2.3用公式法解一元二次方程 第1课时课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九年级 上册 北师版 数学 3　第1课时　用公式法解 一元二次方程 第二章 一元二次方程 - 3　第1课时　用公式法解一元二次方程 探究与应用 课堂小结与检测 第二章　一元二次方程 探究一　一元二次方程的求根公式 [问题情境] 我们发现,利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的.因此,如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0),得到根的一般表达式,那么再解一元二次方程时,就会方便简捷得多. 你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗? 探究与应用 [计算引导] 解一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0). 方程两边同除以a,得　　　　　　　.  配方,得x2+x+　　　　-　　　　+　　　　=0,  即(x+　　　　)2-　　 　　=0.  移项,得　　　　　　　　　.  x2+x+=0 ()2 ()2 　 　 　　 (x+)2=　 探究与应用 因为a≠0,所以4a2　　　0.  当b2-4ac≥0时,　　　0,  所以x+=　　　　　　,  即x1=　　　　　　,x2=　　　　　　.  > ≥ ±　 　 　 探究与应用 [概括新知] 公式法:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时, x=　　 　　.  这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元 二次方程的方法称为公式法. 探究与应用 懂 步骤 用公式法解一元二次方程的一般步骤 (1)化:把方程化为一般形式ax2+bx+c=0. (2)定:确定a,b,c的值. (3)算:计算b2-4ac的值,并判断其符号. (4)代:当b2-4ac≥0时,把a,b,c的值代入求根公式x=; 当b2-4ac<0时,方程无实数根. (5)写:在b2-4ac≥0的前提下,写出方程的根. 探究与应用 应用一　用公式法解一元二次方程 例1 解方程: (1)x2-7x-18=0; 解:这里a=1,b=-7,c=-18. ∵b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)=121>0, ∴x=, 即x1=9,x2=-2. 探究与应用 (2)4x2+1=4x;　 解:移项,得4x2-4x+1=0. 这里a=4,b=-4,c=1. ∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0, ∴x=, 即x1=x2=. 探究与应用 (3)(x+3)(x-1)=5. 解:方程整理,得x2+2x-8=0. 这里a=1,b=2,c=-8. ∵b2-4ac=22-4×1×(-8)=36>0, ∴x=,即x1=-4,x2=2. 探究与应用 探究二　一元二次方程的根的判别式 [深度思考] (1)你能求出一元二次方程x2-2x+3=0的解吗? 解:不能.一元二次方程x2-2x+3=0没有实数根. 探究与应用 (2)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),使用求根公式x=时为什么要在b2-4ac≥0的前提下?当b2-4ac<0时,它的根的情况怎么样呢? 解:当b2-4ac<0时,无意义,所以使用求根公式,要在b2-4ac≥0的前提下. 当b2-4ac<0时,原一元二次方程无实数根. 探究与应用 [概括新知] 根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由 　　　　来判定.我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”来表示.  当Δ>0时,方程有　　　　不相等的实数根;当Δ=0时,方程有 两个　　　　的实数根;当Δ<0时,方程　　　　实数根.  b2-4ac 两个 相等 没有 探究与应用 使用根的判别式的一般步骤:①方程化为一般形式,确定a,b,c的值;②计算Δ的值,确定Δ的符号;③判断根的情况,得出结论. 知 关键 探究与应用 应用二　依据根的判别式判断一元二次方程的根的情况 例2 不解方程,判断下列方程的根的情况: (1)2x2+3x=4;　 解:2x2+3x=4. 移项,得2x2+3x-4=0. ∵Δ=9+32=41>0, ∴方程2x2+3x=4有两个不相等的实数根. 探究与应用 (2)ax2+bx=0(a≠0);　　 (3)3(x2+1)-5x=0. 解:(2)ax2+bx=0(a≠0). ∵Δ=b2-4a×0=b2≥0, ∴方程ax2+bx=0(a≠0)有两个实数根. (3)3(x2+1)-5x=0. 整理,得3x2-5x+3=0. ∵Δ=25-4×3×3=-11<0, ∴方程3(x2+1)-5x=0没有实数根. 探究与应用 用根的判别式求字母的值(范围) (1)若关于x的一元二次方程x2-x-m=0没有实数根,则m的取值 范围是　　　　　;  (2)若关于x的一元二次方程ax2-3x+1=0有实数根,则a的取值 范围是　　　　　　;  【延伸拓展】 m<-　 a≤且a≠0 探究与应用 (3)若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是　　　　　　.  k>-1且k≠0 探究与应用 理 思路 利用根的判别式求字母的值(范围),应先将方程化为一般形式,并求出Δ=b2-4ac;再根据所给的方程根的情况列出不等式或方程;然后解之即可.但一定要注意b2-4ac的使用前提:“方程必须是一元二次方程”. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 根的判 别式 配方 推导 求根 公式 b2-4ac≥0 应用 解一元二 次方程 深入分析 b2-4ac＞0 b2-4ac = 0 b2-4ac＜0 两个不相等 的实数根 两个相等的 实数根 无实数根 判定根的情况 应用 课堂小结与检测 [检测]　 1.如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解,那么必须满足的条件是 (　　) A.p2-4q≥0 B.p2-4q≤0 C.p2-4q>0 D.p2-4q<0 A 课堂小结与检测 2.一元二次方程3x2-4x+1=0的根的情况是 (　　) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 C 课堂小结与检测 3.用公式法解方程: (1)2x2-3x+1=0; 解:这里a=2,b=-3,c=1. ∵Δ=(-3)2-4×2×1=1>0, ∴x=,即x1=1,x2=. 课堂小结与检测 (2)x-1=3x2; 解: 将原方程化为一般形式,得3x2-x+1=0. 这里a=3,b=-1,c=1. ∵Δ=(-1)2-4×3×1=-11<0, ∴此方程没有实数根. 课堂小结与检测 (3)3y2+1=2y. 解:将原方程化为一般形式,得3y2-2y+1=0. 这里a=3,b=-2,c=1. ∵Δ=(-2)2-4×3×1=0, ∴y=,即y1=y2=. 课堂小结与检测 4.当实数k为何值时,关于x的方程x2-4x+3-k=0有两个相等的实数根?并求出这两个相等的实数根. 解:∵方程有两个相等的实数根, ∴Δ=b2-4ac=16-4(3-k)=0,解得k=-1. 故原方程为x2-4x+4=0. 配方,得(x-2)2=0, 解得x1=x2=2. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$