热点04 函数的单调性、奇偶性-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

热点04 函数的单调性、奇偶性 考点1 函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定； （3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 考点2 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 知识点3 奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． 热点一 根据解析式直接判断函数的单调性和奇偶性 例1．下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数的定义域为R，且，故是奇函数； 对于B，函数的定义域为，关于原点不对称，是非奇非偶函数； 对于C，函数的定义域为，且，故是奇函数； 对于D，函数的定义域为R，，是偶函数. 故选：D. 例2．已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 【答案】B 【详解】的定义域为．．即函数为奇函数． 当时．为增函数，为减函数．故函数在时为增函数． 故选：B 变式1-1．下列选项中的函数在上为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，定义域不为，故不符合， 对于B，定义域为，且，故为偶函数，不符合， 对于C，定义域为，且，故为奇函数，符合， 对于D，定义域为，且，故不为奇函数，不符合， 故选：C 变式1-2．（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A选项，函数，其定义域为R，， 所以是偶函数； 函数对称轴为，所以在区间上单调递增，故A正确； 对于B选项，函数，其定义域为，，， 所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数，其定义域为， 所以是奇函数，不是偶函数，故C错误； 对于D选项，函数，其定义域为，， 所以是偶函数， 当时，在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD. 变式1-3．（多选）下列函数中，在定义域内既为奇函数，又为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，，则的定义域为，且在上既为奇函数，又为增函数，故A正确； 对于B，因为，所以不为奇函数，故B错误； 对于C，由于的定义域为，且，所以为奇函数，又，由复合函数的单调性知为增函数，故C正确； 对于D，由于，故在定义域上不可能为增函数，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对函数奇偶性和单调性定义的熟练运用. 热点二 定义法判断或证明函数的单调性和奇偶性 例3．判断函数在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论. 【答案】单调递减，证明见解析 【详解】函数在区间上单调递减. 证明如下:设任意，且， 则， 因为，且， 所以，又， 所以，即， 所以在上单调递减. 例4．已知函数，且其定义域为. (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减. 变式2-1．已知函数，且此函数图象过点． (1)求实数m的值； (2)用定义法判断函数在上的单调性． 【答案】(1)4 (2)单调递减； 【详解】（1）由题意可得，所以实数m的值为4， （2）因为，设， 则， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上为单调递减. 变式2-2．已知函数的图象过点． (1)求实数m的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)求证：函数在上单调递减． 【答案】(1) (2)函数为奇函数；证明见解析； (3)证明见解析 【详解】（1）根据题意，函数的图象过点， 所以 （2）函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数 （3）证明:任取，则， 所以， 则，即， 所以函数在上单调递减 变式2-3．已知函数. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断函数在区间的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)函数在区间上单调递增，证明见解析 【详解】（1）奇函数，证明如下， 易知，函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数的奇函数. （2）函数在区间上单调递增，证明如下， 任取，且， 则， 因为，且，所以， 得到，即，所以函数在区间上单调递增. 热点三 根据函数的单调性求参数 例5．“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数在区间上不单调，对称轴为， “函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件可以是． 故选：C． 例6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递减，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 变式3-1．（多选）已知函数在区间上不具有单调性，则的值可以是（    ） A．9 B．-1 C．-5 D．0 【答案】BD 【详解】由题意的对称轴为， 由于在区间上不具有单调性， 故，解得， 所以AC错误，BD正确. 故选：BD. 变式3-2．满足对任意实数，都有，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：对任意实数，都有， 即与同号， 故为上的增函数， 故分段函数的每一段单调递增，且分界点处单调递增， 故， 解得：． 故答案为：． 变式3-3．已知函数在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】若，则在上单调递增，满足题意； 若，易知二次函数图象关于对称，若在上单调递增， 当，则，解得； 当，则恒成立. 综上可知. 故答案为： 热点四 根据函数的奇偶性求参数 例7．若函数为偶函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】函数为偶函数，所以， 即得， 的定义域为， 在 或其子集上，即得， 所以恒成立，所以，，可得. 故选：A. 例8．已知函数为奇函数，则的值是（    ） A．0 B．0或10 C．4或68 D．68 【答案】D 【详解】由题设，的定义域为R，且为奇函数，则， 所以或， 当，则，满足，此时； 当，则不是奇函数，不合题设； 故选：D 变式4-1．已知函数（）是偶函数，则函数的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】函数是偶函数，则，即， 整理得，而不恒为0，因此，， 函数的定义域为，根据复合函数的单调性，易知单调递增区间为. 故答案为： 变式4-2．已知a为实数，则“”是“是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由是奇函数， 则，即， 即， 所以，即， 所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A. 变式4-3．已知函数满足为奇函数，则 ， . 【答案】 【详解】设函数. 因为为奇函数，， 所以由，可得， 所以， 所以， 整理得， 所以，解得. 故答案为：；. 热点五 由奇偶性求函数的解析式 例9．已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，设，由， 得，整理得， 于是，解得，， 所以的解析式为. （2）由（1）知，当时，， 由为定义在R上的奇函数，得， 当时，，， 所以在R上的解析式为. 例10．已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式． 【答案】， 【详解】解析： 以代替条件等式中的，则有， 又，分别是上的奇函数和偶函数， 故． 又， 联立可得，． 变式5-1．已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【详解】解：当时，可得， 又因为当时，， 所以， 又因为函数是偶函数，即， 所以， 所以当时，. 故答案为：. 变式5-2．已知函数在R上是奇函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)并写出单调区间（不必证明）. 【答案】(1)； (2)递减区间是，，递增区间是. 【详解】（1）函数在R上是奇函数，当时，， 则当时，，而， 所以函数在R上的解析式为. （2）当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的递减区间是，，递增区间是. 变式5-3．函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 热点六 由函数奇偶性、单调性比较大小 例11．已知函数在区间上单调递减，且的图像关于对称，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由的图像关于对称可知； 又因为在区间上单调递减，且， 所以，即. 故选：C 例12．（多选）已知函数为偶函数，当，时，成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】当，时，成立，故函数在单调递减， 函数为偶函数，故函数在上单调递增， 对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，故，错误； 对选项D：，， 当且仅当，即时等号成立，故，正确； 故选：BD 变式6-1．若偶函数在上单调递增，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由偶函数知：，又在上单调递增且， 所以，即. 故选：D 变式6-2．设函数为定义在上的偶函数，且在区间上为增函数，则，，从小到大的顺序为 【答案】 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以，， 又在区间上为增函数， 所以 所以 故答案为： 变式6-3．已知函数. (1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增； (2)若，试比较，的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题目条件得：， 任取， 则. 因为， 所以，， 则，即. 故在上单调递增. （2）解：因为， 所以. 又因为，当且仅当时，等号成立，而. 所以. 因为在上单调递增， 所以. 热点七 由函数奇偶性、单调性解不等式 例13．若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，    由图可知，的解集是， 故选：B． 例14．已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据偶函数的图象特征， 可知当时，，当时， 由，得， 等价于或 解得，或． 所以不等式解集为： 故选：D 变式7-1．对于函数，分析并求解下列问题： (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增； (3)解不等式：； 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数. （2），且， 则 ， ，， ，， 在上单调递增. （3）在区间上单调递增，且为奇函数， 在上单调递增， 令，解得或， 又，即， 或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 变式7-2．函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象经过点，则，即， 所以是减函数． 又，所以是奇函数， ， 不等式化为，即， 所以，解得. 故选：B 变式7-3．若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为对任意的，，且，都有， 不妨设，则，可得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上为单调递减函数， 又因为为奇函数，所以， 所以函数为上的偶函数， 所以函数在为单调递增函数， 当时，即时，有， 由，可得， 所以，解得，此时无解； 当时，即时，由，可得， 所以，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 热点八 奇偶函数对称性的应用 例15．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为 ．（用区间表示） 【答案】 【详解】由函数是定义在R上的偶函数，可得函数的图象关于对称， 又由函数在上单调递增，可得函数在上单调递减， 因为，可得， 所以，当时，；当时，；当时，， 对于不等式，如图所示，    当时，可得，解得； 当时，可得，解得， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 例16．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以，即， 令，由①得：，所以，所以， 解得：，所以． 所以. 故选：D. 变式8-1．已知函数，，函数，若为偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数为偶函数，可的图象关于对称，所以， 由，可得， 即，所以函数关于对称， 又因为，所以是定义在上的偶函数， 所以， 所以，即， 所以函数是周期为4的周期函数， 所以， 则. 故选：D. 变式8-2．已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ， . 【答案】 / / 【详解】因为是定义在上的奇函数，则， 又函数为偶函数，则，可得， 则，可得，可知的一个周期为4， 所以；. 故答案为：；. 变式8-3．已知函数，且为偶函数，给出以下四个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，且，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由于函数，且为偶函数， 故可得关于直线对称，即的对称轴为， 则，即， 对于①，若，则， 当且仅当，即时取等号，故，①正确； 对于②，若，， 当且仅当，即时取等号，故，②正确； 对于③，若，且，即时，， 则，③正确； 对于④，若，则， 即得，④正确， 故正确结论的个数是4， 故选：D 热点九 抽象函数的奇偶性、单调性 例17．已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【详解】取，则，即，得，故A正确； 取，则，得，故是奇函数，B正确； 对任意的都有，可得， 因此的图象关于点对称，故D错误； 由于且是奇函数，得，即， 因此，C正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛： 由得到，即可判断对称，利用，即可利用递推法求解. 例18．（多选）已知定义域为R的函数，对任意x，，都有，且，则（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【答案】BCD 【详解】令，得， 又，所以，故A错误； 令得，， 所以，，所以为偶函数，故B正确； 令，，得，所以， 又， 所以， 而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C正确； ，所以， 所以，故4是的周期， 又，，， 所以，， ， ， 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：在判断抽象函数的奇偶性、单调性时常采用赋值法. 变式9-1．定义在上的函数满足：，当时，有，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】中，令得，解得， 中，令得， 故， 又的定义域为，所以为奇函数， 任取，则， 又时，，则， 即，故在上单调递减， 由对称性可得时，，故在上单调递减， ， 所以，解得. 故选：D 变式9-2．（多选），，非常数函数都有，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，是偶函数 C．若，则 D．的值不可能是 【答案】ABC 【详解】由条件①， 对于A，取，有即（*）， 若，则为常数，与题意矛盾，即，故A正确； 对于B，由A项已得，代入（*），可得， 在①式中，取，有②， 再取，有，可得， 则有或.因 ，故， 代入②式，可得，用替换，即得， 故为偶函数，即B正确； 对于C，若，在①式中取， 可得则有，由B项知为偶函数， 在①式中，取，有，即③， 再取，有即， 用替换，即得④， 由③④，易得， 即， 由上已得，，，， 依次代入，可得，，故C正确； 对于D，取， 因， 而，即符合①式， 此时，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数的性质探究，属于难题.解题思路上，一般应从抽象函数的等式入手，结合选项启发，对其中的未知量进行针对性赋值，使其往选项要求的方向发展，进行判断、验证，有时还需构造符合题意的函数解析式，判断排除选项. 变式9-3．已知函数的定义域为，且，均有．当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，比较与的大小并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3),证明见解析 【详解】（1），且， 令，则， 所以， 即， 则，所以函数为减函数. （2）因为， 所以由，可得， 因为，均有， 所以， 所以， 又因为函数为减函数，且定义域为， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. （3）因为，， 所以， 所以，即， 又因为函数为减函数， 所以， 根据，均有， 可将化为， 即. 一、单选题 1．（2023-24高一上·北京·期中）函数是上是减函数，那么下述式子中正确的是（    ） A． B． C． D．以上关系均不确定 【答案】A 【详解】对进行变形可得. 因为任何数的平方都大于等于，那么，即. 因为函数在上是减函数，且. 根据减函数的性质，自变量越大函数值越小，所以. 故选：A. 2．（2023-24高一上·山东滨州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 又当时，故排除C. 故选：D 3．（2023-24高一上·北京·期中）设函数的定义域为，则“在区间上单调递增”是“在区间上的最大值为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若“在区间上单调递增”， 则“在区间上的最大值为”； 若“在区间上的最大值为”， 则在区间上不一定单调. 所以“在区间上单调递增”是“在区间上的最大值为”的充分不必要条件. 故选：A 4．（2023-24高一上·北京·期中）如果偶函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（   ） A．减函数且最小值是4 B．减函数且最大值是4 C．增函数且最小值是4 D．增函数且最大值是4 【答案】C 【详解】偶函数在上是减函数且最小值是4，所以， 则在上是增函数且最小值为， 故选：C 5．（2023-24高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，若在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为奇函数， ，且函数在轴两侧单调性相同， 在区间上单调递增， 在区间上单调递减 则对于求解集，使用分类讨论思想： （1）当，，，且在区间上单调递增， ； （2）当，，，且在区间上单调递增， . 综上所述：， 故选：C． 6．（2024·陕西榆林·一模）已知为奇函数，则（    ） A． B．14 C． D．7 【答案】C 【详解】因为为奇函数， 故， ， ， ， 故. 故选：C. 7．（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．为偶函数 C．有最小值 D．在上单调递增 【答案】C 【详解】由于函数的定义域为R，且， 令，则，得， 时，恒成立，无法确定，A不一定成立； 由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定； 由于的对称轴为与的位置关系不确定， 故在上不一定单调递增，D也不确定， 由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用赋值法确定函数，进而结合二次函数性质求解. 8．（2023-24高一下·云南昆明·期末）已知奇函数 的定义域为，在区间上单调递增，，且 为偶函数. 若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由为上的奇函数，则关于点对称，则， 又为偶函数，则，故关于对称，则， 则，是周期为4的周期函数， 又在区间上单调递增，因此在区间上单调递减， 又，则，因此， 又关于的不等式对恒成立，则， 因此，可得，， 故选：C. 二、多选题 9．（2023-24高一上·湖北·期中）已知函数在上具有单调性，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】函数在上具有单调性，则或， 解得或. 故选：BC 10．（2023-24高一下·陕西咸阳·期末）对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（    ） A．函数为奇函数 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，，当，， 所以不是奇函数，所以A错误， 对于B，因为表示不超过的最大整数，所以当时，， 所以函数的值域为，所以B正确， 对于C，因为时，， 所以，所以C正确， 对于D，由，得， 因为表示不超过的最大整数，所以，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 11．（2023-24高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确； 对于B，由，， ，故B正确； 对于C，，，则， 所以函数在上不满足单调递减，故C错误； 对于D，由，，令，则，且， ，， ，即， 由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2023-24高一上·陕西西安·期中）已知函数是定义在上的偶函数，则 ． 【答案】 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且， 即且， 所以且， 则. 故答案为： 13．（2023-24高一上·上海虹口·期末）已知定义在上的奇函数在区间上是严格减函数．若对于任意的，总有成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意定义在上的奇函数在区间上是严格减函数， 所以在上严格单调递减， 所以， 由题意若对于任意的，恒有成立， 则恒成立， 当时，有，满足题意， 当时，恒成立， 此时， 解得，满足题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（2023-24高一上·湖南永州·期末）若函数在定义域内存在实数使得，其中，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”，对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，则的取值集合是 . 【答案】 【详解】由题意得，函数恒为上的“阶局部奇函数”， 即在上有解，则有， 即有解， 当时，，满足题意； 当时，对于任意的实数，， 变形可得，解可得：， 由，故. 故答案为：. 四、解答题 15．（2023-24高一上·贵州铜仁·期中）已知函数. (1)若为奇函数，求a的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，无最小值 【详解】（1）由题意， ∵为奇函数，∴， 即 解得； （2）由（1）可知， ，. ∵， ∴，，∴， 即在上是增函数. ∴，无最小值. 综上所述：，无最小值. 16．（2023-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得， 解得 （2）由（1）可知， ，且， ， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 所以函数在区间上单调递增. 17．（2023-24高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设二次函数， 则， 由，得，解得，又， 即，于是， 所以的解析式是. （2）由（1）得， 当时，的单调递增区间为，依题意，，则； 当时，的单调递增区间为，依题意，， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 18．（2023-24高一上·江西南昌·期中）在上最小值为. (1)求的解析式； (2)令，点在图象上，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），函数对称轴为， ①当，即时，在上单调递减， 故； ②当，即时，； ③当时，在上单调递增，； 综上所述：. （2）， 设，，为偶函数， 当时，，函数单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减， 可以由向左平移1个单位得到， 故函数关于对称，且在上单调递增，在上单调递减， ，即，解得，即. 19．（2023-24高一上·重庆·期中）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断并证明的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）令，则， 解得； （2）函数在上单调递增， 证明：任取， 则， 所以， 因为， 所以，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由（2）函数在上单调递增， 所以不等式恒成立，即恒成立，， 当恒成立时，，又，所以， 当恒成立时，， 令，则，且， 所以， 当时，， 所以， 综合得 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点04 函数的单调性、奇偶性 考点1 函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定； （3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 考点2 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 知识点3 奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． 热点一 根据解析式直接判断函数的单调性和奇偶性 例1．下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数的定义域为R，且，故是奇函数； 对于B，函数的定义域为，关于原点不对称，是非奇非偶函数； 对于C，函数的定义域为，且，故是奇函数； 对于D，函数的定义域为R，，是偶函数. 故选：D. 例2．已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 【答案】B 【详解】的定义域为．．即函数为奇函数． 当时．为增函数，为减函数．故函数在时为增函数． 故选：B 变式1-1．下列选项中的函数在上为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，定义域不为，故不符合， 对于B，定义域为，且，故为偶函数，不符合， 对于C，定义域为，且，故为奇函数，符合， 对于D，定义域为，且，故不为奇函数，不符合， 故选：C 变式1-2．（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A选项，函数，其定义域为R，， 所以是偶函数； 函数对称轴为，所以在区间上单调递增，故A正确； 对于B选项，函数，其定义域为，，， 所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数，其定义域为， 所以是奇函数，不是偶函数，故C错误； 对于D选项，函数，其定义域为，， 所以是偶函数， 当时，在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD. 变式1-3．（多选）下列函数中，在定义域内既为奇函数，又为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，，则的定义域为，且在上既为奇函数，又为增函数，故A正确； 对于B，因为，所以不为奇函数，故B错误； 对于C，由于的定义域为，且，所以为奇函数，又，由复合函数的单调性知为增函数，故C正确； 对于D，由于，故在定义域上不可能为增函数，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对函数奇偶性和单调性定义的熟练运用. 热点二 定义法判断或证明函数的单调性和奇偶性 例3．判断函数在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论. 【答案】单调递减，证明见解析 【详解】函数在区间上单调递减. 证明如下:设任意，且， 则， 因为，且， 所以，又， 所以，即， 所以在上单调递减. 例4．已知函数，且其定义域为. (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减. 变式2-1．已知函数，且此函数图象过点． (1)求实数m的值； (2)用定义法判断函数在上的单调性． 【答案】(1)4 (2)单调递减； 【详解】（1）由题意可得，所以实数m的值为4， （2）因为，设， 则， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上为单调递减. 变式2-2．已知函数的图象过点． (1)求实数m的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)求证：函数在上单调递减． 【答案】(1) (2)函数为奇函数；证明见解析； (3)证明见解析 【详解】（1）根据题意，函数的图象过点， 所以 （2）函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数 （3）证明:任取，则， 所以， 则，即， 所以函数在上单调递减 变式2-3．已知函数. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断函数在区间的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)函数在区间上单调递增，证明见解析 【详解】（1）奇函数，证明如下， 易知，函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数的奇函数. （2）函数在区间上单调递增，证明如下， 任取，且， 则， 因为，且，所以， 得到，即，所以函数在区间上单调递增. 热点三 根据函数的单调性求参数 例5．“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数在区间上不单调，对称轴为， “函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件可以是． 故选：C． 例6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递减，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 变式3-1．（多选）已知函数在区间上不具有单调性，则的值可以是（    ） A．9 B．-1 C．-5 D．0 【答案】BD 【详解】由题意的对称轴为， 由于在区间上不具有单调性， 故，解得， 所以AC错误，BD正确. 故选：BD. 变式3-2．满足对任意实数，都有，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：对任意实数，都有， 即与同号， 故为上的增函数， 故分段函数的每一段单调递增，且分界点处单调递增， 故， 解得：． 故答案为：． 变式3-3．已知函数在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】若，则在上单调递增，满足题意； 若，易知二次函数图象关于对称，若在上单调递增， 当，则，解得； 当，则恒成立. 综上可知. 故答案为： 热点四 根据函数的奇偶性求参数 例7．若函数为偶函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】函数为偶函数，所以， 即得， 的定义域为， 在 或其子集上，即得， 所以恒成立，所以，，可得. 故选：A. 例8．已知函数为奇函数，则的值是（    ） A．0 B．0或10 C．4或68 D．68 【答案】D 【详解】由题设，的定义域为R，且为奇函数，则， 所以或， 当，则，满足，此时； 当，则不是奇函数，不合题设； 故选：D 变式4-1．已知函数（）是偶函数，则函数的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】函数是偶函数，则，即， 整理得，而不恒为0，因此，， 函数的定义域为，根据复合函数的单调性，易知单调递增区间为. 故答案为： 变式4-2．已知a为实数，则“”是“是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由是奇函数， 则，即， 即， 所以，即， 所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A. 变式4-3．已知函数满足为奇函数，则 ， . 【答案】 【详解】设函数. 因为为奇函数，， 所以由，可得， 所以， 所以， 整理得， 所以，解得. 故答案为：；. 热点五 由奇偶性求函数的解析式 例9．已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，设，由， 得，整理得， 于是，解得，， 所以的解析式为. （2）由（1）知，当时，， 由为定义在R上的奇函数，得， 当时，，， 所以在R上的解析式为. 例10．已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式． 【答案】， 【详解】解析： 以代替条件等式中的，则有， 又，分别是上的奇函数和偶函数， 故． 又， 联立可得，． 变式5-1．已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【详解】解：当时，可得， 又因为当时，， 所以， 又因为函数是偶函数，即， 所以， 所以当时，. 故答案为：. 变式5-2．已知函数在R上是奇函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)并写出单调区间（不必证明）. 【答案】(1)； (2)递减区间是，，递增区间是. 【详解】（1）函数在R上是奇函数，当时，， 则当时，，而， 所以函数在R上的解析式为. （2）当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的递减区间是，，递增区间是. 变式5-3．函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 热点六 由函数奇偶性、单调性比较大小 例11．已知函数在区间上单调递减，且的图像关于对称，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由的图像关于对称可知； 又因为在区间上单调递减，且， 所以，即. 故选：C 例12．（多选）已知函数为偶函数，当，时，成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】当，时，成立，故函数在单调递减， 函数为偶函数，故函数在上单调递增， 对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，故，错误； 对选项D：，， 当且仅当，即时等号成立，故，正确； 故选：BD 变式6-1．若偶函数在上单调递增，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由偶函数知：，又在上单调递增且， 所以，即. 故选：D 变式6-2．设函数为定义在上的偶函数，且在区间上为增函数，则，，从小到大的顺序为 【答案】 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以，， 又在区间上为增函数， 所以 所以 故答案为： 变式6-3．已知函数. (1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增； (2)若，试比较，的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题目条件得：， 任取， 则. 因为， 所以，， 则，即. 故在上单调递增. （2）解：因为， 所以. 又因为，当且仅当时，等号成立，而. 所以. 因为在上单调递增， 所以. 热点七 由函数奇偶性、单调性解不等式 例13．若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，    由图可知，的解集是， 故选：B． 例14．已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据偶函数的图象特征， 可知当时，，当时， 由，得， 等价于或 解得，或． 所以不等式解集为： 故选：D 变式7-1．对于函数，分析并求解下列问题： (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增； (3)解不等式：； 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数. （2），且， 则 ， ，， ，， 在上单调递增. （3）在区间上单调递增，且为奇函数， 在上单调递增， 令，解得或， 又，即， 或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 变式7-2．函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象经过点，则，即， 所以是减函数． 又，所以是奇函数， ， 不等式化为，即， 所以，解得. 故选：B 变式7-3．若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为对任意的，，且，都有， 不妨设，则，可得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上为单调递减函数， 又因为为奇函数，所以， 所以函数为上的偶函数， 所以函数在为单调递增函数， 当时，即时，有， 由，可得， 所以，解得，此时无解； 当时，即时，由，可得， 所以，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 热点八 奇偶函数对称性的应用 例15．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为 ．（用区间表示） 【答案】 【详解】由函数是定义在R上的偶函数，可得函数的图象关于对称， 又由函数在上单调递增，可得函数在上单调递减， 因为，可得， 所以，当时，；当时，；当时，， 对于不等式，如图所示，    当时，可得，解得； 当时，可得，解得， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 例16．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以，即， 令，由①得：，所以，所以， 解得：，所以． 所以. 故选：D. 变式8-1．已知函数，，函数，若为偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数为偶函数，可的图象关于对称，所以， 由，可得， 即，所以函数关于对称， 又因为，所以是定义在上的偶函数， 所以， 所以，即， 所以函数是周期为4的周期函数， 所以， 则. 故选：D. 变式8-2．已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ， . 【答案】 / / 【详解】因为是定义在上的奇函数，则， 又函数为偶函数，则，可得， 则，可得，可知的一个周期为4， 所以；. 故答案为：；. 变式8-3．已知函数，且为偶函数，给出以下四个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，且，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由于函数，且为偶函数， 故可得关于直线对称，即的对称轴为， 则，即， 对于①，若，则， 当且仅当，即时取等号，故，①正确； 对于②，若，， 当且仅当，即时取等号，故，②正确； 对于③，若，且，即时，， 则，③正确； 对于④，若，则， 即得，④正确， 故正确结论的个数是4， 故选：D 热点九 抽象函数的奇偶性、单调性 例17．已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【详解】取，则，即，得，故A正确； 取，则，得，故是奇函数，B正确； 对任意的都有，可得， 因此的图象关于点对称，故D错误； 由于且是奇函数，得，即， 因此，C正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛： 由得到，即可判断对称，利用，即可利用递推法求解. 例18．（多选）已知定义域为R的函数，对任意x，，都有，且，则（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【答案】BCD 【详解】令，得， 又，所以，故A错误； 令得，， 所以，，所以为偶函数，故B正确； 令，，得，所以， 又， 所以， 而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C正确； ，所以， 所以，故4是的周期， 又，，， 所以，， ， ， 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：在判断抽象函数的奇偶性、单调性时常采用赋值法. 变式9-1．定义在上的函数满足：，当时，有，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】中，令得，解得， 中，令得， 故， 又的定义域为，所以为奇函数， 任取，则， 又时，，则， 即，故在上单调递减， 由对称性可得时，，故在上单调递减， ， 所以，解得. 故选：D 变式9-2．（多选），，非常数函数都有，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，是偶函数 C．若，则 D．的值不可能是 【答案】ABC 【详解】由条件①， 对于A，取，有即（*）， 若，则为常数，与题意矛盾，即，故A正确； 对于B，由A项已得，代入（*），可得， 在①式中，取，有②， 再取，有，可得， 则有或.因 ，故， 代入②式，可得，用替换，即得， 故为偶函数，即B正确； 对于C，若，在①式中取， 可得则有，由B项知为偶函数， 在①式中，取，有，即③， 再取，有即， 用替换，即得④， 由③④，易得， 即， 由上已得，，，， 依次代入，可得，，故C正确； 对于D，取， 因， 而，即符合①式， 此时，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数的性质探究，属于难题.解题思路上，一般应从抽象函数的等式入手，结合选项启发，对其中的未知量进行针对性赋值，使其往选项要求的方向发展，进行判断、验证，有时还需构造符合题意的函数解析式，判断排除选项. 变式9-3．已知函数的定义域为，且，均有．当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，比较与的大小并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3),证明见解析 【详解】（1），且， 令，则， 所以， 即， 则，所以函数为减函数. （2）因为， 所以由，可得， 因为，均有， 所以， 所以， 又因为函数为减函数，且定义域为， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. （3）因为，， 所以， 所以，即， 又因为函数为减函数， 所以， 根据，均有， 可将化为， 即. 一、单选题 1．（2023-24高一上·北京·期中）函数是上是减函数，那么下述式子中正确的是（    ） A． B． C． D．以上关系均不确定 【答案】A 【详解】对进行变形可得. 因为任何数的平方都大于等于，那么，即. 因为函数在上是减函数，且. 根据减函数的性质，自变量越大函数值越小，所以. 故选：A. 2．（2023-24高一上·山东滨州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 又当时，故排除C. 故选：D 3．（2023-24高一上·北京·期中）设函数的定义域为，则“在区间上单调递增”是“在区间上的最大值为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若“在区间上单调递增”， 则“在区间上的最大值为”； 若“在区间上的最大值为”， 则在区间上不一定单调. 所以“在区间上单调递增”是“在区间上的最大值为”的充分不必要条件. 故选：A 4．（2023-24高一上·北京·期中）如果偶函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（   ） A．减函数且最小值是4 B．减函数且最大值是4 C．增函数且最小值是4 D．增函数且最大值是4 【答案】C 【详解】偶函数在上是减函数且最小值是4，所以， 则在上是增函数且最小值为， 故选：C 5．（2023-24高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，若在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为奇函数， ，且函数在轴两侧单调性相同， 在区间上单调递增， 在区间上单调递减 则对于求解集，使用分类讨论思想： （1）当，，，且在区间上单调递增， ； （2）当，，，且在区间上单调递增， . 综上所述：， 故选：C． 6．（2024·陕西榆林·一模）已知为奇函数，则（    ） A． B．14 C． D．7 【答案】C 【详解】因为为奇函数， 故， ， ， ， 故. 故选：C. 7．（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．为偶函数 C．有最小值 D．在上单调递增 【答案】C 【详解】由于函数的定义域为R，且， 令，则，得， 时，恒成立，无法确定，A不一定成立； 由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定； 由于的对称轴为与的位置关系不确定， 故在上不一定单调递增，D也不确定， 由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用赋值法确定函数，进而结合二次函数性质求解. 8．（2023-24高一下·云南昆明·期末）已知奇函数 的定义域为，在区间上单调递增，，且 为偶函数. 若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由为上的奇函数，则关于点对称，则， 又为偶函数，则，故关于对称，则， 则，是周期为4的周期函数， 又在区间上单调递增，因此在区间上单调递减， 又，则，因此， 又关于的不等式对恒成立，则， 因此，可得，， 故选：C. 二、多选题 9．（2023-24高一上·湖北·期中）已知函数在上具有单调性，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】函数在上具有单调性，则或， 解得或. 故选：BC 10．（2023-24高一下·陕西咸阳·期末）对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（    ） A．函数为奇函数 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，，当，， 所以不是奇函数，所以A错误， 对于B，因为表示不超过的最大整数，所以当时，， 所以函数的值域为，所以B正确， 对于C，因为时，， 所以，所以C正确， 对于D，由，得， 因为表示不超过的最大整数，所以，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 11．（2023-24高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确； 对于B，由，， ，故B正确； 对于C，，，则， 所以函数在上不满足单调递减，故C错误； 对于D，由，，令，则，且， ，， ，即， 由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2023-24高一上·陕西西安·期中）已知函数是定义在上的偶函数，则 ． 【答案】 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且， 即且， 所以且， 则. 故答案为： 13．（2023-24高一上·上海虹口·期末）已知定义在上的奇函数在区间上是严格减函数．若对于任意的，总有成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意定义在上的奇函数在区间上是严格减函数， 所以在上严格单调递减， 所以， 由题意若对于任意的，恒有成立， 则恒成立， 当时，有，满足题意， 当时，恒成立， 此时， 解得，满足题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（2023-24高一上·湖南永州·期末）若函数在定义域内存在实数使得，其中，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”，对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，则的取值集合是 . 【答案】 【详解】由题意得，函数恒为上的“阶局部奇函数”， 即在上有解，则有， 即有解， 当时，，满足题意； 当时，对于任意的实数，， 变形可得，解可得：， 由，故. 故答案为：. 四、解答题 15．（2023-24高一上·贵州铜仁·期中）已知函数. (1)若为奇函数，求a的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，无最小值 【详解】（1）由题意， ∵为奇函数，∴， 即 解得； （2）由（1）可知， ，. ∵， ∴，，∴， 即在上是增函数. ∴，无最小值. 综上所述：，无最小值. 16．（2023-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得， 解得 （2）由（1）可知， ，且， ， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 所以函数在区间上单调递增. 17．（2023-24高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设二次函数， 则， 由，得，解得，又， 即，于是， 所以的解析式是. （2）由（1）得， 当时，的单调递增区间为，依题意，，则； 当时，的单调递增区间为，依题意，， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 18．（2023-24高一上·江西南昌·期中）在上最小值为. (1)求的解析式； (2)令，点在图象上，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），函数对称轴为， ①当，即时，在上单调递减， 故； ②当，即时，； ③当时，在上单调递增，； 综上所述：. （2）， 设，，为偶函数， 当时，，函数单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减， 可以由向左平移1个单位得到， 故函数关于对称，且在上单调递增，在上单调递减， ，即，解得，即. 19．（2023-24高一上·重庆·期中）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断并证明的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）令，则， 解得； （2）函数在上单调递增， 证明：任取， 则， 所以， 因为， 所以，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由（2）函数在上单调递增， 所以不等式恒成立，即恒成立，， 当恒成立时，，又，所以， 当恒成立时，， 令，则，且， 所以， 当时，， 所以， 综合得 2 学科网（北京）股份有限公司 $$