2.5　一元二次方程的根与系数的关系课件-2024—-2025学年北师大版数学九年级上册

九年级 上册 北师版 数学 *5　一元二次方程的根与系数 的关系 第二章 一元二次方程 - *5　一元二次方程的根与系数的关系 探究与应用 课堂小结与检测 第二章　一元二次方程 探究　一元二次方程的根与系数的关系 [问题引导] 通过前面的学习我们发现,一元二次方程的根完全由它的系数确定,求根公式就是根与系数关系的一种形式.除此之外,一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢? 解:略 探究与应用 [计算归纳] 1.解下列方程,并计算方程的两根之和与两根之积. (1)x2-2x+1=0; 解:原方程可化为(x-1)2=0. ∴x1=x2=1. ∴x1+x2=2,x1x2=1.　 探究与应用 (2)x2-2x-1=0;　　 解:移项,得x2-2x=1. 配方,得x2-2x+()2=1+()2, 即(x-)2=4. 两边开平方,得x-=±2. ∴x1=+2,x2=-2. ∴x1+x2=2,x1x2=-1. 探究与应用 (3)2x2-3x+1=0. 解:这里a=2,b=-3,c=1. ∵b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1>0, ∴x=. ∴x1=1,x2=. ∴x1+x2=,x1x2=. 探究与应用 2.由第1题可以得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2之和与它的系数有什么关系?两根之积呢? 解:x1+x2=-,x1x2=. 探究与应用 3.我们知道,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当b2-4ac≥0时有两个根:x1=,x2=,你能计算出两根之和与两根之积吗? 解:x1+x2==-; x1·x2=·. 探究与应用 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1+x2= 　　　,x1x2=　　　　.  2.运用根与系数的关系时的注意点 (1)该方程必须是一元二次方程,且要化为一般形式; (2)方程必须要有实数根.  知 重点 -　 　 探究与应用 应用一　不解方程,求与一元二次方程的根有关的代数式的值 例1 (教材典题)利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积: (1)x2+7x+6=0; 解:这里a=1,b=7,c=6. Δ=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25>0,∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x2=-7,x1x2=6.　　 探究与应用 (2)2x2-3x-2=0. 解:这里a=2,b=-3,c=-2. Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=9+16=25>0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x2=,x1x2=-1. 探究与应用 变式 设方程x2+3x-5=0的两个实数根分别为x1,x2,不解方程,求下列代数式的值: (1); (2). 解:∵方程x2+3x-5=0的两个实数根分别为x1,x2, ∴x1+x2=-3,x1x2=-5. (1)=(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-2×(-5)=19. (2)∵x1-x2=±=±=±, ∴=±. 探究与应用 巧 变形 利用根与系数的关系求值时,常见代数式的变形 (1)=(x1+x2)2-2x1x2; (2)(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2; (3); (4)|x1-x2| = =. 探究与应用 应用二　已知方程一根求另一根及未知字母的值 例2 已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x-8=0的一个根是4,求方程的另一个根和k的值. 解:∵方程x2-(k+1)x-8=0的一个根是4, 设方程的另一个根为x1,则两根之积4x1=-8,解得x1=-2. ∴方程的两根之和k+1=-2+4.∴k=1. 故方程的另一个根为-2,k的值为1. 探究与应用 学 方法 已知方程一根求另一根及未知字母的值的“两种方法” (1)把方程的根代入原方程中,求出未知字母的值,再利用根与系数的关系求出方程的另一个根; (2)已知方程的一个根,利用根与系数的关系列方程组,从而求出方程的另一个根和未知字母的值. 探究与应用 由与两根有关的关系式的值求方程中字母参数的值 已知关于x的方程x2-4x+k+1=0有两个实数根.设方程的两个实数根分别为x1,x2,且=x1x2-4,求实数k的值. 【延伸拓展】 解:∵原方程有两个实数根, ∴Δ=16-4(k+1)=16-4k-4=12-4k≥0, ∴k≤3. 由题意可知x1+x2=4,x1x2=k+1. 探究与应用 ∵=x1x2-4, ∴=x1x2-4, 即=k+1-4. 解得k=5或k=-3. 经检验,k=5,k=-3均为原分式方程的解. 又∵k≤3,∴k=-3. 探究与应用 利用根与系数的关系确定方程中字母参数的取值时,千万不要忘记一元二次方程有两个实数根的前提条件是a≠0且Δ≥0. 防 易错 探究与应用 [本课时认知逻辑] 已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的 两根x1,x2. 两根之 和、两根之积与系 数的关系 1.求两根之 和、两根之 积 应用 2.已知方程 一根，求方 程另一根 3.求字母参 数的值 课堂小结与检测 [检测]　 1.若α,β是方程x2-2x-5=0的两个根,则α-αβ+β的值为　　　.  2.关于x的方程x2+mx-6=0的一个根是-1,则另一个根是　　 , m=　　　.  7 6 -5 课堂小结与检测 3.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根,且(x1+1)(x2+1)=4. (1)求k的值; (2)求(x1-x2)2的值. 解:(1)根据根与系数的关系可得x1+x2=-k,x1x2=, ∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=+(-k)+1=4,解得k=-7. (2)∵k=-7,∴x1+x2=7,x1x2=-4, 则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=72-4×(-4)=65. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$