精品解析：河北省沧州市青县第五中学2024-2025学年上学期期末数学检测模拟试卷

2024-2025年上学期青县第五中学期末数学检测模拟试卷 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． 2. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：选项、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 如图所示的是小慧设计的一个美丽的图案，该图案是由两个圆心相同，半径分别为9cm和3cm的圆构成的，那么该图案中阴影部分的面积为（　　）cm2 A. 72π B. 60π C. 48 D. 36π 【答案】D 【解析】 【分析】阴影部分面积是两个圆面积的差的一半． 【详解】解：∵S大圆＝π•92＝81π（cm2），S小圆＝π•32＝9π（cm2）， ∴阴影部分的面积为（81π﹣9π）＝36πcm2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆的面积公式，明确阴影部分的面积是两个圆面积的差的一半是解答本题的关键． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 6. 关于的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，，，再计算，即可判断方程根的情况． 【详解】解：根据题意得：，，， ， 关于的一元二次方程的根的情况为有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 7. 如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理的应用；由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：B． 8. 如果用定长为的线段围成一个扇形，且使得这个扇形的面积最大，方法应为（ ） A. 使扇形所在圆的半径等于 B. 使扇形所在圆的半径等于 C. 使扇形的圆心角为60° D. 使扇形的圆心角为90° 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算出四种方式围成的扇形的面积，再比较即求解． 【详解】解：当扇形所在圆的半径等于时，则弧长为，则扇形面积 ； 当扇形所在圆的半径等于时，则弧长为，则扇形面积 ； 当扇形的圆心角为60°时，设扇形半径为r，则弧长为， ∴，解得：，则扇形面积 ， 当扇形的圆心角为90°时，设扇形半径为R，则弧长为， ∴，解得：，则扇形面积 ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查扇形面积与弧长计算，熟练掌握扇形面积与弧长计算公式是解题的关键． 9. 如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，连接，利用垂径定理可得是的垂直平分线，则；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵P是直径上的动点，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴当D，P，F在一条直线上时，取最小值， ∵， ∴最小值8，此时在E点，F在C点， 当在B点，F在C点时取最大值， ∵点F是弧上动点，且与点B、C不重合， ∴． 故选：C． 10. 如图，在中，，，，，P是上的一点，于点H，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，直径所对的圆周角是直角和勾股定理，当与的交点D落在上时，因为是直径，可以判定，证明推出，同理得到，进而证明垂直平分，求出的长度，进而求出的长度，最后证，即可求出的长度． 【详解】解：如图所示，当与的交点D落在上时， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故选：C． 11. 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n … 且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜，其中，正确结论的是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据图表信息可知图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），依据对称轴以及与系数的关系分析即可. 【详解】解：①根据图表可知： 二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2）， ∴对称轴为直线x＝＝，c＝﹣2， ∴a＞0，b＜0， ∴函数图象的顶点在第四象限内； ∴①正确； ②根据二次函数的对称性可知： （﹣2，t）关于对称轴x＝的对称点为（3，t）， 即﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根， ∴②正确； ③∵对称轴为直线x＝ ∴﹣＝， ∴b＝﹣a， ∵当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0， ∴a﹣b﹣2＞0，即a+﹣2＞0，∴a＞． ∵对称轴为直线x＝，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，m）（2，n）， ∴m＝n，当x＝﹣1时，m＝a﹣b+c＝a+a﹣2＝2a﹣2， ∴m+n＝4a﹣4，∵a＞． ∴4a﹣4， ∴③错误． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的性质及其图像性质，利用性质特征求出对称轴，顶点结合二次方程的根判断交点情况等. 12. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线y＝x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：①PO2＝PA•PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；③当k＝﹣时，BP2＝BO•BA；④△PAB面积的最小值为4，其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】（1）说法①错误．如答图1，设点A关于y轴的对称点为A′，若结论①成立，则可以证明△POA′∽△PBO，得到∠AOP=∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此产生矛盾，故说法①错误； （2）说法②错误．如答图2，可求得（PA+AO）（PB﹣BO）=16为定值，故错误； （3）说法③正确．联立方程组，求得点A、B坐标，进而求得BP、BO、BA，验证等式BP2=BO•BA成立，故正确； （4）说法④正确．由根与系数关系得到：S△PAB=2，当k=0时，取得最小值4，故正确． 【详解】设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0． 联立y=x2﹣2与y=kx得：x2﹣2=kx，即x2﹣3kx﹣6=0， ∴m+n=3k，mn=﹣6． 设直线PA的解析式为y=ax-4，将A（m，km）代入得： ， 解得a=， ∴y=x﹣4． 令y=0，得x=， ∴直线PA与x轴的交点坐标为（，0）． 同理可得，直线PB的解析式为y=x﹣4，直线PB与x轴交点坐标为（，0）． ∵+===0， ∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称． （1）说法①错误．理由如下： 如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称， ∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上． 连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′． 假设结论：PO2=PA•PB成立，即PO2=PA′•PB， ∴， 又∵∠BPO=∠BPO， ∴△POA′∽△PBO， ∴∠POA′=∠PBO， ∴∠AOP=∠PBO． 而∠AOP是△PBO的外角， ∴∠AOP＞∠PBO，矛盾， ∴说法①错误． （2）说法②错误．理由如下： ∵A（m，km），B（n，kn）， ∴， ∴OB=OA． 由对称可知，PO为△APB的角平分线， ∴， ∴PB=PA． ∴（PA+AO）（PB﹣BO） =（PA+AO）[PA﹣（OA）] =（PA+AO）（PA﹣OA） =（PA2﹣AO2）． 如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=﹣km，PD=4+km． ∴PA2﹣AO2=（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）=PD2﹣OD2=（4+km）2﹣（﹣km）2=8km+16， ∵m+n=3k，∴k=（m+n）， ∴PA2﹣AO2=8•（m+n）•m+16=m2+mn+16=m2+×（﹣6）+16=m2． ∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA2﹣AO2）=•m2=﹣mn=﹣×（﹣6）=16, 即：（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误． （3）说法③正确．理由如下： 当k=时，联立方程组：，得A（﹣2，2），B（，﹣1）， ∴BP2=12，BO•BA=2×6=12， ∴BP2=BO•BA，故说法③正确． （4）说法④正确．理由如下： S△PAB=S△PAO+S△PBO=OP•（﹣m）+OP•n =OP•（n﹣m） =2（n﹣m） =2 =2， ∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为2=4． 故说法④正确． 综上所述，正确的说法是：③④． 故选：B． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，难度很大．解答中首先得到两个基本结论，其中PA、PB的对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据．正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用． 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 如图，在半径为6的中，弦于点．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，，先求出，再求出，然后根据得出答案． 【详解】连接，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点P的和谐点．已知点的和谐点为，的和谐点为，的和谐点为，…，这样由依次得到、、…．若点坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用点的和谐点的定义分别写出点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，…,从而得到每4次交换为一个循环。然后利用判断点的坐标与点坐标相同. 【详解】解：根据题意得点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，…, 而， ∴点坐标与点坐标相同，为， 故答案为：. 【点睛】本题是平面直角坐标系内的点坐标规律探究题，考查学生发现点的规律的能力，有理数运算以及平面直角坐标系等相关知识，找到坐标的变换规律是解题的关键. 15. 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就到达警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升___小时水位能由正常水位到达拱桥顶． 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意，设抛物线的解析式为，，，然后根据题目条件求出函数解析式，即可求出结论． 【详解】解：由题意，设抛物线的解析式为，，， 将，，代入可得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：，， 即：正常水位AB距离桥顶4米， ∴（小时）， 故答案为：20． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，准确求出二次函数解析式是解题关键． 16. 已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】取点在上的对应点E，连接，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再解直角三角形求得，然后利用勾股定理求得，易证得是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如图， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点为点， ∴根据折叠的性质有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. （1）解方程： （2）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．求这口宛田的面积． 【答案】（1），；（2）平方步 【解析】 【分析】（1）利用配方法，即可求解； （2）利用扇形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1），， 配方，得， ∴， ∴，； （2）解：∵扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步， ∴这块田的面积（平方步）． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，求扇形的面积，熟练掌握一元二次方程的解法，扇形的面积等于 乘以弧长再乘以扇形的半径是解题的关键． 18. 如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合题，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据，确定定点M的坐标为，再代入中可求一次函数解析式． 【详解】解：， 当，， 定点M的坐标为， 把代入直线中， 即， 解得：， 直线MN的解析式为：． 19. 南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？ （1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为________； 方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：________． （2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）(60﹣x﹣40)(100+10x)＝2240，(x﹣40)[100+10(60﹣x)]＝2240 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由（1）可结合一元二次方程的解法进行求解即可． 【小问1详解】 解：方法1：设每千克特产应降价x元．根据题意，得 (60﹣x﹣40)(100+10x)＝2240． 方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得 (x﹣40)[100+10(60﹣x)]＝2240， 故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240； 【小问2详解】 方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240， 解得x1＝4，x2＝6． 要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝6， 60﹣6＝54元， 答：每千克特产应定价54元． 方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得 （x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240 解得x1＝54，x2＝56． 要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝54， 答：每千克特产应定价54元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 20. 我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． 判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”） ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．________ 填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为的是________．（写出所有正确结论的序号） ①正三角形   ②正方形   ③正六边形  ④正八边形 写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】①对；②对；①③；见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意旋转角的定义，即可作出判断； （2）分别求出几种图形的旋转角，即可得出答案． （3）将72°当作最小旋转角，进行计算即可． 【详解】①对；②对； ①③； （3）， 则正五边形是满足有一个旋转角为，是轴对称图形，但不是中心对称图形； 正十边形有一个旋转角为，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【点睛】本题考查了旋转对称图形、中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握旋转对称图形、中心对称图形与轴对称图形的定义. 21. 阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． （1）【直接应用】代数式的最小值为______； （2）【类比应用】若多项式，试求的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】（1） （2）2018 （3）围成的菜地的最大面积是 【解析】 【分析】（1） 配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【小问1详解】 解：， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， 当，时，有最小值，最小值为2018； 【小问3详解】 解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得：， 当时，有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是． 【点睛】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． 22. 如图1，平行四边形的对角线交于点P，E为的中点，过E点的圆O与相切于点P，圆O与直线分别交于点F，G． （1）求证：； （2）如果 如图2．求圆O的直径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作直径，连接，由平行四边形的性质和点E是的中点得，得到，再证明，，可证得． （2）证平行四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分；根据勾股定理可求出菱形的边长．由于E是中点，可得，根据，可得P、O、C三点共线，为的直径，根据，，可得，得到，得到，即得⊙O的直径为． 【小问1详解】 证明：连接并延长交于点H，连接，则． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵E为的中点， ∴． ∴． ∴． ∵切于P， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵平行四边形中，， ∴平行四边形为菱形． ∴，． ∴． ∴． ∵切于P， ∴． ∵， ∴P、O、C三点共线． ∴为的直径． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴⊙O的直径为． 【点睛】本题主要考查了圆与四边形综合．熟练掌握圆切线性质，平行四边形性质，菱形的判定和性质，三角形中位线判定和性质，圆内接四边形性质，直角三角形你斜边上中线的性质，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 23. 为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： （1）方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ （2）如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 【答案】（1）顾客获得10元和50元赠券的概率分别是，； （2）方案一，见解析 【解析】 【分析】本题考查游戏的公平性；根据乘法法则得到相应的概率是解决本题的关键． （1）第一次转得是黑色的概率为，第二次转得是白色的概率为，相乘即为获得10元的概率，同法可得获得50元的概率； （2）算出方案一中可能的概率，可获得资金为相应的钱数与概率的积的和，和10比较即可． 【小问1详解】 解：设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 出现（黑，白）的概率， 获得10元奖券的概率为， 出现（白，白）的概率为， 获得50元奖券的概率为； 【小问2详解】 解：应选方案一 设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 中奖券金额与其概率的对应关系为： 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 概率 中奖额的预期为 元， ． 应该选择方案一． 24. 如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求点C的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标； （2）动点P从点O出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒(t>0)，求当t为何值时，的面积是平行四边形的一半？ （3）当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； （2）当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半； （3）点M的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点， （2），根据三角形面积公式列出方程，继而求出此时的值即可， （3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可， 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， 点A的坐标为，点B的坐标为． ∴点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为， 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∴， 即：， ∵,，，，，， ∵， ∴，， ∴，， ，解得：， 故答案为：当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半， 小问3详解】 解时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示， 此时轴，轴，，，，， 根据平行四边形的性质，可知，， ∴，即，，即：，，即：， 故答案为：点M的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年上学期青县第五中学期末数学检测模拟试卷 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列图形中，属于中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 如图所示的是小慧设计的一个美丽的图案，该图案是由两个圆心相同，半径分别为9cm和3cm的圆构成的，那么该图案中阴影部分的面积为（　　）cm2 A. 72π B. 60π C. 48 D. 36π 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 6. 关于的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定根的情况 7. 如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 8. 如果用定长为的线段围成一个扇形，且使得这个扇形的面积最大，方法应为（ ） A. 使扇形所在圆的半径等于 B. 使扇形所在圆的半径等于 C. 使扇形的圆心角为60° D. 使扇形的圆心角为90° 9. 如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　） A B. C. D. 10. 如图，在中，，，，，P是上的一点，于点H，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n … 且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜，其中，正确结论的是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 12. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线y＝x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：①PO2＝PA•PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；③当k＝﹣时，BP2＝BO•BA；④△PAB面积的最小值为4，其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 如图，在半径为6的中，弦于点．若，则的长为________． 14. 在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点P的和谐点．已知点的和谐点为，的和谐点为，的和谐点为，…，这样由依次得到、、…．若点坐标为，则点的坐标为______． 15. 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就到达警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升___小时水位能由正常水位到达拱桥顶． 16. 已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ______． 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. （1）解方程： （2）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．求这口宛田的面积． 18. 如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 19. 南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？ （1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为________； 方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：________． （2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程． 20. 我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． 判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”） ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．________ 填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为是________．（写出所有正确结论的序号） ①正三角形   ②正方形   ③正六边形  ④正八边形 写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 21. 阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值． （1）【直接应用】代数式的最小值为______； （2）【类比应用】若多项式，试求的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 22. 如图1，平行四边形的对角线交于点P，E为的中点，过E点的圆O与相切于点P，圆O与直线分别交于点F，G． （1）求证：； （2）如果 如图2．求圆O的直径． 23. 为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： （1）方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ （2）如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 24. 如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求点C的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标； （2）动点P从点O出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒(t>0)，求当t为何值时，的面积是平行四边形的一半？ （3）当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$