于第一象限时，点位于第二象限，和点位于第四象限，点位于第一象限两种情况结合双曲线的对称性和性质以及对勾函数的单调性求解即可. 【详解】如图，当点位于第一象限时，点位于第二象限，设直线的斜率为， 则直线的斜率为， 因为渐近线方程为，所以，， 所以，因为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而时，；时，；时，， 所以的取值范围为； 当点位于第四象限，点位于第一象限，同理可得的取值范围为． 综上所述，的取值范围为. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合双曲线的对称性和性质得到，，进而求得的取值范围，从而结合对勾函数的单调性确定的取值范围. 12． 【分析】利用双曲线定义结合可求得的值. 【详解】在双曲线中，，，，. 由双曲线的定义知，又，所以或（舍去）. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线上的点到焦点的距离，同时也要注意双曲线上的点到焦点距离的取值范围的限制，考查计算能力，属于基础题. 13．2. 【详解】试题分析：设双曲线左焦点F(-c，0)，M(-c，)，N(-c，) ，( >0) ∵点M(-c，)在双曲线上，∴ ∴，即 FM =， 又∵FM =c + a ，∴ =c+ a ，∴ =c+ a 两边同除以a，得 = 2，即离心率 e = 2． 考点：本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质． 点评：常见题型，关键是熟悉离心率的表达式，利用函数方程思想构建关于e的方程． 14．/0.6 【分析】以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立坐标系，求出坐标代入双曲线方程，进而求得渐近线方程，先求出两渐近线所夹锐角的正切值，再求余弦值即可. 【详解】设交于， 以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立如图所示坐标系， 因为圆锥的高，是中点，且截面垂直于底面， 所以，所以， 又因为底面圆半径， 所以，，所以， 设双曲线方程为，将，，代入解得， 则双曲线的两条渐近线方程为， 由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为， 所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为， 故答案为： 15．（1）；（2）. 【分析】根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质求解即可. 【详解】（1）设椭圆方程为：且a > b > 0， ，， ， ， 故椭圆方程为：； （2）的焦点为：， 根据题意得到：，则，解得：， 故， 故双曲线的方程为：. 16．（1），（2） 【分析】（1）由于双曲线的渐近线方程为，所以设双曲线方程为，然后将点的坐标代入上式，求出的值，从而可得双曲线C的方程； （2）将直线方程代入双曲线方程，消去，整理后利用根与系数的关系可得，从而可得的中点坐标，而的中点在圆上，再将点的坐标代入圆方程中可求出实数m的值 【详解】（1）设双曲线的方程是， 则，解得， 所以双曲线的方程是，即. （2）将，代入消去，并整理得. 设，，线段的中点为， 则，， 所以，. 因为点在圆上， 所以.解得. 17．(1) (2)证明见解析， 【分析】(1) 根据渐近线斜率及到焦点距离最值列式求解即可. (2)根据角相等得出向量夹角相等，进而得出m,k的关系得出定点，最后根据垂直关系得出圆的方程. 【详解】（1）设, 则由已知得, 解得, 所以的方程. （2）由(1)得,, 设，则 于是, 同理, 由，得 即 即, 整理得， 因为，所以, 所以的方程可化为 因此过定点 . 又因为垂足为,所以动点 在以为直径的圆上， 该圆的方程为. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程； （2）设，根据列方程，结合在椭圆上求得，进而求得到轴的距离. 【详解】（1）对于双曲线，有， 且在椭圆上， 所以，解得，， ∴椭圆的方程为. （2）设，， 由，得①， 又②， 由①②解得， ∴点到轴的距离为. 19．(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据双曲线的离心率和所经过的点求得双曲线的方程. （2）利用点差法求得正确答案. （3）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用 【详解】（1）依题意，双曲线：的离心率为，且经过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，上两点，关于点对称， 由，两式相减并化简得， 所以直线的方程为. 由消去得，， 因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为. （3）根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以,.    【点睛】方法点睛： 离心率与焦点求双曲线方程：利用离心率的定义结合经过特定点的条件，可以唯一确定双曲线的方程.这种方法是求解双曲线方程的基础技巧. 点差法求直线方程：在涉及到对称点问题时，点差法是一种简单而有效的求解直线方程的方法，尤其适用于对称性明显的几何问题. 利用根与系数关系求解交点：在小问3中，通过联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系，可以简化交点的求解过程，是一种有效的代数方法. 学科网（北京）股份有限公司 $$